正方形经典难题(有解析)

正方形经典难题正方形经典难题 有解析 有解析 已知正方形 ABCD 是一个正方形 一 F 为 CD 上一点 G 为对角线 BD 上一点 且 FG BD M 为 BG 中点 连接 AM MF 求证 AM MF AM MF 方法一 考虑到 M 是 BG 中点 GF BC 所以想到倍长中线 证明 延长 CB FM 交于点 I 连接 AI AF GF CD GF BC GFM MIB 又 GM MB IMB FMG GMF BMI 所以 MF MI BI GF 在 Rt ADF 与 Rt ABI 中 AB AD DF GF BI ADF ABI 90 ADF ABI 所以 AF AI 1 2 IAF 2 BAF 1 BAF 90 所以 IAF 是一个等腰直角三角形 又 MI MF AMF 是一个等腰直角三角形 所以 AM MF AM MF 方法二 可以将需要证明的结论看做是一个三角形绕 M 点 旋转 90 的结果 条件中又有 MG MB 所以想到构造一个 三角形与 MGF 全等 证明 延长 FG 交 AB 于 J 连接 JM GF CD 四边形 AJDF 和四边形 BJFC 均为矩形 所以 AJ DF GF BJ CF 在 BJG 中 JBG 45 GJ BJ 又 M 为 BG 中点 故 JM BM GM BJM 45 DGF 45 MGF AJM 135 在 AJM 和 FGM 中 JM GM AJ GF MGF AJM AJM FGM AM MF AMF JMG 90 即 AM MF 二 E 是 BC 上一点 F 是 CD 上一点 EAF 45 AE AF 分别交 BD 于 M N 连接 MF 求证 AM MF AM MF 方法一 联想到上题的图形 仍然考虑过 F 做 CD 的垂线 证明 过 F 做 FH CD 交 BD 于 H 过 F 做 FG AF 交 AE 延长线于 G 连接 AH HG BG EAF 45 AFG 为等腰直角三角形 AF FG 又 AFD GFH 90 AFH DF HF ADF GHF HG AD HG HF HG AB HG AB 所以四边形 AHGB 是平行四边形 M 是 AG 中点 AMF 为等腰直角三角形 AM MF AM MF 方法二 首先证明一个题目 四边形 ABCD 是一个正方形 F 为 CD 上一点 QD 为 ADS 的角平分线 且 QF BF 求证 QF BF 证明 过 F 分别向 QD BD 做垂线 垂足 分别为 G H AD SC GDF QDS 45 又 BDC 45 所以 CD 是 HDG 的角平分线 又 HF BD FG DG HF FG 在 Rt QFG 和 Rt BFH 中 QF BF HF FG 所以 QFG BFH Q DBF QFB QDB 90 即 QF BF 联想到此题的做法 给出以下证明 证明 过 A 做 AQ AE 并截取 AQ AM 连接 QF 过 F 分别向 QD BD 做垂线 垂足分别为 G H AQ AM AD AB QAD MAB 又 AQ AM AD AB AQD AMB ADQ ABM 45 又 AD CD CDG 45 CD 平分 BDG 又 HF BD FG DG HF FG 在 AQF 和 AMF 中 QAF EAF 45 AQ AM AF 公共 所以 AQF AMF QF FM 在 Rt QFG 和 Rt MFH 中 QF FM FG HF QFG MFH DQF DMF QFM QDM 90 又 AQ QM QF FM QAM 90 易证四边形 AQFM 为正方形 所以 AM MF AM MF 三 E 为 BC 上一点 F 为 CD 上一点 EAF 45 AE AF 分别交 BD 于 M N 连接 EF 1 求证 EF BE DF 考虑使用截长补短来证明 证明 在 CD 延长线上截取 DG BE 连接 AG AB AD ADG ABE 90 DG BE ADG ABE AG AE GAD EAB GAE DAE GAD DAE BAE 90 EAF 45 GAF 45 又 AG AE AF 公共 所以 GAF EAF EF GD DF BE DF 2 求证 AFD AFE AMN AEB AEF ANM 证明 GAF EAF AFD AFE 在 DNF 和 ANM 中 NAM NDF 45 DNF ANM AFD AMN AFD AFE AMN 同理可得 AEB AEF ANM 3 求证 222 DNBMMN 联想到勾股定理 所以考虑把三条线段移到一个直角三角形中 证明 过 A 做 AH AM 并截取 AH AM 连接 HN HD 显然有 HAD MAB AH AM AD AB HAD AMB 所以 HD BM HDA ABD 45 HD DN MAN 45 HAN 45 又 AH AM AN 公共 ANH ANM HN MN 在 HDN 中 222 HNDNHD 即 222 DNBMMN 4 求证 222222 2 2BNDNANDMBMAM 构造直角三角形 应用勾股定理 证明 过 N 分别向 AD AB 做垂线 垂足分别为 I J 显然有JNBNINDN2 2 222 NJINAN 所以 222 2DNBNAN 同理有 222 2DMBMAM 5 连接 NE MF 求证 AM MF AM MF AN NE AN NE 见第二题 6 求证 BEBABNDADFDM 2 2 注意到 AMF 是等腰直角三角形 AD DF 回归到基本图形 下面给出一种证明 证明 过 M 做 ML DM 交 DA 延长线于 L 则 LMD 为等腰直角三角形 LM DM L MDF 45 又 LMA DMF 90 AMD LAM DFM LA DF DMLDLAADDFAD2 同理可得BEBABN 2 7 过 M 向 CF 做垂线 垂足为 P 求证 P 为 CF 中点 过 N 向 CE 做垂线 垂足为 Q 求证 Q 为 CE 中点 证明 连接 MF CM 在 AMB 和 CMB 中 AB BC ABM CBM 45 BM 公共 AMB CMB AM CM 由第二题结论 AM MF MF CM 则 FMC 是等腰三角形 又 MP CF P 为 CF 中点 同理 Q 为 CE 中点 8 求证 DNCEBMCF2 2 证明 过 M 做 MT BE 于 T 则 BMT 为等腰直角三角形 MTBM2 由 7 的结论 CF 2CP 2MT BMCF2 同理DNCE2 9 求证 MNEF2 证明 由 3 的结论 222 DNBMMN 由 8 的结论 DNCEBMCF2 2 222 2MNCECF 22 2MNEF 即MNEF2 10 过 F 做 CD 的垂线 FR 交 BD 于 R 求证 RM BM 证明 延长 FR 交 AM 于 S 交 AB 于 T 连接 TM MF 由第二题的结论有 AM MF AM MF FT AB AST FSM TAS SFM 又 AT DF RF ATM FRM TM RM 又 RTB 为等腰直角三角形 RM MB 11 分别过 E F 向 BD 做垂线 垂足分别为 S R 求证 BDSNRM 2 1 看到 10 中的结论 此题迎刃而解 证明 过 F 做 FT CD 交 BD 于 T 则 DFT 为等腰直角三角形 又 RF DT DR RT 又由 10 中结论有 TM BM BDBTDTTMRTRM 2 1 2 1 2 1 同理有BDSN 2 1 12 求证 AEFAMN SS 2 1 证明 连接 MF NE 过 N 做 AE 的垂线 NK 交 AE 于 K 由第二题的结论 ANE 和 AMF 均为等腰直角三角形 KN AK KE KNAMS AMN 2 1 AEMFS AEF 2 1 AEKNAMMF 2 1 AEFAMN SS 2 1 13 P 为 EF 中点 连接 PM PN 求证 PMN 是等腰直角三角形 证明 连接 MF 由第二题的结论 EMF 90 又 P 为 EF 中点 EFPM 2 1 同理有 EFPN 2 1 1 180 2 AEF 2 180 2 AFE 又 AEF AFE 180 EAF 135 1 2 90 MPN 90 PMN 是等腰直角三角形 14 过 M N 分别做 AB AD 的平行线交于点 Q 连接 AQ 求证 AQ EF AQ QM QN 证明 由 13 的结论 PMN 为等腰直角三角形 QM AB QMN ABD 45 同理 QNM 45 QMN 为等腰直角三角形 四边形 PNQM 为正方形 连接 NE 由第二题结论 ANE 90 ANQ PNE 90 QNE 又 AN NE QN PN ANQ ENP NAQ NEP AQ PE 又 PE NP QN QM AQ QM QN 延长 AQ 交 EF 于 H NEP NFE 90 NAQ NFE 90 AQ EF 15 已知正方形边长为 a 令 DF x BE y 请问 x y 之间有何数量关系 解 由 1 中结论 EF DF BE x y CF a x CE a y 222 CFCEEF 222 yaxayx 展开 整理得 2 aayaxxy 22 2aaayaxxy 2 2 aayax 四 如图 已知正方形纸片 ABCD E 为 BC 延长线上一点 F 为边 AB 上一点 将纸片沿直线 EF 翻折 点 B 恰好落在 AD 边上的点 G 连接 GE 交 CD 于 H 点 若 AG 2 CH 3 求正方形边长 解 过 B 向 GH 做垂线 BM 垂足为 M 连接