高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练

1 高一数学正 余弦定理知识点梳理和分层训练 班级 姓名 座号 1 正弦定理 或变形 2 sinsinsin abc R ABC sin sin sina b cABC 2 余弦定理 或 222 222 222 2cos 2cos 2cos abcbcA bacacB cbabaC 222 222 222 cos 2 cos 2 cos 2 bca A bc acb B ac bac C ab 3 1 两类正弦定理解三角形的问题 1 已知两角和任意一边 求其他的两边及一角 2 已知两角和其中一边的对角 求其他边角 2 两类余弦定理解三角形的问题 1 已知三边求三角 2 已知两边和他们的夹角 求第三边和其他两 角 4 判定三角形形状时 可利用正余弦定理实现边角转化 统一成边的形式或角的形式 5 解题中利用中 以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ABC 的运算 如 sin sin ABC cos cos ABC tan tan ABC sincos cossin 2222 ABCABC 表一 已知条件定理应 用 一般解法 一边和两角 如 a B C 正弦 定理 由 A B C 180 求角 A 由正弦定理求出 b 与 c 在 有解时有一解 两边和一边的对角 如 a b A 正弦 定理 具体情况见表二 两边和夹角 如 a b C 余弦 定理 由余弦定理求第三边 c 由正弦定理求出小边所对的角 再 由 A B C 180 求出另一角 在有解时有一解 2 三边 如 a b c 余弦 定理 由余弦定理求出角 A B 再利用 A B C 180 求出 角 C 在有解时只有一解 表二 表二 已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况 具体方法可以 借助于下了表格 A 为钝角A 为直角A 为锐角 a b 一解一解一解 a b 无解无解一解 a bsinA 两解 a bsinA 一解 a b 无解无解 a bsinA 无解 基础达标 基础达标 1 在 ABC 中 a 18 b 24 A 45 此三角形解的情况为 A 一个解 B 二个解 C 无解 D 无法确定 2 在 ABC 中 若 则 A 的度数是2 2 2 62abc A 30 B 45 C 60 D 75 3 ABC 中 若 a2 b2 c2 bc 则 A A 60 B 45 C 120 D 30 4 边长为 5 7 8 的三角形的最大角与最小角之和为 A 90 B 120 C 135 D 150 5 在 ABC 中 已知 B 45 求 A C 及 c 3 a2 b 3 6 在中 若 求 ABC 0 45B 2 2c 4 3 3 b A 7 在中 若 求 ABC 222 abcbc A 能力提升 能力提升 8 锐角 ABC 中 若 C 2B 则的取值范围是 AC AB A 0 2 B C D 2 2 3 2 2 3 9 已知在 ABC 中 sinA sinB sinC 3 2 4 那么 cosC 的值为 A 3 2 D 3 2 C 4 1 B 4 1 10 等腰三角形底边长为 6 一条腰长 12 则它的外接圆半径为 A B C D 16 15 5 4 3 8 15 5 6 3 11 在中 已知三边 满足 则 ABC abc 3abcabcab C A B C D 15 30 45 60 12 钝角的三边长为连续自然数 则这三边长为 ABC A 1 2 3 B 2 3 4 C 3 4 5 D 4 5 6 4 13 在 ABC 中 BC 3 AB 2 则 A 16 5 2 sin sin B C 14 在 ABC 中 A 60 b 1 c 4 则 sinsinsin abc ABC 15 在 ABC 中 B 120 sinA sinC 3 5 b 14 则 a c 长为 综合探究 综合探究 16 已知钝角的三边为 求实数的取值范围 ABC ak 2bk 4ck k 17 在中 角 A B C 的对边分别为 a b c 证明 ABC 22 2 sin sin abAB Cc 5 1313 周周练参考答案 周周练参考答案 基础达标 基础达标 1 B 2 A 3 C 4 B 5 解析 解法 1 由正弦定理得 2 3 2 45sin3sin sin b Ba A A 60 或 120 当 A 60 时 C 75 2 26 45sin 75sin2 sin sin B Cb c 当 A 120 时 C 15 2 26 45sin 15sin2 sin sin B Cb c 6 sinsin bc BC sin2 2sin453 sin 4 2 3 3 cB C b 或0180C 60C 120C 当时 当时 60C 75A 120C 15A 所以或 75A 15A 7 222 bc bca 由余弦定理的推论得 222 1 cos 22 bca A bc 0180A 60A 能力提升 能力提升 8 C 9 A 10 C 11 D 由 得 3abcabcab 222 23ababcab 由余弦定理的推论得 222 1 cos 22 abc C ab 0180C 60C 6 12 B 只需要判定最大角的余弦值的符号即可 选项 A 不能构成三角形 选项 B 中最大角的余弦值为 故该三角形为钝角三角形 222 2341 0 2 2 34 选项 C 中最大角的余弦值为 故该三角形为直角三角形 222 345 0 2 4 3 选项 D 中最大角的余弦值为 故该三角形为锐角三角形 222 4561 0 2 4 58 13 120 14 15 6 10 2 39 3 综合探究 综合探究 16 中边 ABC ak 2bk 4ck 且边最长 0ak c 为钝角三角形 ABC 当 C 为钝角时 222 cos0 2 abc C ab 即 222 0abc 222 abc 解得 222 2 4 kkk 26k 又由三角形两边之和大于第三边 得到 2 4kkk 2k 故实数的取值范围 k26k 17 证法一 由正弦定理得 2222 222 sinsincos2cos2 sin2sin abABBA cCC 2 2sin sin 2sin BABA C 2 sinsin sin CAB C sin sin AB C 证法二 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA 则 222 22 2cos2 1cos abcbcAb A ccc 7