比和比例奥数讲义

1 比和比例 在应用题的各种类型中 有一类与数量之间的 正 反 比例 关系有关 在解答这类应用题时 我们需要对题中各个量之间的关 系作出正确的判断 成正比或反比的量中都有两种相关联的量 一种量 记作 x 变化时另一种量 记作 y 也随着变化 与这两个量联系着 有一 个不变的量 记为 k 在判断变量 x 与 y 是否成正 反比例时 我 们要紧紧抓住这个不变量 k 如成正比例 如果 k 是 y 与 x 的积 即在 x 变化时 y 与 x 的积不变 xy k 那么 y 与 x 成反比例 如 果这两个关系式都不成立 那么 y 与 x 不成 正和反 比例 下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始 例 1 下列各题中的两种量是否成比例 成什么比例 速度一定 路程与时间 路程一定 速度与时间 路程一定 已走的路程与未走的路程 总时间一定 要制造的零件总数和制造每个零件所用的时 间 总产量一定 亩产量和播种面积 整除情况下被除数一定 除数和商 同时同地 竿高和影长 半径一定 圆心角的度数和扇形面积 2 两个齿轮啮合转动时转速和齿数 圆的半径和面积 11 长方体体积一定 底面积和高 12 正方形的边长和它的面积 13 乘公共汽车的站数和票价 14 房间面积一定 每块地板砖的面积与用砖的块数 15 汽车行驶时每公里的耗油量一定 所行驶的距离和耗油总 量 分析 以上每题都是两种相关联的量 一种量变化 另一种量也 随着变化 那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢 关 键是能否把两个两种形式 或只能写出加减法关系 那么这两种量 就不成比例 例如 零件数 总时间 总时间一定 制造每个零 件用的时间与要制造的零件总数成反比例 路程一定 已走的路 程和未走的路程是加减法关系 不成比例 解 成正比例的有 15 成反比例的有 11 14 不成比例的有 12 13 例 2 一条路全长 60 千米 分成上坡 平路 下坡三段 各段 路程长的比依次是 1 2 3 某人走各段路程所用时间之比依次是 4 5 6 已知他上坡的速度是每小时 3 千米 问此人走完全程用了 多少时间 分析 要求此人走完全程用了多少时间 必须根据已知条件先求 3 出此人走上坡路用了多少时间 必须知道走上坡路的速度 题中每 小时行 3 千米 和上坡路的路程 已知全程 60 千米 又知道上坡 平路 下坡三段路程比是 1 2 3 就可以求出上坡路的路程 解 上坡路的路程 60 10 千米 1 123 走上坡路用的时间 10 3 小时 1 3 3 上坡路所用时间与全程所用时间比 44 45615 走完全程所用时间 小时 1 3 3 4 15 1 12 2 答 此人走完全程共用小时 1 12 2 例 3 一块合金内铜和锌的比是 2 3 现在再加入 6 克锌 共得 新合金 36 克 求新合金内铜和锌的比 分析 要求新合金内铜和锌的比 必须分别求出新合金内铜和锌 各自的重量 应该注意到铜和锌的比是 2 3 时 合金的重量不是 36 克 而是 36 6 克 铜的重量始终没有变 解 铜和锌的比是 2 3 时 合金重量 36 6 30 克 铜的重量 30 12 克 2 23 新合金中锌的重量 4 36 12 24 克 新合金内铜和锌的比 12 24 1 2 答 新合金内铜和锌的比是 1 2 例 4 师徒两人共加工零件 168 个 师傅加工一个零件用 5 分钟 徒弟加工一个零件用 9 分钟 完成任务时 两人各加工零件多少个 分析 师傅加工一个零件用 5 分钟 每分钟可加工 个零件 1 5 徒弟加工一个零件用 9 分钟 每分钟可加工零件 个 师 徒两人 1 9 效率的比是 由于两人的工作时间是一定的 根据 1 5 1 9 一定 工作量与工作效率成正比例 工作量 工作时间 工作效率 解法 1 设师傅加工 x 个 徒弟加工 168 x 个 1 5 1 168 9 x x 解得 x 108 168 x 168 108 60 个 答 师傅加工 108 个 徒弟加工 60 个 解法 2 由于师 徒两人工作效率的比是 那么他们工作量 1 1 5 9 的比也是 因此师傅工作量是徒弟工作量的 倍 徒 1 1 5 9 1 5 1 9 4 1 5 弟的工作量为 1 倍量 168 1 60 个 徒弟 1 5 1 9 5 60 108 个 师傅 1 5 1 9 解法 3 师傅每分钟加工 个 徒弟每分钟加工 个 用相遇问 1 5 1 9 题思考方法可求出两人各用了多少分钟 然后用师 徒每分钟各自 的效率 分别乘以 540 就是各自加工零件的个数 168 540 分钟 1 5 1 9 540 108 个 1 5 540 60 个 1 9 解法 4 按比例分配做 9 5 1 5 1 9 168 108 个 9 95 168 60 个 5 95 例 5 洗衣机厂计划 20 天生产洗衣机 1600 台 生产 5 天后由于 改进技术 效率提高 25 完成计划还要多少天 分析 这是一道比例应用题 工效和工时是变量 不变量是计划 生产 5 天后剩下的台数 从工效看 有原来的效率 1600 20 80 台 天 又有提高后的效率 80 1 25 100 台 天 从时间看 有原来计划的天数 要求效率提高后还需要的天数 根据工效和工时成反比例的关系 得 提高后的效率 所需天数 剩下的台数 解法 1 设完成计划还需 x 天 1600 20 1 25 x 1600 1600 20 5 80 1 25 x 1600 400 6 100 x 1200 x 12 答 完成计划还需 12 天 解法 2 此题还可以转化成正比例 根据实际效率是原来效率 的 1 25 倍 把原来效率看成 1 实际和原来效率的比是 1 1 4 1 1 4 1 5 4 因为工效和工时成反比例 所以实际与原来所需时间的比 是 4 5 如果设实际还需要 x 天 原来计划的天数是 20 5 15 天 根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比 可以用正 比例解答 设完成计划还需 x 天 4 5205 x 解得 x 12 解法 3 按工程问题解 设完成计划还需 x 天 1 25 1 5 1 20 x 1 20 解得 12x 例 6 一个长方形长与宽的比是 14 5 如果长减少 13 厘米 宽 增加 13 厘米 则面积增加 182 平方厘米 那么原长方形面积是多少 平方厘米 画出图便于解题 7 解法 1 BC 的长 182 13 14 厘米 BD 的长 14 13 27 厘米 从图中看出 AB 长就是原长方形的宽 AD 与 AB 的比是 14 5 AB 与 BD 的比是 5 14 5 5 9 AB 的长是 27 15 厘米 9 5 AD 的长是 15 42 厘米 5 14 原长方形面积是 42 15 630 平方厘米 答 原长方形面积是 630 平方厘米 解法 2 设原长方形长为 14x 宽为 5x 由图分析得方程 14x 13 13 5x 13 182 x 3 则原长方形面积 14 3 5 3 630 平方厘米 例 4 例 5 例 6 是综合性较强的题 介绍了几种不同解法 要 求大家从不同角度 综合 灵活运用所学知识 多角度去思考解答 8 应用题 从而提高自己思维判断能力 9 习题 1 一块长方形的地 长和宽的比是 3 2 长比宽多 24 米 这 块地的面积是多少平方米 2 一块长方形的地 长和宽的比是 3 2 长方形的周长是 120 米 求这块地的面积 3 水果店运来橘子 苹果共 96 筐 橘子和苹果筐数的比是 5 3 求橘子 苹果各是多少筐 4 化肥厂计划生产化肥 1400 吨 由于改进技术 5 天就完成了 计划的 25 照这样计算 剩下的任务还需多少天完成 5 小强买了一件上衣和两条裤子 小明买了同样价钱的上衣和 裤子各一件 他们用去钱数的比是 4 3 已知一件上衣 7 元 求一 条裤子多少元 6 小刚读一本书 第一天读了全书的 第二天比第一天多读 2 15 了 6 页 这时已读的页数与剩下的页数的比是 3 7 小刚再读多少 页就能读完这本书 7 甲 乙两车由 A B 两地同时出发相向而行 甲乙两车速度 比是 2 3 已知甲车走完全程用小时 求两车几小时后在中途相 1 5 2 遇 8 长江 号轮船第一次顺流航行 21 公里又逆流航行 4 公里 第二次在同一河流中顺流航行 12 公里 逆流航行 7 公里 结果两次 所用的时间相等 求顺水船速与逆水船速的比 10 11 12 一 比和比的分配一 比和比的分配 最基本的比例问题是求比或比值 从已知一些比或者其他数量关系 求出新的比 例例 1 1 甲 乙两个长方形 它们的周长相等 甲的长与宽之比是 3 2 乙的长与宽之比 是 7 5 求甲与乙的面积之比 解 解 设甲的周长是 2 甲与乙的面积之比是 答 甲与乙的面积之比是 864 875 作为答数 求出的比最好都写成整数 例例 2 2 如右图 ABCD 是一个梯形 E 是 AD 的中点 直线 CE 把梯形分成甲 乙两部分 它们的面积之比是 10 7 求上底 AB 与下底 CD 的长度之比 解 解 因为 E 是中点 三角形 CDE 与三角形 CEA 面积相等 三角形 ADC 与三角形 ABC 高相等 它们的底边的比 AB CD 三角形 ABC 的面积 三角 形 ADC 的面积 10 7 7 2 3 14 答 AB CD 3 14 两数之比 可以看作一个分数 处理时与分数计算几乎一样 三数之比 却与分数不一 样 因此是这一节讲述的重点 13 例例 3 3 大 中 小三种杯子 2 大杯相当于 5 中杯 3 中杯相当于 4 小杯 如果记号表示 2 大杯 3 中杯 4 小杯容量之和 求与之比 解 解 大杯与中杯容量之比是 5 2 10 4 中杯与小杯容量之比是 4 3 大杯 中杯与小杯容量之比是 10 4 3 10 2 4 3 3 4 10 5 4 4 3 3 44 75 答 两者容量之比是 44 75 把 5 2 与 4 3 这两个比合在一起 成为三样东西之比 10 4 3 称为连比 例 3 中 已告诉你连比的方法 再举一个更一般的例子 甲 乙 3 5 乙 丙 7 4 3 5 3 7 5 7 21 35 7 4 7 5 4 5 35 20 甲 乙 丙 21 35 20 花了多少钱 解 解 根据比例与乘法的关系 连比后是 甲 乙 丙 2 16 3 16 3 2 32 48 63 14 答 甲 乙 丙三人共花了 429 元 例例 5 5 有甲 乙 丙三枚长短不相同的钉子 甲与乙 而它们留在墙外的部分一样长 问 甲 乙 丙的长度之比是多少 解 解 设甲的长度是 6 份 x 5 4 乙与丙的长度之比是 而甲与乙的长度之比是 6 5 30 25 甲 乙 丙 30 25 26 答 甲 乙 丙的长度之比是 30 25 26 于利用已知条件 6 5 使大部分计算都整数化 这是解比例和分数问题的常用手段 例例 6 6 甲 乙 丙三种糖果每千克价分别是 22 元 30 元 33 元 某人买这三种糖果 在每种糖果上所花钱数一样多 问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元 解一解一 设每种糖果所花钱数为 1 因此平均价是 15 答 这些糖果每千克平均价是 27 5 元 上面解法中 算式很容易列出 但计算却使人感到不易 最好的计算方法是 用 22 3 0 33 的最小公倍数 330 乘这个繁分数的分子与分母 就有 事实上 有稍简捷的解题思路 解二 解二 先求出这三种糖果所买数量之比 不妨设 所花钱数是 330 立即可求出 所买数量之比是甲 乙 丙 15 11 10 平均数是 15 11 10 3 12 单价 33 元的可买 10 份 要买 12 份 单价是 下面我们转向求比的另一问题 即 比的分配 问题 当一个数量被分成若干个数量 如果知道这些数量之比 我们就能求出这些数量 例例 7 7 一个分数 分子与分母之和是 100 如果分子加 23 分母加 32 解 解 新的分数 分子与分母之和是 10 23 32 而分子与分母之比 2 3 因此 16 例例 8 8 加工一个零件 甲需 3 分钟 乙需 3 5 分钟 丙需 4 分钟 现有 1825 个零件要 加工 为尽早完成任务 甲 乙 丙应各加工多少个 所需时间是多少 解 解 三人同时加工 并且同一时间完成任务 所用时间最少 要同时完成 应根据工 作效率之比 按比例分配工作量 三人工作效率之比是 他们分别需要完成的工作量是 所需时间是 700 3 2100 分钟 35 小时 答 甲 乙 丙分别完成 700 个 600 个 525 个零件 需要 35 小时 这是三个数量按比例分配的典型例题 例例 9 9 某团体有 100 名会员 男会员与女会员的人数之比是 14 11 会员分成三个组 甲组人数与乙 丙两组人数之和一样多 各组男会员与女会员人数之比是 甲 12 13 乙 5 3 丙 2 1 那么丙有多少名男会员 解 解 甲组的人数是 100 2 50 人 乙 丙两组男会员人数是 56 24 32 人 17 答 丙组有 12 名男会员 上面解题的最后一段 实质上与 鸡兔同笼 解法一致 可以设想 兔 例例 1010 一段路程分成上坡 平路 下坡三段 各段路程长之比依次是 1 2 3 小龙走 各段路程所用时间之比依次是 4 5 6 已知他上坡时速度为每小时 3 千米 路程全长 50 千米 问小龙走完全程用了多少时间 解一 解一 通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度 先求出走各段路程的速度比 上坡 平路 下坡的速度之比是 走完全程所用时间 答 小龙走完全程用了 10 小时 25 分 18 上面是通常思路下解题 1 2 3 计算中用了两次 似乎重复计算 最后算式也颇费事 事 实上 灵活运用比例有简捷解法 解二 解二 全程长是上坡这一段长的 1 2 3 6 倍 如果上坡用的时 设小龙走完全程用 x 小时 可列出比例式 二 比的变化二 比的变化 已知两个数量的比 当这两个数量发生增减变化后 当然比也发生变化 通过变化的描 述 如何求出原来的两个数量呢 这就是这一节的内容 例例 1111 甲 乙两同学的分数比是 5 4 如果甲少得 22 5 分 乙多得 22 5 分 则他们的 分数比是 5 7 甲 乙原来各得多少分 解一 解一 甲 乙两人的分数之和没有变化 原来要分成 5 4 9 份 变化后要分成 5 7 12 份 如何把这两种分法统一起来 这是解题的关键 9 与 12 的最小公倍数是 36 我们让变化 前后都按 36 份来算 5 4 5 4 4 4 20 16 5 7 5 3 7 3 15 21 甲少得 22 5 分 乙多得 22 5 分 相当于 20 15 5 份 因此原来 甲得 22 5 5 20 90 分 乙得 22 5 5 16 72 分 答 原来甲得 90 分 乙得 72 分 我们再介绍一种能解本节所有问题的解法 也就是通过比例式来列方程 解二 解二 设原先甲的得分是 5x 那么乙的得分是 4x 根据得分变化 可列出比例式 5x 22 5 4x 22 5 5 7 即 5 4x 22 5 7 5x 22 5 15x 12 22 5 19 x 18 甲原先得分 18 5 90 分 乙得 18 4 72 分 解 解 其他球的数量没有改变 增加 8 个红球后 红球与其他球数量之比是 5 14 5 5 9 在没有球增加时 红球与其他球数量之比是 1 3 1 1 2 4 5 9 因此 8 个红球是 5 4 5 0 5 份 现在总球数是 答 现在共有球 224 个 本题的特点是两个数量中 有一个数量没有变 把 1 2 写成 4 5 9 就是充分利用这 一特点 本题也可以列出如下方程求解 x 8 2x 5 9 例例 1313 张家与李家的收入钱数之比是 8 5 开支的钱数之比是 8 3 结果张家结余 24 0 元 李家结余 270 元 问每家各收入多少元 解一 解一 我们采用 假设 方法求解 如果他们开支的钱数之比也是 8 5 那么结余的钱数之比也应是 8 5 张家结余 240 元 李家应结余 x 元 有 240 x 8 5 x 150 元 实际上李家结余 270 元 比 150 元多 120 元 这就是 8 5 中 5 份与 8 3 中 3 份的差 每份是 120 5 3 60 元 因此可求出 20 答 张家收入 720 元 李家收入 450 元 解二 解二 设张家收入是 8 份 李家收入是 5 份 张家开支的 3 倍与李家开支的 8 倍的钱一 样多 我们画出一个示意图 张家开支的 3 倍是 8 份 240 3 李家开支的 8 倍是 5 份 270 8 从图上可以看出 5 8 8 3 16 份 相当于 270 8 240 3 1440 元 因此每份是 1440 16 90 元 张家收入是 90 8 720 元 李家收入是 90 5 450 元 本题也可以列出比例式 8x 240 5x 270 8 3 然后求出 x 事实上 解方程求 x 的计算 与解二中图解所示是同一回事 图解有算术 味道 而且一些数量关系也直观些 例例 1414 A 和 B 两个数的比是 8 5 每一数都减少 34 后 A 是 B 的 2 倍 求这两个数 解 解 减少相同的数 34 因此未减时 与减了以后 A 与 B 两数之差并没有变 解题时 要充分利用这一点 8 5 就是 8 份与 5 份 两者相差 3 份 减去 34 后 A 是 B 的 2 倍 就是 2 1 两者 相差 1 将前项与后项都乘以 3 即 2 1 6 3 使两者也相差 3 份 现在就知道 34 是 8 6 2 份 或 5 3 2 份 因此 每份是 34 2 17 A 数是 17 8 136 B 数是 17 5 85 答 A B 两数分别是 136 与 85 21 本题也可以用例 13 解一 假设 方法求解 不过要把减少后的 2 1 改写成 8 4 例例 1515 小明和小强原有的图画纸之比是 4 3 小明又买来 15 张 小强用掉了 8 张 现 有的图画纸之比是 5 2 问原来两人各有多少张图画纸 解一 解一 充分利用已知数据的特殊性 4 3 7 5 2 7 15 8 7 原来总数分成 7 份 变化后总数仍分成 7 份 总数多了 7 张 因此 新的 1 份 原来 1 份 1 原来 4 份 新的 5 份 5 4 1 因此 新的 1 份有 15 1 4 11 张 小明原有图画纸 11 5 15 40 张 小强原有图画纸 11 2 8 30 张 答 原来小明有 40 张 小强有 30 张图画纸 解二 解二 我们也可采用例 13 解一的 假设 方法 先要将两个比中的前项化成同一个数 实际上就是通分 4 3 20 15 5 2 20 8 但现在是 20 8 因此这个比的每一份是 当然 也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法 解三 解三 设原来小明有 4 份 小强有 3 份 图画纸 把小明现有的图画纸张数乘 2 小强现有的图画纸张数乘 5 所得到的两个结果相等 我们可以画出如下示意图 22 从图上可以看出 3 5 4 2 7 份 相当于图画纸 15 2 8 5 70 张 因此每份是 10 张 原来小明有 40 张 小强有 30 张 例 11 至 15 这五个例题是同一类型的问题 用比例式的方程求解没有多大差别 用算术 方法 却可以充分利用已知数据的特殊性 找到较简捷的解法 也启示一些随机应变的解 题思路 另外 解方程的代数运算 对小学生说来是超前的 不容易熟练掌握 例 13 的解一 也是一种通用的方法 假设 这一思路是很有用的 希望读者能很好掌握 灵活运用 从课外的角度 我们更应启发小同学善于思考 去找灵巧的解法 这就要充分利用数据的 特殊性 因此我们总是先讲述灵巧的解法 利于心算 促进思维 例例 1616 粗蜡烛和细蜡烛长短一样 粗蜡烛可以点 5 小时 细蜡烛可以点 4 小时 同时点 燃这两支蜡烛 点了一段时间后 粗蜡烛长是细蜡烛长的 2 倍 问这两支蜡烛点了多少时间 我们把问题改变一下 设细蜡烛长度是 2 每小时点 等需要时间是 答 这两支蜡烛点了 3 小时 20 分 把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以 2 使原来要考虑的 2 倍 变成 相等 思考就简捷了 解这类问题这是常用的技巧 再请看一个稍复杂的例子 例例 1717 箱子里有红 白两种玻璃球 红球数是白球数的 3 倍多 2 只 每次从箱子里取出 7 只白球 15 只红球 经过若干次后 箱子里剩下 3 只白球 53 只红球 那么 箱子里原 来红球数比白球数多多少只 23 解 解 因为红球是白球的 3 倍多 2 只 每次取 15 只 最后剩下 53 只 所以对 3 倍的白 球 每次取 15 只 最后应剩 51 只 因为白球每次取 7 只 最后剩下 3 只 所以对 3 倍的白球 每次取 7 3 21 只 最 后应剩 3 3 9 只 因此 共取了 51 3 3 7 3 15 7 次 红球有 15 7 53 158 只 白球有 7 7 3 52 只 原来红球比白球多 158 52 106 只 答 箱子里原有红球数比白球数多 106 只 三 比例的其他问题三 比例的其他问题 这里必须用分数来说 而不能用比 实际上它还是隐含着比例关系 甲 7 乙 2 3 因此 有些分数问题 就是比例问题 加 33 张 他们两人取的画片一样多 问这些画片有多少张 答 这些画片有 261 张 24 解 解 设最初的水量是 1 因此最后剩下的水是 样重 就有 因此原有水的重量是 答 容器中原来有 8 4 千克水 例 18 和例 19 通常在小学数学中 叫做分数应用题 比 有前项和后项 当两项合 在一起写成一个分数后 才便于与其他数进行加 减运算 这就是把比 或除法 写成分数 的好处 下面一个例题却是要把分数写成比 计算就方便些 例例 2020 有两堆棋子 A 堆有黑子 350 个和白子 500 个 B 堆有黑子 堆中拿到 A 堆黑子 白子各多少个 子 100 个 使余下黑子与白子之比是 40 100 100 3 1 再要从 B 堆拿出黑子与 白子到 A 堆 拿出的黑子与白子数目也要保持 3 1 的比 25 现在 A 堆已有黑子 350 100 450 个 与已有白子 500 个 相差 从 B 堆再拿出黑子与白子 要相差 50 个 又要符合 3 1 这个比 要拿出白子数是 50 3 1 25 个 再要拿出黑子数是 25 3 75 个 答 从 B 堆拿出黑子 175 个 白子 25 个 人 问高 初中毕业生共有多少人 解一 解一 先画出如下示意图 6 5 1 相当于图中相差 17 12 5 份 初中总人数是 5 6 30 份 因此 每份 人数是 520 30 17 40 人 因此 高 初中毕业生共有 40 17 12 1160 人 答 高 初中毕业生共 1160 人 计算出每份是 例 21 与例 14 是完全一样的问题 解一与例 14 的解法也是一样的 你是否发现 解二是通常分数应用题的解法 显然计算不如解一简便 26 例 18 19 20 21 四个例题说明分数与比例各有好处 你是否从中有所心得 当然关 键还是在于灵活运用 下的钱共有多少元 解 解 设钢笔的价格是 1 这样就可以求出 钢笔价格是 张剩下的钱数是 李剩下的钱数 答 张 李两人剩下的钱共 28 元 题中有三个分数 但它们比的基准是不一样的 为了统一计算单位 设定钢笔的价格为 1 每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过 1 统一地折算 解分数应用题中 设定统一的 计算单位是常用的解题技巧 27 作为这一讲最后的内容 我们通过两个例题 介绍一下 混合比 用 100 个银币买了 100