正方形的有关提高练习题

正方形专题 1 已知正方形 ABCD 和等腰直角三角形 BEF BE EF BEF 90 按图 1 放 置 使点 E 在 BC 上 取 DF 的中点 G 连接 EG CG 1 延长 EG 交 DC 于 H 试说明 DH BE 2 将图 1 中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45 连接 DF 取 DF 中点 G 如图 2 莎莎同学发现 EG CG 且 EG CG 在设法证明时他发现 若连接 BD 则 D E B 三点共线 你能写出结论 EG CG 且 EG CG 的完整理由吗 请写出 来 3 将图 1 中 BEF 绕 B 点转动任意角度 0 90 再连接 DF 取 DF 的中点 G 如图 3 第 2 问中的结论是否成立 若成立 试说明你的结论 若不 成立 也请说明理由 2 2011 鸡西 在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E 作 EF AB 交 BD 于点 F 取 FD 的中点 G 连接 EG CG 如图 1 易证 EG CG 且 EG CG 1 将 BEF 绕点 B 逆时针旋转 90 如图 2 则线段 EG 和 CG 有怎样的数 量关系和位置关系 请直接写出你的猜想 2 将 BEF 绕点 B 逆时针旋转 180 如图 3 则线段 EG 和 CG 又有怎样 的数量关系和位置关系 请写出你的猜想 并加以证明 3 已知 如图 在菱形 ABCD 中 点 E 在对角线 AC 上 点 F 在 BC 的延长线上 EF EB EF 与 CD 相交于点 G 1 求证 EG GF CG GD 2 连接 DF 如果 EF CD 那么 FDC 与 ADC 之间有怎样的数量关系 证 明你所得到的结论 4 已知 如图 在正方形 ABCD 中 点 G 是 BC 延长线上一点 连接 AG 分别 交 BD CD 于点 E F 1 求证 DAE DCE 2 当 CG CE 时 试判断 CF 与 EG 之间有怎样的数量关系 并证明你的结论 5 已知正方形 ABCD 和等腰 Rt BEF BE EF BEF 90 按图 放置 使 点 F 在 BC 上 取 DF 的中点 G 连接 EG CG 1 探索 EG CG 的数量关系和位置关系并证明 2 将图 中 BEF 绕 B 点顺时针旋转 45 再连接 DF 取 DF 中点 G 如图 问 1 中的结论是否仍然成立 证明你的结论 3 将图 中 BEF 绕 B 点转动任意角度 旋转角在 0 到 90 之间 再连接 DF 取 DF 的中点 G 如图 问 1 中的结论是否仍然成立 证明你的结论 6 已知 E 是正方形 ABCD 的一边 AB 上任一点 AC 与 BD 是正方形 ABCD 的对 角线 EG BD 于 G EF AC 于 F AC 10 厘米 则 EF EG 7 1 如图 1 已知矩形 ABCD 中 点 E 是 BC 上的一动点 过点 E 作 EF BD 于点 F EG AC 于点 G CH BD 于点 H 试证明 CH EF EG 2 若点 E 在 BC 的延长线上 如图 2 过点 E 作 EF BD 于点 F EG AC 的 延长线于点 G CH BD 于点 H 则 EF EG CH 三者之间具有怎样的数量关系 直接写出你的猜想 3 如图 3 BD 是正方形 ABCD 的对角线 L 在 BD 上 且 BL BC 连接 CL 点 E 是 CL 上任一点 EF BD 于点 F EG BC 于点 G 猜想 EF EG BD 之间 具有怎样的数量关系 直接写出你的猜想 4 观察图 1 图 2 图 3 的特性 请你根据这一特性构造一个图形 使它仍然具 有 EF EG CH 这样的线段 并满足 1 或 2 的结论 写出相关题设的条件 和结论 8 已知正方形 ABCD 和等腰直角三角形 BEF 按图 放置 使点 F 在 BC 上 取 DF 的中点 G 连接 EG CG 1 探索 EG CG 的数量关系 并说明理由 2 将图 中 BEF 绕 B 点顺时针旋转 45 得图 连接 DF 取 DF 的中点 G 问 1 中的结论是否成立 并说明理由 3 将图 中 BEF 绕 B 点转动任意角度 旋转角在 0 到 90 之间 得图 连接 DF 取 DF 的中点 G 问 1 中的结论是否成立 请说明理由 9 已知 如图 在正方形 ABCD 中 点 E F 分别在 BC 和 CD 上 AE AF 1 求证 BE DF 2 连接 AC 交 EF 于点 O 延长 OC 至点 G 使 OG OA 连接 EG FG 判断 四边形 AEGF 是什么特殊四边形 并证明你的结论 10 如图 已知正方形 ABCD 点 E 是 BC 上一点 点 F 是 CD 延长线上一点 连 接 EF 若 BE DF 点 P 是 EF 的中点 1 求证 DP 平分 ADC 2 若 AEB 75 AB 2 求 DFP 的面积 11 如图 正方形 ABCD 中 点 E 是对角线 BD 上一点 点 F 是边 BC 上一点 点 G 是边 CD 上一点 BE 2ED CF 2BF 连接 AE 并延长交 CD 于 G 连接 AF EF FG 给出下列五个结论 DG GC FGC AGF S ABF S FCG AF 2EF AFB AEB 其中正确结论的个数是 A 5 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个 12 如图 点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 PE BC 于点 E PF CD 于点 F 连接 EF 给出下列五个结论 AP EF AP EF APD 一定是 等腰三角形 PFE BAP PD 2EC 其中正确结论的序号是 13 2011 重庆 如图 梯形 ABCD 中 AD BC DCB 45 CD 2 BD CD 过点 C 作 CE AB 于 E 交对角线 BD 于 F 点 G 为 BC 中点 连接 EG AF 1 求 EG 的长 2 求证 CF AB AF 2013 年年 6 月柯老师的初中数学正方月柯老师的初中数学正方 形组卷形组卷 一 解答题 共一 解答题 共 9 小题 小题 1 以 ABC 的各边 在边 BC 的同侧分别作三个正方形 他们分别是正方形 ABDI BCFE ACHG 试探究 1 如图中四边形 ADEG 是什么四边形 并说明理由 2 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADEG 是矩形 3 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADEG 是正方形 2 如图 正方形 ABCD 中 AC 是对角线 今有较大的直角三角板 一边始终经 过点 B 直角顶点 P 在射线 AC 上移动 另一边交 DC 于 Q 1 如图 1 当点 Q 在 DC 边上时 猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系 并 加以证明 2 如图 2 当点 Q 落在 DC 的延长线上时 猜想并写出 PB 与 PQ 满足的数量关 系 请证明你的猜想 3 如图 在正方形 ABCD 中 点 M 在边 AB 上 点 N 在边 AD 的延长线上 且 BM DN 点 E 为 MN 的中点 DE 的延长线与 AC 相交于点 F 试猜想线段 DF 与 线段 AC 的关系 并证你的猜想 4 已知 四边形 ABCD 是正方形 MAN 45 它的两边 AM AN 分别交 CB DC 与点 M N 连接 MN 作 AH MN 垂足为点 H 1 如图 1 猜想 AH 与 AB 有什么数量关系 并证明 2 如图 2 已知 BAC 45 AD BC 于点 D 且 BD 2 CD 3 求 AD 的长 小萍同学通过观察图 发现 ABM 和 AHM 关于 AM 对称 AHN 和 ADN 关于 AN 对称 于是她巧妙运用这个发现 将图形如图 进行翻折变换 解答了 此题 你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗 5 在图 1 到图 3 中 点 O 是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点 MPN 为直角三角 形 MPN 90 正方形 ABCD 保持不动 MPN 沿射线 AC 向右平移 平移过程 中 P 点始终在射线 AC 上 且保持 PM 垂直于直线 AB 于点 E PN 垂直于直线 BC 于点 F 1 如图 1 当点 P 与点 O 重合时 OE 与 OF 的数量关系为 2 如图 2 当 P 在线段 OC 上时 猜想 OE 与 OF 有怎样的数量关系与位置关系 并对你的猜想结果给予证明 3 如图 3 当点 P 在 AC 的延长线上时 OE 与 OF 的数量关系为 位置关系为 6 如图 正方形 ABCD 动点 E 在 AC 上 AF AC 垂足为 A AF AE 1 求证 BF DE 2 当点 E 运动到 AC 中点时 其他条件都保持不变 问四边形 AFBE 是什么特 殊四边形 说明理由 7 2005 乌兰察布 图 1 是由五个边长都是 1 的正方形纸片拼接而成的 过点 A1 的直线分别与 BC1 BE 交于点 M N 且图 1 被直线 MN 分成面积相等的上 下 两部分 1 求的值 2 求 MB NB 的长 3 将图 1 沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒 图 2 后 求点 M N 间的距 离 8 如图所示 有四个动点 P Q E F 分别从正方形 ABCD 的四个顶点出发 沿 着 AB BC CD DA 以同样速度向 B C D A 各点移动 1 试判断四边形 PQEF 是否是正方形 并证明 2 PE 是否总过某一定点 并说明理由 9 已知 如图 在正方形 ABCD 中 点 G 是 BC 延长线上一点 连接 AG 分别 交 BD CD 于点 E F 1 求证 DAE DCE 2 当 CG CE 时 试判断 CF 与 EG 之间有怎样的数量关系 并证明你的结论 2013 年年 6 月柯老师的初中数学正方月柯老师的初中数学正方 形组卷形组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 9 小题 小题 1 以 ABC 的各边 在边 BC 的同侧分别作三个正方形 他们分别是正方形 ABDI BCFE ACHG 试探究 1 如图中四边形 ADEG 是什么四边形 并说明理由 2 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADEG 是矩形 3 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADEG 是正方形 考点 正方形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 平行四边形的判定 矩形 的判定 分析 1 根据全等三角形的判定定理 SAS 证得 BDE BAC 所以全等三角形 的对应边 DE AG 然后利用正方形对角线的性质 周角的定义推知 EDA DAG 180 易证 ED GA 最后由 一组对边平行且相等 的判定定 理证得结论 2 根据 矩形的内角都是直角 易证 DAG 90 然后由周角的定义求得 BAC 135 3 由 正方形的内角都是直角 四条边都相等 易证 DAG 90 且 AG AD 由 ABDI 和 ACHG 的性质证得 AC AB 解答 解 1 图中四边形 ADEG 是平行四边形 理由如下 四边形 ABDI 四边形 BCFE 四边形 ACHG 都是正方形 AC AG AB BD BC BE GAC EBC DBA 90 ABC EBD 同为 EBA 的余角 在 BDE 和 BAC 中 BDE BAC SAS DE AC AG BAC BDE AD 是正方形 ABDI 的对角线 BDA BAD 45 EDA BDE BDA BDE 45 DAG 360 GAC BAC BAD 360 90 BAC 45 225 BAC EDA DAG BDE 45 225 BAC 180 DE AG 四边形 ADEG 是平行四边形 一组对边平行且相等 2 当四边形 ADEG 是矩形时 DAG 90 则 BAC 360 BAD DAG GAC 360 45 90 90 135 即当 BAC 135 时 平行四边形 ADEG 是矩形 3 当四边形 ADEG 是正方形时 DAG 90 且 AG AD 由 2 知 当 DAG 90 时 BAC 135 四边形 ABDI 是正方形 AD AB 又 四边形 ACHG 是正方形 AC AG AC AB 当 BAC 135 且 AC AB 时 四边形 ADEG 是正方形 点评 本题综合考查了正方形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 平行四边 形的判定与性质等知识点 解题时 注意利用隐含在题干中的已知条件 周 角是 360 2 如图 正方形 ABCD 中 AC 是对角线 今有较大的直角三角板 一边始终经 过点 B 直角顶点 P 在射线 AC 上移动 另一边交 DC 于 Q 1 如图 1 当点 Q 在 DC 边上时 猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系 并 加以证明 2 如图 2 当点 Q 落在 DC 的延长线上时 猜想并写出 PB 与 PQ 满足的数量关 系 请证明你的猜想 考点 正方形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 分析 1 过 P 作 PE BC PF CD 证明 Rt PQF Rt PBE 即可 2 证明思路同 1 解答 1 PB PQ 证明 过 P 作 PE BC PF CD P C 为正方形对角线 AC 上的点 PC 平分 DCB DCB 90 PF PE 四边形 PECF 为正方形 BPE QPE 90 QPE QPF 90 BPE QPF Rt PQF Rt PBE PB PQ 2 PB PQ 证明 过 P 作 PE BC PF CD P C 为正方形对角线 AC 上的点 PC 平分 DCB DCB 90 PF PE 四边形 PECF 为正方形 BPF QPF 90 BPF BPE 90 BPE QPF Rt PQF Rt PBE PB PQ 点评 此题考查了正方形 角平分线的性质 以及全等三角形判定与性质 此题综 合性较强 注意数形结合思想 3 如图 在正方形 ABCD 中 点 M 在边 AB 上 点 N 在边 AD 的延长线上 且 BM DN 点 E 为 MN 的中点 DE 的延长线与 AC 相交于点 F 试猜想线段 DF 与 线段 AC 的关系 并证你的猜想 考点 正方形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 线段垂直平分线的性质 专题 探究型 分析 猜想 线段 DF 垂直平分线段 AC 且 DF AC 过点 M 作 MG AD 与 DF 的延长线相交于点 G 作 GH BC 垂足为 H 连接 AG CG 根据正方形 的性质和全等三角形的证明方法证明 AMG CHG 即可 解答 猜想 线段 DF 垂直平分线段 AC 且 DF AC 证明 过点 M 作 MG AD 与 DF 的延长线相交于点 G 则 EMG N BMG BAD MEG NED ME NE MEG NED MG DN BM DN MG BM 作 GH BC 垂足为 H 连接 AG CG 四边形 ABCD 是正方形 AB BC CD DA BAD B ADC 90 GMB B GHB 90 四边形 MBHG 是矩形 MG MB 四边形 MBHG 是正方形 MG GH BH MB AMG CHG 90 AM CH AMG CHG GA GC 又 DA DC DG 是线段 AC 的垂直平分线 ADC 90 DA DC DF AC 即线段 DF 垂直平分线段 AC 且 DF AC 点评 本题综合考查了矩形的判定和性质 正方形的判定和性质 垂直平分线的判 定和性质 全等三角形的性质和判定等知识点 此题综合性比较强 难度较 大 但题型较好 训练了学生分析问题和解决问题以及敢于猜想的能力 4 已知 四边形 ABCD 是正方形 MAN 45 它的两边 AM AN 分别交 CB DC 与点 M N 连接 MN 作 AH MN 垂足为点 H 1 如图 1 猜想 AH 与 AB 有什么数量关系 并证明 2 如图 2 已知 BAC 45 AD BC 于点 D 且 BD 2 CD 3 求 AD 的长 小萍同学通过观察图 发现 ABM 和 AHM 关于 AM 对称 AHN 和 ADN 关于 AN 对称 于是她巧妙运用这个发现 将图形如图 进行翻折变换 解答了 此题 你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗 考点 正方形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 翻折变换 折 叠问题 分析 1 延长 CB 至 E 使 BE DN 连接 AE 由三角形全等可以证明 AH AB 2 作 ABD 关于直线 AB 的对称 ABE 作 ACD 关于直线 AC 的对称 ACF 延长 EB FC 交于点 G 则四边形 AEGF 是矩形 又 AE AD AF 所 以四边形 AEGF 是正方形 设 AD x 则 EG AE AD FG x 所以 BG x 2 CG x 3 BC 2 3 5 在 Rt BGC 中 x 2 2 x 3 2 52解之 得 x1 6 x2 1 所以 AD 的长为 6 解答 1 答 AB AH 证明 延长 CB 至 E 使 BE DN 连接 AE 四边形 ABCD 是正方形 ABC D 90 ABE 180 ABC 90 又 AB AD 在 ABE 和 ADN 中 ABE ADN SAS 1 2 AE AN BAD 90 MAN 45 1 3 90 MAN 45 2 3 45 即 EAM 45 在 EAM 和 NAM 中 EAM NAM SAS 又 EM 和 NM 是对应边 AB AH 全等三角形对应边上的高相等 2 作 ABD 关于直线 AB 的对称 ABE 作 ACD 关于直线 AC 的对称 ACF AD 是 ABC 的高 ADB ADC 90 E F 90 又 BAC 45 EAF 90 延长 EB FC 交于点 G 则四边形 AEGF 是矩形 又 AE AD AF 四边形 AEGF 是正方形 由 1 2 知 EB DB 2 FC DC 3 设 AD x 则 EG AE AD FG x BG x 2 CG x 3 BC 2 3 5 在 Rt BGC 中 x 2 2 x 3 2 52 解得 x1 6 x2 1 故 AD 的长为 6 点评 本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断 题目的综合性很强 难度 中等 5 在图 1 到图 3 中 点 O 是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点 MPN 为直角三角 形 MPN 90 正方形 ABCD 保持不动 MPN 沿射线 AC 向右平移 平移过程 中 P 点始终在射线 AC 上 且保持 PM 垂直于直线 AB 于点 E PN 垂直于直线 BC 于点 F 1 如图 1 当点 P 与点 O 重合时 OE 与 OF 的数量关系为 OE OF 2 如图 2 当 P 在线段 OC 上时 猜想 OE 与 OF 有怎样的数量关系与位置关系 并对你的猜想结果给予证明 3 如图 3 当点 P 在 AC 的延长线上时 OE 与 OF 的数量关系为 OE OF 位置关系为 OE OF 考点 正方形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 矩形的判定与性质 平移 的性质 分析 1 根据利用正方形的性质和直角三角形的性质即可判定四边形 BEOF 为正 方形 从而得到结论 2 当移动到点 P 的位置时 可以通过证明四边形 BEPF 为矩形来得到两条 线段的数量关系 3 继续变化 有相同的关系 其证明方法也类似 解答 1 解 OE OF 相等 1 分 2 解 OE OF OE OF 3 分 证明 连接 BO 在正方形 ABCD 中 O 为 AC 中点 BO CO BO AC BCA ABO 45 4 分 PF BC BCO 45 FPC 45 PF FC 正方形 ABCD ABC 90 PF BC PE AB PEB PFB 90 四边形 PEBF 是矩形 BE PF 5 分 BE FC OBE OCF OE OF BOE COF 7 分 COF BOF 90 BOE BOF 90 EOF 90 OE OF 8 分 3 OE OF 相等 OE OF 垂直 10 分 点评 本题考查了正方形的性质 解题的关键是抓住动点问题 化动为静 还要大 胆的猜想 6 如图 正方形 ABCD 动点 E 在 AC 上 AF AC 垂足为 A AF AE 1 求证 BF DE 2 当点 E 运动到 AC 中点时 其他条件都保持不变 问四边形 AFBE 是什么特 殊四边形 说明理由 考点 正方形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 分析 1 根据正方形的性质判定 ADE ABF 后即可得到 BF DE 2 利用正方形的判定方法判定四边形 AFBE 为正方形即可 解答 1 证明 正方形 ABCD AB AD BAD 90 AF AC EAF 90 BAF EAD AF AE ADE ABF BF DE 2 解 当点 E 运动到 AC 的中点时四边形 AFBE 是正方形 理由 点 E 运动到 AC 的中点 AB BC BE AC BE AE AC AF AE BE AF AE 又 BE AC FAE BEC 90 BE AF BE AF 得平行四边形 AFBE FAE 90 AF AE 四边形 AFBE 是正方形 点评 本题考查了正方形的判定和性质 解题的关键是正确的利用正方形的性质 7 2005 乌兰察布 图 1 是由五个边长都是 1 的正方形纸片拼接而成的 过点 A1 的直线分别与 BC1 BE 交于点 M N 且图 1 被直线 MN 分成面积相等的上 下 两部分 1 求的值 2 求 MB NB 的长 3 将图 1 沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒 图 2 后 求点 M N 间的距 离 考点 正方形的判定与性质 一元二次方程的应用 相似三角形的判定与性质 专题 代数几何综合题 压轴题 数形结合 分析 1 本题可通过相似三角形 A1B1M 和 NBM 得出的关于 NB A1B1 MB MB1的比例关系式来求 比例关系式中 A1B1 BB1均为正 方形的边长 长度都是 1 因此可将它们的值代入比例关系式中 将所得的 式子经过变形即可得出所求的值 2 由于直线 MN 将图 1 的图形分成面积相等的两部分 因此 BMN 的 面积为 由此可求出 MB NB 的值 根据 1 已经得出的 MB NB MB NB 可求出 MB NB 的值 由此可根据韦达定理列出以 MB NB 为根的一元二次方程 经过解方程即可求出 MB NB 的值 3 根据 2 的结果 不难得出 B1M EN 由于折叠后 E 与 B 点重合 因 此 B1M BN 那么四边形 B1MNB 是个矩形 因此 MN 的长为正方形的边 长 解答 解 1 A1B1M NBM 且 A1B1 BB1 1 即 整理 得 MB NB MB NB 两边同除以 MB NB 得 2 由题意得 即 MB NB 5 又由 1 可知 MB NB MB NB 5 MB NB 分别是方程 x2 5x 5 0 的两个实数根 解方程 得 x1 x2 MB NB MB NB 3 由 2 知 B1M 1 EN 4 图 2 中的 BN 与图 1 中的 EN 相等 BN B1M 四边形 BB1MN 是矩形 MN 的长是 1 点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质 正方形的性质 一元二次方程的 应用等知识点 综合性比较强 8 如图所示 有四个动点 P Q E F 分别从正方形 ABCD 的四个顶点出发 沿 着 AB BC CD DA 以同样速度向 B C D A 各点移动 1 试判断四边形 PQEF 是否是正方形 并证明 2 PE 是否总过某一定点 并说明理由 考点 正方形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 专题 动点型 分析 1 正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做 正方形 故可根据正方形的定义证明四边形 PQEF 是否使正方形 2 证 PE 是否过定点时 可连接 AC 证明四边形 APCE 为平行四边形 即可证明 PE 过定点 解答 解 1 在正方形 ABCD 中 AP BQ CE DF AB BC CD DA BP QC ED FA 又 BAD B BCD D 90 AFP BPQ CQE DEF FP PQ QE EF APF PQB 四边形 PQEF 是菱形 FPQ 90 四边形 PQEF 为正方形 2 连接 AC 交 PE 于 O AP 平行且等于 EC 四边形 APCE 为平行四边形 O 为对角线 AC 的中点 对角线 PE 总过 AC 的中点 点评 在证明过程中 应了解正方形和平行四边形的判定定理 为使问题简单化 在证明过程中 可适当加入辅助线 9 已知 如图 在正方形 ABCD 中 点 G 是 BC 延长线上一点 连接 AG 分别 交 BD CD 于点 E F 1 求证 DAE DCE 2 当 CG CE 时 试判断 CF 与 EG 之间