高二数学数列练习题(含答案)

1 高二高二 数列数列 专题专题 1 1 与与的关系 的关系 已知求 应分时 时 n S n a 1 1 1 1 n nn Sn a SSn n S n a1 n 1 a 2 n 两步 最后考虑是否满足后面的 n a 1 a n a 2 等差等比数列等差等比数列 等差数列等比数列 定义 1nn aad 2n 1 n n a q nN a 通项 dnaan 1 1 nm aanm dnm 中项 如果成等差数列 那么叫做与的等差中等差中 a A bAab 项项 2 ab A 等差中项的设法 如果成等比数列 那么叫做与 a G bGa 的等比中项等比中项 b 等比中项的设法 a q aaq 前 项n 和 2 1nn aa n S d nn naSn 2 1 1 若 mnpq aaaa m n p qNmnpq 则 2mpq 若 则 qpnm 2 2 mpq mpqaaap q n mN 若则有 性 质 为等差数列 n S 2nn SS 32nn SS 为等比数列 n S 2nn SS 32nn SS 函数 看数 列 1 2 22 1 22 n n adnadAnB dd snanAnBn 1 11 1 11 nn n nn n a aqAq q aa sqAAqq qq 判定 方法 1 定义法 证明为一个常数 1 Nnaa nn 2 等差中项 证明 11 2Nnaaa nnn 2 n 3 通项公式 为常数 n aknb k b N n 1 定义法 证明为一个常数 1 Nn a a n n 2 中项 证明 2 1nn aa 1 2 n anNn 3 通项公式 均是不为 0 n n acqc q 2 3 数列通项公式求法 数列通项公式求法 1 定义法 利用等差 等比数列的定义 2 累加法 3 累乘法 型 4 利用公式 5 构造法 型 6 n n n c a a 1 1 1 1 1 n nn Sn a SSn bkaa nn 1 倒数法 等 4 数列求和数列求和 1 公式法 2 分组求和法 3 错位相减法 4 裂项求和法 5 倒序相加法 5 的最值问题的最值问题 在等差数列中 有关 的最值问题 常用邻项变号法求解 n S n a n S 1 当 时 满足 的项数 m 使得取最大值 0 0 1 da 0 0 1m m a a m S 2 当 时 满足 的项数 m 使得取最小值 0 0 1 da 0 0 1m m a a m S 也可以直接表示 利用二次函数配方求最值 在解含绝对值的数列最值问题时 注意转化思想 n S 的应用 6 6 数列的实际应用数列的实际应用 现实生活中涉及到银行利率 企业股金 产品利润 人口增长 工作效率 图形面积 等实际问题 常考虑用数列的知识来解决 训练题训练题 一 选择题一 选择题 1 已知等差数列的前三项依次为 则 2011 是这个数列的 B n a1a 1a 23a A 第 1006 项 B 第 1007 项 C 第 1008 项 D 第 1009 项 2 在等比数列中 则等于 A n a48 5756 aaaa 10 S A 1023 B 1024 C 511 D 512 3 若 an 为等差数列 且 a7 2a4 1 a3 0 则公差 d A 2 B C D 2 1 2 1 2 由等差中项的定义结合已知条件可知 2a4 a5 a3 2d a7 a5 1 即 d 故选 B 1 2 4 已知等差数列 an 的公差为正数 且 a3 a7 12 a4 a6 4 则 S20为 A A 180 B 180 C 90D 90 5 2010 青岛市 已知为等差数列 若 则的值为 A n a 951 aaa 28 cos aa 4 为常数 2 n sAnBn A B nN 常数 4 为常数 n n sAq A A q A0 q0 1 3 A B C D 2 1 2 3 2 1 2 3 6 在等比数列 an 中 若 a3a5a7a9a11 243 则的值为 a2 9 a11 A 9 B 1 C 2 D 3 解析 由等比数列性质可知 a3a5a7a9a11 a 243 所以得 a7 3 又 a7 故选 5 7 a2 9 a11 a7a11 a11 D 7 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 a5 S5 且 a9 20 则 S11 1 2 A 260 B 220 C 130 D 110 解析 S5 5 又 a1 a5 2 S5 a1 a5 a1 a5 0 a3 0 S11 11 11 11 110 1 2 a1 a11 2 a3 a9 2 0 20 2 故选 D 8 各项均不为零的等差数列 an 中 若 a an 1 an 1 0 n N n 2 则 S2 009等于 2 n A 0 B 2 C 2 009 D 4 018 解析 各项均不为零的等差数列 an 由于 a an 1 an 1 0 n N n 2 则 2 n a 2an 0 an 2 S2 009 4 018 故选 D 2 n 9 数列 an 是等比数列且 an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 25 那么 a3 a5的值等于 A 5 B 10 C 15 D 20 解析 由于 a2a4 a a4a6 a 所以 a2 a4 2a3 a5 a4 a6 a 2a3a5 a a3 a5 2 32 52 32 5 2 25 所以 a3 a5 5 又 an 0 所以 a3 a5 5 所以选 A 10 首项为 1 公差不为 0 的等差数列 an 中 a3 a4 a6是一个等比数列的前三项 则这个 等比数列的第四项是 A 8 B 8 C 6 D 不确定 4 答案 B 解析 a a3 a6 1 3d 2 1 2d 1 5d 2 4 d d 1 0 d 1 a3 1 a4 2 q 2 a6 a4 q 4 第四项为 a6 q 8 11 在 ABC 中 tanA 是以 4 为第三项 4 为第七项的等差数列的公差 tanB 是以为第三项 9 为第六 3 1 项的等比数列的公比 则这个三角形是 B A 钝角三角形B 锐角三角形 C 等腰三角形D 非等腰的直角三角形 12 2009 澄海 记等差数列的前项和为 若 且公差不为 0 则当取最大值时 n a n s 103 ss n s n C A 4 或 5 B 5 或 6 C 6 或 7 D 7 或 8 13 在等差数列 an 中 前 n 项和为 Sn 且 S2 011 2 011 a1 007 3 则 S2 012的值为 A 1 006 B 2 012 C 2 012 D 1 006 答案 C 解析 方法一 设等差数列的首项为 a1 公差为 d 根据题意可得 Error 即Error 解得Error 所以 S2 012 2 012a1 d 2 012 2 012 1 2 2 012 4 021 2 012 2 011 2 2 012 4 022 4 021 2012 方法二 由 S2 011 2 011a1 006 2 011 解得 a1 006 1 则 2 011 a1 a2 011 2 S2 012 2 012 2 012 a1 a2 012 2 2 012 a1 006 a1 007 2 2 012 1 3 2 14 设函数 f x 满足 f n 1 n N 且 f 1 2 则 f 20 B 2f n n 2 A 95 B 97 C 105 D 192 5 解析 f n 1 f n Error n 2 累加 得 f 20 f 1 f 1 97 1 2 2 2 19 2 19 20 4 15 已知数列的前项和满足 则通项公式为 B n an n S1 1log2 nSn A B 2 Nna n n 2 2 1 3 n n a n n C D 以上都不正确 2 1 Nna n n 16 一种细胞每 3 分钟分裂一次 一个分裂成两个 如果把一个这种细胞放入某个容器内 恰好一小时充 满该容器 如果开始把 2 个这种细胞放入该容器内 则细胞充满该容器的时间为 D A 15 分钟 B 30 分钟 C 45 分钟 D 57 分钟 二 填空题 1 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若a2 1 a3 3 则 S4 8 2 2008 广东理 2 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若a1 S4 20 则 S6 48 2 1 3 2010 广州一模 在等比数列中 公比 若 则的值为 7 n a 1 1a 2q 64 n a n 4 2008 海南 宁夏理 4 设等比数列 an 的公比 q 2 前 n 项和为 Sn 则 2 4 a S 2 15 5 等差数列 an bn 的前 n 项和分别为 Sn和 Tn 若 则 Sn Tn 2n 3n 1 a100 b100 答案 解析 199 299 a100 b100 a1 a199 2 b1 b199 2 S199 T199 199 299 6 数列的前项和记为则的通项公式 n an 11 1 211 nnn S aaSn n a 解 由可得 两式相减得 1 21 nn aS 1 212 nn aSn 11 2 32 nnnnn aaa aan 又 故是首项为 公比为得等比数列 21 213aS 21 3aa n a13 1 3n n a 7 已知各项都为正数的等比数列 an 中 a2 a4 4 a1 a2 a3 14 则满足 an an 1 an 2 的最大正整数 n 的值为 答案 4 1 9 解析 设等比数列 an 的公比为 q 其中 q 0 依题意得 a a2 a4 4 又 a3 0 因此 2 3 6 a3 a1q2 2 a1 a2 a1 a1q 12 由此解得 q a1 8 an 8 1 2 1 2 n 1 24 n an an 1 an 2 29 3n 由于 2 3 因此要使 29 3n 只要 9 3n 3 即 1 8 1 9 1 9 n 4 于是满足 an an 1 an 2 的最大正整数 n 的值为 4 1 9 8 等比数列 an 的首项为 a1 1 前 n 项和为 Sn 若 则公比 q 等于 S10 S5 31 32 答案 解析 因为 所以 即 q5 5 所以 q 1 2 S10 S5 31 32 S10 S5 S5 31 32 32 1 32 1 2 1 2 三 解答题三 解答题 1 1 20102010 山东理数 山东理数 18 本小题满分 12 分 已知等差数列满足 的前 n 项和为 n a 3 7a 57 26aa n a n S 求及 令 bn nN 求数列的前 n 项和 n a n S 2 1 1 n a n b n T 1 解析 设等差数列的公差为 d 因为 所以有 n a 3 7a 57 26aa 解得 1 1 27 21026 ad ad 1 3 2ad 所以 321 2n 1 n an n S n n 1 3n 2 2 2 n 2n 由 知 所以 bn 2n 1 n a 2 1 1 n a 2 1 2n 1 1 11 4 n n 1 111 4n n 1 所以 n T 111111 1 4223n n 1 11 1 4n 1 n 4 n 1 即数列的前 n 项和 n b n T n 4 n 1 2 全国新课标理 17 已知等比数列 n a 的各项均为正数 且 2 12326 231 9aaaa a I 求数列 n a 的通项公式 II 设 31323 logloglog nn baaa 求数列 1 n b 的前 n 项和 7 2 解 设数列 an 的公比为 q 由 2 326 9aa a 得 32 34 9aa 所以 2 1 9 q 由条件可知 c 0 故 1 3 q 由 12 231aa 得 12 231aa q 所以 1 1 3 a 故数列 an 的通项式为 an 1 3n 31323n loglog log n baaa 12 1 2 n n n 故 1211 2 1 1 n bn nnn 12 111111112 2 1 22311 n n bbbnnn 所以数列 1 n b 的前 n 项和为 2 1 n n 3 本小题满分 12 分 已知 an 是各项均为正数的等比数列 且 a1 a2 2 a3 a4 a5 64 1 a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 a5 1 求 an 的通项公式 2 设 bn an 2 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 1 an 解析 1 设 an 的公比为 q 则 an a1qn 1 由已知 有 Error 化简 得Error 又 a1 0 故 q 2 a1 1 所以 an 2n 1 2 由 1 知 bn 2 a 2 4n 1 2 an 1 an 2 n 1 a2 n 1 4n 1 因此 Tn 1 4 4n 1 1 2n 2n 4n 41 n 1 4 1 4n 1 1 4n 1 4 1 1 4n 1 1 4 1 3 2n 1 4 山东省济南市 2011 已知为等比数列 为等差数列的前 n 项和 n a256 1 51 aa n S n b 2 1 b 85 25SS 1 求和的通项公式 2 设 求 n a n b n T nnb ababa 2211n T 8 解 1 设 an 的公比为 q 由 a5 a1q4得 q 4 所以 an 4n 1 设 bn 的公差为 d 由 5S5 2 S8得 5 5 b1 10d 2 8 b1 28d 32 2 3 2 3 1 ad 所以 bn b1 n 1 d 3n 1 2 Tn 1 2 4 5 42 8 4n 1 3n 1 4Tn 4 2 42 5 43 8 4n 3n 1 得 3Tn 2 3 4 42 4n 4n 3n 1 2 4 1 4n 1 4n 3n 1 2 3n 2 4n Tn n 4n 3 2 3 2 5 20132013 广东理 广东理 设数列的前项和为 已知 n an n S 1 1a 2 1 212 33 n n S ann n n N 求的值 求数列的通项公式 2 a n a 证明 对一切正整数 有 n 12 1117 4 n aaa 解析解析 依题意 又 所以 12 12 21 33 Sa 11 1Sa 2 4a 当时 2n 32 1 12 2 33 nn Snannn 32 1 12 21111 33 nn Snannn 两式相减得 2 1 12 2133121 33 nnn ananannn 整理得 即 又 1 11 nn nanan n 1 1 1 nn aa nn 21 1 21 aa 故数列是首项为 公差为 的等差数列 n a n 1 1 1 a 1 所以 所以 111 n a nn n 2 n an 当时 当时 1n 1 17 1 4a 2n 12 11157 1 444aa 当时 此时3n 2 11111 11 n annnnn 222 12 11111111111111 11 434423341 n aaannn 111717 1 4244nn 9 综上 对一切正整数 有 n 12 1117 4 n aaa 6 本小题满分 14 分 设各项均为正数的数列的前项和为 满足且 n an n S 2 1 441 nn SannN 构成等比数列 2514 a a a 1 证明 2 求数列的通项公式 21 45aa n a 3 证明 对一切正整数 有 n 12231 1111 2 nn a aa aa a 1 解析 1 当时 1n 22 1221 45 45aaaa 21 045 n aaa 2 当时 2n 2 1 4411 nn San 22 11 4444 nnnnn aSSaa 2 22 1 442 nnnn aaaa 1 02 nnn aaa 当时 是公差的等差数列 2n n a2d 构成等比数列 解得 2514 a a a 2 5214 aaa 2 222 824aaa 2 3a 由 1 可知 2 121 45 4 1aaa 是首项 公差的等差数列 21 3 12aa n a 1 1a 2d 数列的通项公式为 n a21 n an 3 12231 1111111 1 33 55 72121 nn a aa aa ann 11111111 1 2335572121 111 1 2212 nn n 7 7 本题满分 本题满分 14 分 分 2 a 5 a是方程是方程 2 x02712 x的两根的两根 数列数列 n a是公差为正的等差数列 数列是公差为正的等差数列 数列 n b的前的前n项和为项和为 n T 且且 n T 2 1 1 n b Nn 1 1 求数列求数列 n