北师大版九年级上册数学复习知识点及例题.pdf

数学九年级上册知识点总结 第1章 特殊的平行四边形复习 中考考点综述 特殊平行四边形即矩形 菱形 正方形 它们是历年中考的必考内 容之一 主要出现的题型多样 注重考查学生的基础证明和计算能力 以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力 内容主要包括 矩形 菱 形 正方形的性质与判定 以及相关计算 了解平行四边形与矩形 菱 形 正方形之间的联系 掌握平行四边形是矩形 菱形 正方形的条 件 知识目标 掌握矩形 菱形 正方形等概念 掌握矩形 菱形 正方形的性质 和判定 通过定理的证明和应用的教学 使学生逐步学会分别从题设和 结论出发 寻找论证思路分析法和综合法 重难点 1 矩形 菱形性质及判定的应用 2 相关知识的综合应用 知识点归纳 矩形菱形正方形 性 质 边 对边平行且 相等 对边平行 四边 相等 对边平行 四边相等 角 四个角都是 直角 对角相等四个角都是直角 对 角 线 互相平分且 相等 互相垂直平分 且每条对角线平 分一组对角 互相垂直平分且相等 每 条对角线平分一组对角 判定 有三个角 是直角 是平行四 边形且有一 个角是直角 是平行四 四边相等的四 边形 是平行四边形 且有一组邻边相 等 是平行四边形 是矩形 且有一组邻 边相等 是菱形 且有一个角 是直角 边形且两条 对角线相等 且两条对角线互 相垂直 对称性既是轴对称图形 又是中心对称图形 一 矩形 矩形定义 有一角是直角的平行四边形叫做矩形 强调 矩形 1 是平行四边形 2 一一个角是直角 矩形的性质 性质1 矩形的四个角都是直角 性质2 矩形的对角线相等 具有平行四边形的所以性质 矩形的判定 矩形判定方法1 对角线相等的平行四边形是矩形 注意此方法包括两个条件 1 是一个平行四边形 2 对角线相等 矩形判定方法2 四个角都是直角的四边形是矩形 矩形判断方法3 有一个角是直角的平行四边形是矩形 例1 若矩形的对角线长为8cm 两条对角线的一个交角为600 则该矩 形的面积为 例2 菱形具有而矩形不具有的性质是 A 对角线互相平分 B 四条边都相等 C 对角相等 D 邻角 互补 例3 已知 如图 ABCD各角的平分线分别相交于点E F G H 求证 四边形EFGH是矩形 二 菱形 菱形定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 强调 菱形 1 是平行四边形 2 一组邻边相等 菱形的性质 性质1 菱形的四条边都相等 性质2 菱形的对角线互相平分 并且每条对角线平分一组对角 菱形的判定 菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 注意此方法包括两个条件 1 是一个平行四边形 2 两条对角线互相垂直 菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形 例1 已知 如图 四边形ABCD是菱形 F是AB上一点 DF交AC于 E 求证 AFD CBE 例2已知 如图 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD BC分别交于E F 求证 四边形AFCE是菱形 例3 如图 在 ABCD中 O是对角线AC的中点 过点O作AC的垂线与边AD BC分别 交于E F 求证 四边形AFCE是菱形 例4 已知如图 菱形ABCD中 E是BC上一点 AE BD交于 M 若AB AE EAD 2 BAE 求证 AM BE 例5 10湖南益阳 如图 在菱形ABCD中 A 60 4 O为对角线BD的中点 过O点作OE AB 垂足为E 1 求线段 的长 例6 2011四川自贡 如图 四边形ABCD是菱形 DE AB交BA的延 长线于E DF BC 交BC的延长线于F 请你猜想DE与DF的大小有 什么关系 并证明你的猜想 例7 2011山东烟台 如图 菱形ABCD的边长为2 BD 2 E F分别是边AD CD上的 两个动点 且满足AE CF 2 1 求证 BDE BCF 2 判断 BEF的形状 并说明理由 3 设 BEF的面积为S 求S的取值范围 三 正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义的 它包含两层意思 有一组邻边相等的平行四边形 菱形 有一个角是直角的平行四边形 矩形 正方形不仅是特殊的平行四边形 并且是特殊的矩形 又是特殊的 菱形 正方形定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫 做正方形 正方形是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 正方形 又是轴对称图形 对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线 共有 四条对称轴 因为正方形是平行四边形 矩形 又是菱形 所以它的性质是它们 性质的综合 正方形的性质总结如下 边 对边平行 四边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 注意 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角 形 对角线与边的夹角是45 正方形的两条对角线把它分成四个全等 的等腰直角三角形 这是正方形的特殊性质 正方形具有矩形的性质 同时又具有菱形的性质 正方形的判定方法 1 有一个角是直角的菱形是正方形 2 有一组邻边相等的矩形是正方形 注意 1 正方形概念的三个要点 1 是平行四边形 2 有一个角是直角 3 有一组邻边相等 2 要确定一个四边形是正方形 应先确定它是菱形或是矩形 然后 再加上相应的条件 确定是正方形 例1 已知 如图 正方形ABCD中 对角线的交点为O E是OB上的一 点 DG AE于G DG交OA于F 求证 OE OF 例2 已知 如图 四边形ABCD是正方形 分别过点A C两点 作l1 l2 作BM l1于M DN l1于N 直线MB DN分别交l2于Q P 点 求证 四边形PQMN是正方形 例3 2011海南 如图 P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动 点 P与A C不重合 点E在射线BC上 且PE PB 1 求证 PE PD PE PD 2 设AP x PBE的面积为y 求出y关于x的函数关系式 并写出x的取值范围 当x取何值时 y取得最大值 并求出这个最大值 实战演练 1 对角线互相垂直平分的四边形是 A 平行四边形 菱形 B 矩形 菱形 C 矩形 正方 形 D 菱形 正方形 2 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 A 等腰梯形 B 正方形 C 平行四边形 D 矩形 3 如图 已知四边形ABCD是平行四边形 下列结论中不正确的是 A 当AB BC时 它是菱形 B 当AC BD时 它是菱形 C 当 ABC 900时 它是矩形 D 当AC BD时 它是正方形 D C B A 4 如图 在中 点分别在边 上 且 下列四个判断中 不正确的 是 A 四边形是平行四边形 B 如果 那么四边形是矩形 C 如果平分 那么四边形是菱形 D 如果且 那么四边形是菱形 5 如图 四边形为矩形纸片 把纸片折叠 使点恰好落在边的中点处 折痕为 若 则等于 A B C D 6 如图 矩形的周长为 两条对角线相交于点 过点作的垂线 分别交 于点 连结 则的周长为 A 5cm B 8cm C 9cm D 10cm 7 在右图的方格纸中有一个菱形ABCD A B C D四点均为格 点 若方格纸中每个最小正方形的边长为1 则该菱形的面积为 A A B C D D B C 8 如图 在矩形中 对角线交于点 已知 则的长为 9 边长为 cm的菱形 一条对角线长是6cm 则另一条对角线的长是 10 如图所示 菱形 中 对角线 相交于点 若再补充一个条件能使菱形 成为正方形 则这个条件是 只填一个条件即可 B C D A P A D C B O 11 如图 已知P是正方形ABCD对角线BD上一点 且BP BC 则 ACP度 数是 12 如图 矩形 中 是 与 的交点 过 点的直线 与 的延长线分别交于 1 求证 2 当 与 满足什么关系时 以 为顶点的四边形是菱形 证明你的结论 F D O C B E A 第12题图 13 将两块全等的含30 角的三角尺如图1摆放在一起 设较短直角边为 1 图1 图2 图3 图4 1 四边形ABCD是平行四边形吗 说出你的结论和理由 2 如图2 将Rt BCD沿射线BD方向平移到Rt B1C1D1的位置 四边 形ABC1D1是平行四边形吗 说出你的结论和理由 3 在Rt BCD沿射线BD方向平移的过程中 当点B的移动距离为 时 四边形ABC1D1为矩形 其理由是 当点B的移动距离为 时 四边形ABC1D1为菱形 其理由是 图3 图4用于探究 应用探究 1 如图 将矩形纸片沿对角线折叠 使点落在处 交于 若 则在不添 加任何辅助线的情况下 图中的角 虚线也视为角的边 有 A 6个 B 5个 C 4个 D 3个 D A C B M 2 如图 正方形的面积为1 是的中点 则图中阴影部分的面积是 A B C D 3 已知为矩形的对角线 则图中与一定不相等的是 B A 1 D C 2 1 1 2 B A D C B A C 1 2 D 1 2 B A D C A B C D 4 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志 将宽为的红丝带交叉成 60 角重叠在一起 如图 则重叠四边形的面积为 B F C A H D E G 5 如图 将矩形纸ABCD的四个角向内折起 恰好拼成一个无缝隙无重 叠的四边形EFGH 若EH 3厘米 EF 4厘米 则边AD的长是 厘米 6 如图 已知 点在边上 四边形是矩形 请你只用无刻度的直尺在图 中画出的平分线 请保留画图痕迹 A B C D E 7 如图 矩形纸片ABCD AB 2 点E在BC上 且AE EC 若将纸片沿 AE折叠 点B恰好落在AC上 则AC的长是 A B C P D E 第二章 一元二次方程 一 一元二次方程 一 一元二次方程定义 含有一个未知数 并且未知数的最高次数是2的整式方程 叫做一元二次方程 二 一元二次方程的一般形式 它的特征是 等式左边是一个关于未知数x的二次多项 式 等式右边是零 其中叫做二次项 a叫做二次项系数 bx 叫做一次项 b叫做一次项系数 c叫做常数项 例 方程 是一元二次方程 则 二 一元二次方程的解法 1 直接开平方法 直接开平方法适用于解形如的一元二次方程 当时 当b 0时 方程没有实数根 例 第二象限内一点A x 1 x2 2 关于x轴的对称点为B 且AB 6 则x 2 配方法 一般步骤 1 方程两边同时除以a 将二次项系数化为1 2 将所得方程的常数项移到方程的右边 3 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方 4 配方 化成 5 开方 当时 当b 0时 方程没有实数根 例 若方程 有解 则 的取值范围是 A B C D 无法确定 3 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法 它是解一元 二次方程的一般方法 一元二次方程的求根公式 例 已知x2 4x 2 0 那么3x2 12x 2012的值为 4 因式分解法 一元二次方程的一边为0 另一边易于分解成两个一次因 式的乘积时使用此方法 例 已知一个三角形的两边长是方程x2 8x 15 0的两根 则第三 边y的取值范围是 A y 8 B 3 y 5 c 2 y0k0时 函数图象 的两个分支分别在第一 三象限 在每个象限内 y随x 的增大而减小 当k 0时 函数图象 的两个分支分别在第二 四象限 在每个象限内 y随x 的增大而增大 例 在同一坐标系中 函数和的图像大致是 A B C D 例 反比例函数 当时 其图象的两个分支在第一 三象限 内 例 反比例函数的对称轴有 条 A 0 B 1 C 2 D 无数 例 对于反比例函数 下列说法不正确的是 A 它的图象分布在第一 三象限 B 点 在 它的图象上 C 它的图象是中心对称图形 D 随的增大而增 大 例 已知反比例函数 k 0 的图象上有两点A B 且 则的值是 A 正数 B 负数 C 非正数