相似三角形与圆

相似三角形与圆相似三角形与圆 1 1 如图 如图 ABAB是是 O O的直径 弦的直径 弦CDCD ABAB于点于点G G 点 点F F是是 CDCD上一点 且满足上一点 且满足 CF FD 1 3CF FD 1 3 连接 连接AFAF并延长交并延长交 O O于于 点点E E 连接 连接ADAD DEDE 若 若CFCF 2 2 AFAF 3 3 给出下列结论 给出下列结论 ADFADF AEDAED FGFG 2 2 S S 2AG DEFDEF 4 4 其中正确的是 其中正确的是 写出所有正确 写出所有正确 结论的序号 结论的序号 2 2 如图 如图 ABAB 是是 O O 的直径 点的直径 点 C C 在在 O O 上 过点上 过点 C C 作作 O O 的切线的切线 CMCM 1 1 求证 求证 ACM ABC ACM ABC 2 2 延长 延长 BCBC 到到 D D 使 使 BCBC CDCD 连接 连接 ADAD 与与 CMCM 交于点交于点 E E 若 若 O O 的半径为的半径为 3 3 EDED 2 2 求求 ACEACE 的外接圆的半的外接圆的半 径 径 3 3 如图 如图 O O 是是 ABC ABC 的外接圆 的外接圆 ABAB 为直径 为直径 OD BCOD BC 交交 O O 于点于点 D D 交 交 ACAC 于点于点 E E 连接 连接 ADAD BDBD CDCD 1 1 求证 求证 AD CDAD CD 2 2 若 若 AB 10AB 10 求 求的值 的值 5 3 AB BCDE AE 4 4 如图 在平面直角坐标系中 已知 如图 在平面直角坐标系中 已知 A A 8 8 0 0 B B 0 0 6 6 M M 经过原点经过原点 O O 及点及点 A A B B 1 1 求 求 M M 的半径及圆心的半径及圆心 M M 的坐标 的坐标 2 2 过点 过点 B B 作作 M M 的切线的切线 l l 求直线 求直线 l l 的解析式 的解析式 3 3 BOA BOA 的平分线交的平分线交 ABAB 于点于点 N N 交 交 M M 于点于点 E E 求点 求点 N N 的坐标 的坐标 5 5 如图 如图 PAPA 为为 O O 的切线 的切线 A A 为切点 直线为切点 直线 POPO 交交 O O 与与 点点 E E F F 过点过点 A A 作作 POPO 的垂线的垂线 ABAB 垂足为垂足为 D D 交 交 O O 与点与点 B B 延长 延长 BOBO 与与 O O 交与点交与点 C C 连接 连接 ACAC BFBF 1 1 求证 求证 PBPB 与与 O O 相切 相切 2 2 试证明 试证明 EFEF2 2 4OD OP 4OD OP 3 3 若 若 AC 12AC 12 求 求 CBCB 的值 的值 2 5 5 FB FE 6 6 如图 已知在 如图 已知在 ABP ABP 中 中 C C 是是 BPBP 边上一点 边上一点 PAC PBA PAC PBA O O 是是 ABC ABC 的外接圆 的外接圆 ADAD 是是 O O 的直径 的直径 且交且交 BPBP 于点于点 E E 1 1 求证 求证 PAPA 是是 O O 的切线 的切线 2 2 过点 过点 C C 作作 CF ADCF AD 垂足为点 垂足为点 F F 延长 延长 CFCF 交交 ABAB 于点于点 G G 若 若 AG AB 12AG AB 12 求 求 ACAC 的长 的长 3 3 在满足 在满足 2 2 的条件下 若 的条件下 若 AFAF FD 1FD 1 2 2 GF 1GF 1 求求 O O 的半径及的半径及 ABAB 的值 的值 答案答案 1 1 如图 如图 ABAB是是 O O的直径 弦的直径 弦CDCD ABAB于点于点G G 点 点F F是是 CDCD上一点 且满足上一点 且满足 CF FD 1 3CF FD 1 3 连接 连接AFAF并延长交并延长交 O O于于 点点E E 连接 连接ADAD DEDE 若 若CFCF 2 2 AFAF 3 3 给出下列结论 给出下列结论 ADFADF AEDAED FGFG 2 2 S S 2AG DEFDEF 4 4 其中正确的是 其中正确的是 写出所有正确结论 写出所有正确结论 的序号 的序号 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 圆周角 定理 垂径定理 勾股定理以及三角函数等知识 此题 综合性较强 难度适中 注意掌握数形结合思想的应 用 2 如图 如图 AB 是是 O 的直径 点的直径 点 C 在在 O 上 过点上 过点 C 作作 O 的切线的切线 CM 1 求证 求证 ACM ABC 2 延长 延长 BC 到到 D 使 使 BC CD 连接 连接 AD 与与 CM 交于交于 点点 E 若 若 O 的半径为的半径为 3 ED 2 求求 ACE 的外接圆的的外接圆的 半径 半径 证明 1 连接 OC AB 为 O 的直径 ACB 90 ABC BAC 90 又 CM 是 O 的切线 OC CM ACM ACO 90 CO AO BAC ACO ACM ABC 2 BC CD OC AD 又 OC CE AD CE AEC 是直角三角形 AEC 的外接圆的直径为 AC 又 ABC BAC 90 ACM ECD 90 而 ABC ACM BAC ECD 又 CED ACB 90 ABC CDE 而 O 的半径为 3 AB 6 AB CD BC ED 6 CD BC 2 BC2 12 BC 2 3 在 Rt ABC 中 AC 2 AEC 的外 36 126 接圆的半径为 6 3 3 如图 如图 O O 是是 ABC ABC 的外接圆 的外接圆 ABAB 为直径 为直径 OD BCOD BC 交交 O O 于点于点 D D 交 交 ACAC 于点于点 E E 连接 连接 ADAD BDBD CDCD 1 1 求证 求证 AD CDAD CD 2 2 若 若 AB 10AB 10 求 求的值 的值 BC AC DE AE 解 答 1 证明 AB 为 O 的直径 ACB 90 OD BC AEO ACB 90 OD AC AD CD 2 解 AB 10 OA OD AB 5 OD BC AOE ABC 在 Rt AEO 中 OE OA cos AOE OA cos ABC 5 3 DE OD OE 5 3 2 AE 4 在 Rt AED 中 tan DAE DBC DAE tan DBC 4 4 如图 在平面直角坐标系中 已知 如图 在平面直角坐标系中 已知 A A 8 8 0 0 B B 0 0 6 6 M M 经过原点经过原点 O O 及点及点 A A B B 1 1 求 求 M M 的半径及圆心的半径及圆心 M M 的坐标 的坐标 2 2 过点 过点 B B 作作 M M 的切线的切线 l l 求直线 求直线 l l 的解析式 的解析式 3 3 BOA BOA 的平分线交的平分线交 ABAB 于点于点 N N 交 交 M M 于点于点 E E 求点 求点 N N 的坐标 的坐标 解 1 AOB 90 AB 为 M 的直径 A 8 0 B 0 6 OA 8 OB 6 AB 10 M 的半径为 5 圆心 M 的坐标为 4 3 2 点 B 作 M 的切线 l 交 x 轴于 C 如图 BC 与 M 相切 AB 为直径 AB BC ABC 90 CBO ABO 90 而 BAO ABO 90 BAO CBO Rt ABO Rt BCO 即 解得 OC C 点坐标为 0 设直线 BC 的解析式为 y kx b 把 B 0 6 C 点 0 分别代入 解得 直线 l 的解析式为 y x 6 3 作 ND x 轴 连结 AE 如图 BOA 的平分线交 AB 于点 N NOD 为等腰直角三角形 ND OD ND OB ADN AOB ND OB AD AO ND 6 8 ND 8 解得 ND OD ON ND N 点坐标为 5 5 如图 如图 PAPA 为为 O O 的切线 的切线 A A 为切点 直线为切点 直线 POPO 交交 O O 与与 点点 E E F F 过点过点 A A 作作 POPO 的垂线的垂线 ABAB 垂足为垂足为 D D 交 交 O O 与点与点 B B 延长 延长 BOBO 与与 O O 交与点交与点 C C 连接 连接 ACAC BFBF 1 1 求证 求证 PBPB 与与 O O 相切 相切 2 2 试证明 试证明 EFEF2 2 4OD OP 4OD OP 3 3 若 若 AC 12AC 12 求 求 CBCB 的值 的值 2 5 5 FB FE 解 答 1 证明 连接 OA PA 与圆 O 相切 PA OA 即 OAP 90 OP AB D 为 AB 中点 即 OP 垂直平分 AB PA PB 在 OAP 和 OBP 中 OAP OBP SSS OAP OBP 90 BP OB 则直线 PB 为圆 O 的切线 2 证明 OAP ADO 90 AOD POA OAD OPA 即 OA2 OD OP EF 为圆的直径 即 EF 2OA EF2 OD OP 即 EF2 4OD OP 3 解 连接 BE 则 FBE 90 tan F 可设 BE x BF 2x 则由勾股定理 得 EF x BE BF EF BD BD x 又 AB EF AB 2BD x Rt ABC 中 BC x AC2 AB2 BC2 122 x 2 x 2 解得 x 4 BC 4 20 cos ACB 点 评 此题考查了切线的判定与性质 相似及全等三角形 的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识 熟练 掌握切线的判定与性质是解本题的关键 6 6 如图 已知在 如图 已知在 ABP ABP 中 中 C C 是是 BPBP 边上一点 边上一点 PAC PBA PAC PBA O O 是是 ABC ABC 的外接圆 的外接圆 ADAD 是是 O O 的直径 的直径 且交且交 BPBP 于点于点 E E 1 1 求证 求证 PAPA 是是 O O 的切线 的切线 2 2 过点 过点 C C 作作 CF ADCF AD 垂足为点 垂足为点 F F 延长 延长 CFCF 交交 ABAB 于点于点 G G 若 若 AG AB 12AG AB 12 求 求 ACAC 的长 的长 3 3 在满足 在满足 2 2 的条件下 若 的条件下 若 AFAF FD 1FD 1 2 2 GF 1GF 1 求求 O O 的半径及的半径及 ABAB 的值 的值 解 答 1 证明 连接 CD AD 是 O 的直径 ACD 90 CAD ADC 90 又 PAC PBA ADC PBA PAC ADC CAD PAC 90 PA OA 而 AD 是 O 的直 径 PA 是 O 的切线 2 解 由 1 知 PA AD 又 CF AD CF PA GCA PAC 又 PAC PBA GCA PBA 而 CAG BAC CAG BAC 即 AC2 AG AB AG A