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1 数学分析数学分析 4 测试题测试题 1 一 填空题 每小题 4 分 共 28 分 1 用含参量积分定义的贝塔函数 B p q 余元公式 B p 1 p 2 曲面 222 236xyz 在点 3 2 1 处的切平面方程为 法线方 程为 3 将如下积分改变累次积分顺序 33 0 x x dxf x y dy 4 设 L 是沿抛物线 2 3yx 从 O 0 0 到 A 2 12 的一段 则 L xdyydx 5 设 yzxzxyu v w uvw xyzx y z 则 6 全微分 2222 2 2 xxyydxxxyydy 的原函数为 7 设 S 是以原点为中心 每边长为 2 的正方体的表面 指向外侧 则 S yz dzdx 二 计算题 每小题 9 分 共 54 分 1 讨论函数 sinsinsin f x yxyxy 的极值 2 设 f x y 在区域 D 上连续 试将积分 D f x y dxdy 化为 直角坐标下 不同 顺序的累次积分 1 D 由不等式 22 0 1yx yxy 所确定的区域 2 D 是 由抛物线 2 yx 与直线 x 2y 3 0 及 x 轴所围成的区域 3 计算积分 2 1 V yx dxdydz 其中 V 由曲面 2222 1 1 1yxyxzy 所围成 4 应用高斯公式计算积分 2 2 S x dydzzy dxdy 其中 S 为由平面 2y 2z 3 0 z 0 及圆柱面 22 1xy 所围成空间区域整个边界的内侧 5 计算sin D yxdxdy 其中 D 是由 2 8 2yx yx 所围成的区域 6 计算 22 C xdyydx xy 其中 C 是取正向的光滑曲线 且闭曲线内部含有原点 2 三 证明题 每小题 9 分 共 18 分 1 设z f x y 在 有 界 闭 域D上 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 且 22 22 0 zz xy 2 0 z x y 试证 f 的最大值和最小值只能在 D 的边界上取得 2 设 0 0 Dx yxy 证明 22 xy D edxdy 收敛 数学分析数学分析 4 测试题测试题 2 一 填空题 每小题 4 分 共 28 分 1 用含参量积分定义的贝塔函数 s 当1nsn 围成的区域 2 2 Dx yxy 3 计算积分 y x y D edxdy 其中 1 0 0 Dx yxyxy 3 4 应用高斯公式计算积分 V xyyzzx dxdydz 其中 V 是由0 0 xy 01z 与 22 1xy 所确定的空间区域 5 计算cos D yxdxdy 其中 D 是由 2 3 yx yx 所围成的区域 6 计算 2 2 2 C xydxxx dy 其中 12 CCC 1 C 是按顺时针方向的圆周 22 1xy 2 C 是按逆时针方向的椭圆周 22 1 94 xy 三 证明题 每小题 9 分 共 18 分 1 设 z f x y 在有界闭域 连续 且在 内任一子域D 都有0 D f 则 在 上 0f x y 2 应用 含参量 积分号下微分法证明 1 2 0 ln 1 ln2 18 x dx x 数学分析数学分析 4 测试题测试题 3 一 填空题 每题 4 分 共 28 分 1 空间曲线方程为 0 0 F x y zG x y z 与若它在点 0000 P xyz的某邻域 内满足隐函数组定理的条件 则此曲线在 0 P 点的切线方程是 2 函数定义为 s 3 设2 OA Ixdyydx OA 是由 O 0 0 到 A 2 2 的有向线段 则 I 的值 为 4 设 22 C Jxyds 其中 C 为曲线 22 2 xy 则 J 的值为 5 圆锥 22 zxy 在圆柱体 22 xyx 内的那部分面积为 6 若函数P x y Q x y 及其一阶偏导数在可求面积的区域D上连续 逐段光 滑曲线L是D的边界 则格林公式可得 D PQ dxdy yx 其 中 L 的方向为 7 球 2222 xyza 的体积用三重积分表示为 用二重积 4 分表示为 用定积分表示为 设以 V 表示 此求 表示 V 在 xoy 平面上的投影 二 计算题 每题 7 分 共 56 分 1 在曲线 23 xt ytzt 上求一点 使曲线在此点的切线平行于平面 24 xyz 2 求原点到平面 AxByCzD 的最短距离 3 在积分 22 01 x x dxf x y dy 引进新变量 u x y v x y 后 化为关于 u v 的 累次积分 只要写出一种积分顺序的累次积分 4 在积分 D f x y dxdy 22 0 Dx yxyy x 引进极坐标变换后 把此积分写成先对 后对 的累次积分 5 计算 S xyzds 其中 S 为平面 x y z 1 在第一卦限的部分 6 计算 22 L xdxydy xy 其中 L 为圆 222 xya 取逆时针方向 7 计算 S zdxdy 其中 S 是椭球面 222 2 222 xyz a abc 取外侧 8 把积分 22 11 000 xy dxdyf x y z dz 改变成先对 x 再对 y 后对 z 的累次积分 三 证明题 每题 8 分 共 16 分 1 设函数 f x y 在可求面积的区域 D 上连续 若 D 上成立 0f x y f x y 在 D 上不恒为 0 则 0 D f x y dxdy 2 确定常数 的值 使 2 2 c d a b xx Kr dxr dy yy 的值与路径无关 并在此 值时求 K 的值 其中 222 0 0 rxy bd 数学分析数学分析 4 测试题测试题 4 一 填空题 每题 4 分 共 28 分 1 空间曲线 F x y z 0 与 G x y z 0 在 0000 P xyz的某邻域内满足隐函数 5 组定理的条件 则此曲线在 0000 P xyz处的法平面方程为 2 设 D 为可求面积的平面图形 函数 f x y 在 D 上有连续的一阶偏导数 则 z f x y x y D 所确定的曲面的面积 用二重积分表示的计算公式为 3 若函数 P x y Q x y 在闭区域 2 DR 上连续 且有连续的二阶偏导数 则由格林公式可得 L D PdxQdy 其中 L 是 D 的边界取正 向 4 贝塔函数定义为 B p q 5 积分 OA xdyydx 的值为 其中OA为抛物线 2 2yx 上从O 0 0 到 A 1 2 的有向线段 6 积分 AB xy ds 的值为 其中 A 0 1 B 1 0 AB 为过 A 和 B 的直 线段 7 设 曲 线L由 曲 线 yf xyg xf xg x xa b 构 成 且 f a g a f b g b L 围成的平面区域为 D 当 fx g x 均连续时 则区域 的面积用定积分表示为 用第二型曲线积分表示 为 二 算题 每小题 7 分 共 56 分 1 在曲面 222 2321xyz 上求某点 使该点处曲面的切平面平行于平面 460 xyz 要找出曲面上切平面与 x 4y 6z 0 平行的所有点 2 用拉格朗日乘数法求函数 f x y z t x y z t 在条件 4 xyztC 其中 x y z t 均为正 C 0 条件下的极值 3 在坐标变换 uxy vxy 后 计算积分 x y x y D edxdy 其中 D 由 x 0 y 0 及 x y 1 所围成 4 L Iy dx 其中 L 为 22 1xy 试计算 I 的值 5 计算 22 3 S ds xy 其中 S 为立体 22 1xyz 的边界曲面 6 计算 S xydydzyzdxdzxzdxdy 其中 S 由平面0 0 0 xyz 与 6 x y z 1 所围成的四面体的表面 取外侧为正向 7 用极坐标变换计算积分 D xy dxdy 其中 22 Dx yxyxy 8 把 11 000 xx y dxdyf x y z dz 改为累次积分 1 先对 x 再对 z 后对 y 2 先对 y 再对 x 后对 z 三 证明题 共 16 分 1 若在可求面积的区域 D 上 f x y 连续 且对于 D 内任一子区域DD 均 成立0 D f 则在 D 上 f x y 0 2 函数u x y w x y 及其一阶偏导数在可求面各的平面区域D上连续 逐段 光滑的封闭曲线 L 是 D 的边界取正向 求证 L DD uw wdxdywudyudxdy xx 数学分析数学分析 4 测试题测试题 5 一 填空题 每小题 4 分 共 28 分 1 设由方程 323 0 xyzxyz 确定的隐函数 zf x y 则 z x 2 椭球面 222 236xyz 在 1 1 1 处的切平面方程为 3 格马函数 s 当1 nsnsn 围成的区域 2 2 Dx yxy 3 计算积分 2 1 V yx dxdydz 其中 V 由曲面 2222 1 1 1yxyxzy 所围成 4 应用高斯公式计算积分 V xyyzzx dxdydz 其中 V 是由0 0 xy 01z 与 22 1xy 所确定的空间区域 5 计算sin D yxdxdy 其中 D 是由 2 8 2yx yx 所围成的区域 6 计算 2 2 2 C xydxxx dy 其中 12 CCC 1 C 是按顺时针方向的圆周 22 1xy 2 C 是按逆时针方向的椭圆周 22 1 94 xy 三 证明题 每小题 9 分 共 18 分 1 设z f x y 在 有 界 闭 域D上 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 且 22 22 0 zz xy 2 0 z x y 试证 f 的最大值和最小值只能在 D 的边界上取得 2 应用 含参量 积分号下微分法证明 1 2 0 ln 1 ln2 18 x dx x 数学分析数学分析 4 测试题测试题 8 一 填空题 每小题 4 分 共 28 分 1 用含参量积分定义的贝塔函数 s 当1nsn 时 有 10 1 S Sn 2 曲面 222 236xyz 在点 3 2 1 处的切平面方程为 法线 方程为 3 将如下积分改变累次积分顺序 42 0 x x dxf x y dy 4 设 L 是沿抛物线 2 3yx 从 O 0 0 到 A 2 12 的一段 则 L xdyydx 5 设 sincos sinsin cos x y z xryrzr r 则 6 全微分 2222 2 2 xxyydxxxyydy 的原函数为 7 设 S 是以原点为中心 每边长为 2 的正方体的表面 指向外侧 则 S zx dzdx 二 计算题 每小题 9 分 共 54 分 1 求内接于半径为 R 的半球的最大长方体的长 宽 高 2 设 f x y 在区域 D 上连续 试将积分 D f x y dxdy 化为 直角坐标下 不同 顺序的累次积分 1 D 由不等式 22 0 1yx yxy 所确定的区域 2 D 是 由抛物线 2 yx 与直线 x 2y 3 0 及 x 轴所围成的区域 3 计算积分 y x y D edxdy 其中 1 0 0 Dx yxyxy 4 应用高斯公式计算积分 2 2 S x dydzzy dxdy 其中 S 为由平面 2y 2z 3 0 z 0 及圆柱面 22 1xy 所围成空间区域整个边界的内侧 5 计算cos D yxdxdy 其中 D 是由 2 3 yx yx 所围成的区域 6 计算 22 C xdyydx xy 其中 C 是取正向的光滑曲线 且闭曲线内部含有原点 三 证明题 每小题 9 分 共 18 分 1 设 z f x y 在有界闭域 连续 且在 内任一子域D 都有0 D f 则 11 在 上 0f x y 2 设 0 0 Dx yxy 0 条件下的极值 3 在积分 22 01 x x dxf x y dy 引进新变量 u x y v x y 后 化为关于 u v 的 累次积分 只要写出一种积分顺序的累次积分 4 L Iy dx 其中 L 为 22 1xy 试计算 I 的值 12 5 计算 S xyzds 其中 S 为平面 x y z 1 在第一卦限的部分 6 计算 S xydydzyzdxdzxzdxdy 其中 S 由平面0 0 0 xyz 与 x y z 1 所围成的四面体的表面 取外侧为正向 7 计算 S zdxdy 其中 S 是椭球面 222 2 222 xyz a abc 取外侧 8 把 11 000 xx y dxdyf x y z dz 改为累次积分 1 先对 x 再对 z 后对 y 2 先对 y 再对 x 后对 z 三 证明题 每题 8 分 共 16 分 1 设函数 f x y 在可求面积的区域 D 上连续 若 D 上成立 0f x y f x y 在 D 上不恒为 0 则 0 D f x y dxdy 2 函数u x y w x y 及其一阶偏导数在可求面各的平面区域D上连续 逐段 光滑的封闭曲线 L 是 D 的边界取正向 求证 L DD uw wdxdywudyudxdy xx 数学分析数学分析 4 测试题测试题 10 一 填空题 每题 4 分 共 28 分 1 空间曲线 F x y z 0 与 G x y z 0 在 0000 P xyz的某邻域内满足隐函数 组定理的条件 则此曲线在 0000 P xyz处的法平面方程为 2 函数定义为 s 3 若函数 P x y Q x y 在闭区域 2 DR 上连续 且有连续的二阶偏导数 则由格林公式可得 L D PdxQdy 其中 L 是 D 的边界取正 向 4 设 22 C Jxyds 其中 C 为曲线 22 2 xy 则 J 的值为 5 积分 OA xdyydx 的值为 其中OA为抛物线 2 2yx 上从O 0 0 到 A 1 2 的有向线段 13 6 若函数P x y Q x y 及其一阶偏导数在可求面积的区域D上连续 逐段光 滑曲线L是D的边界 则格林公式可得 D PQ dxdy yx 其 中 L 的方向为 7 设 曲 线L由 曲 线 yf xyg xf xg x xa b 构 成 且 f a g