第二章极限习题及答案：数列极限

函数 数列以及极限的综合题函数 数列以及极限的综合题 例例 已知函数的图象是自原点出发的一条折线 当 xfy 时 该图象是斜率为的线段 其中正常数 设数列 2 1 0 1 nnyn n b1 b 由定义 求 n x 2 1 nnxf n 1 求和的表达式 21 xx n x 2 求的表达式 并写出其定义域 xf 3 证明 的图像与的图象没有横坐标大于 1 的交点 xfy xy 分析 分析 本题主要考查函数的基本概念 等比数列 数列极限的基础知识 考查归纳 推理和综合的能力 1 由斜率分式求出 同样由斜率公式求出关于的递推式 然后求出 21 xx n x n x 2 由点斜式求出段的的表达式 用极限的方法求出定义域 3 1 nn xx xf 与没有交点 只要时 或时恒成立 当 xfy xy 1 bxxf 10 bxxf 由于 只要证1 b nn xxfxxf 0 nn xxf 解 解 1 依题意 又由 当时 函数的图象0 0 f1 1 xf10 y xfy 是斜率为的线段 故由得1 0 b1 0 0 1 1 x fxf 1 1 x 又由 当时 函数的图象是斜率为的线段 故由2 2 xf21 y xfy b 即得b xx xfxf 12 12 b xx 1 12 1 1 2 b x 记由函数的图象中第段线段的斜率为 故得 0 0 x xfy n 1 n b 1 1 1 n nn nn b xx xfxf 又 1 1 nxfnxf nn 2 1 1 1 1 n b xx n nn 由此知数列为等比数列 其首项为 1 公比为 1 nn xx 1 b 因 得 1 b n k nkn xxx 1 1 1 1 11 1 1 1 b b b bb n n 即 1 1 1 b b b x n n 2 当时 从 1 可知 即当时 10 yxy 10 x xxf 当时 即当时 由 1 可知1 nyn 1 nn xxx 3 2 1 1 nxxxxxbnxf nnn n 为求函数的定义域 须对进行讨论 xf 3 2 1 1 1 1 n b b b x n n 当时 1 b 11 1 limlim 1 b b b b b x n n n n 时 也趋向于无穷大 10 b n n x 综上 当时 的定义域为1 b xfy 1 0 b b 当时 的定义域为10 b xfy 0 3 证法 1 首先证明当时 恒有成立 1 1 1 b b xbxxf 对任意的 存在使 此时有 1 1 b b x n x 1 nn xxx 1 nxxxxbxfxf nn n n nn xxfxxf 又 11 1 1 n n n x bb nxf 0 nn xxf 0 nn xxfxxf 即有成立 xxf 其次 当 仿上述证明 可知当时 恒有成立 1 b1 xxxf 故函数的图象与的图象没有横会标大于 1 的交点 xfxy 证法 2 首先证明当时 恒有成立 1 1 1 b b xbxxf 用数学归纳法证明 由 1 知当时 在上 所以1 n 1 2 x 1 1 xbxfy 成立 0 1 1 bxxxf 假设时在上恒有成立 kn 1 kk xxxxf 可得 1 11 kk xkxf 在上 21 kk xx 1 1 1 k k xxbkxf 所以 xxxbkxxf k k 1 1 1 也成立 0 1 1 11 1 kk k xkxxb 由 与 知 对所有自然数在上都即时 恒有n 1 nn xx 1 1 b b x xxf 其次 当 仿上述证明 可知当时 恒有成立 1 b1 xxxf 说明 说明 本题不仅考查直线方程 数列 函数 不等式知识 还着重考查综合运用数学 知识 思想方法解决问题的能力 解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力 图象想像 能力 本题的 2 用求极限的方法求定义域 反映了高考命题 不拘泥于大纲 的原则 不过从实践上看 与现在中学数学实际有些超前 本题的难度系数为 0 02 三人平均不足 1 分 创了近年高考得分低的记录 命题人设计试卷时为使考生不放弃难题 将本题放在倒数第二题的位置 本题得分低 一方面是试题 超前 另一方面反映考生能力差 现在中学数学备考主要是 大运用量 的模仿训练 创新精神提倡不够 一遇情境新颖的问题学生就毫无办法 以后坚持考不等 式证明题的方向不会改变 试题难度会适度降低 判断数列极限命题的真假判断数列极限命题的真假 例例 判断下列命题的真假 1 数列的极限是 0 和 1 2 1 1 1 0 1 0 n 2 数列的极限是 0 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 32 n n 3 数列的极限不存在 1 sin 3 1 sin 2 1 sin 1sin n 4 数列的极限是 0 100002 3 1 3 1 3 1 1 分析 分析 判断一个数列否存在极限 极限是多少 主要依据极限的定义 即数列的变化 趋势 解 解 1 一个数列的极限如果存在 它的极限是唯一的 不能是两个或更多个 是假 命题 2 随着 n 无限增大 数列的项无限趋近于 0 因此它的极限是 0 1 1 2 1 1 n n 是真命题 3 随着 n 无限增大 数列的项无限趋近于 0 因此数列无限趋近于 n 1 n 1 sin 0 是假命题 4 有穷数列无极限 是假命题 说明 说明 3 中容易认为极限不存在 4 容易错误认为是真命题 尽管数列随着 n 的增大而逐渐趋近于 0 但由 1 3 1 n 于数列只有 10001 项 是有穷数列 不存在极限 根据数列的极限确定参数的范围根据数列的极限确定参数的范围 例例 若 则 a 的取值范围是 0 2 1 lim n n a a A B 或 C D 或1 a1 a 3 1 a 3 1 1 a 3 1 a1 a 分析分析 由 a 为常数 知 所以由已知可得 解这个不等0lim n n a1 a1 2 1 a a 式就可求得 a 的取值范围 解解 由 得 0 2 1 lim n n a a 1 2 1 a a 所以 aa21 两边平方 得 22 4 1 aa 0 1 13 0123 2 aaaa 所以或 1 a 3 1 a 答案 B 说明 说明 解题过程容易误认为只有 得 错选 A 解决含有涉及到求字0 2 1 a a 1 a 母取值范围的问题时 常常要利用集合的包含关系 充要条件来考虑问题 分析数列求极限分析数列求极限 例例 已知数列 1 9 1 99 1 999 个n 9999 1 1 写出它的通项 n a 2 计算 2 n a 3 第几项以后所有的项与 2 的差的绝对值小于 0 01 4 第几项以后所有的项与 2 的差的绝对值小于 0 001 5 指出这个数列的极限 分析 分析 观察数列的特点 可以通过特殊数归纳总结规律 简化数列通项的一般形式 再求极限 解 解 1 可将数列改写为 2 0 1 2 0 01 2 0 001 1000 0 2 个n 于是此数列的通项 n n a 10 1 2 2 nn n a 10 1 2 10 1 2 2 3 令即 解得01 0 2 n a01 0 10 1 n 2 n 故这个数列的第 2 项以后的所有项与 2 的差的绝对值均小于 0 01 4 令即 解得001 0 2 n a001 0 10 1 n 3 n 故这个数列的第 3 项以后的所有项与 2 的差的绝对值均小于 0 001 5 2 10 1 2 lim n n 说明 说明 可以通过特殊数帮助理解无限接近的意义 从而帮助求解极限 求数列奇数项和的极限求数列奇数项和的极限 例例 数列的前 n 项和记为 已知 求 n a n S N 35 nSa nn 的值 lim 1231 n n aaa 分析 分析 为求当的极限 应先求出的表达式 从已知条件 1231 n aaa n n a 中给出与的关系式 可以利用 设法求出的表达式 n a n S 2 1 naSS nnnn a 解 解 由及 可得 11 Sa 3535 111 aSa 4 3 1 a 又时 则2 n 1 nnn SSa35 35 11 nnnn SaSa 两式相减 得 11 4 1 5 nnnnn aaaaa 于是 数列是以为首项 公比为的无穷等比数列 n a 4 3 4 1 进而可得 数列是以为首项 公比为 12531 n aaaa 4 3 1 a 的无穷等比数列 于是可求出极限 16 1 4 1 2 q 5 4 15 12 16 1 1 4 3 lim 1231 n n aaa 说明 说明 这同 1999 年全国高考文史类试题 对于这类求极限的题目 必须先用数列的性 质求出的通项公式 或确定数列的特征再求极限 由于所求数列是一个公式的无 n a1 q 穷等比数列 所以在解题时 可以不必再求极限 而直接代入无穷等比数列求和的公式 1 1 1 q q a S 等比数列和的极限等比数列和的极限 已知数列满足条件 且是公比为 q n a1 1 ara 2 0 r 1 nna a 的等比数列 设 求与 其中0 q nnn aab 212 2 1n n b n n S 1 lim nn bbbS 21 解 因为 q a a aa aa n n nn nn 2 1 21 所以 0 212 212 212 22121 q aa qaqa aa aa b b nn nn nn nn n n 所以是首项为 1 r 公比为 q 的等比数列 从而01 1 rb n b 1 1 n n qrb 当时 1 q 1 rnSn 0 1 1 lim 1 lim rnS n n n 当时 10 q q qr S n n 1 1 1 r q qr q