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杨辉三角初探杨辉三角初探 一 杨辉三角一 杨辉三角 杨辉 古代数学家的杰出代表杭州钱塘人 中国南宋末年数学 家 数学教育家 著作甚多 他编著的数学书共五种二十一卷 著 有 详解九章算法 十二卷 1261 年 日用算法 二卷 乘除通 变本末 三卷 田亩比类乘除算法 二卷 续古摘奇算法 二 卷 其中后三种合称 杨辉算法 朝鲜 日本等国均有译本出版 流传世界 杨辉三角 出现在杨辉编著的 详解九章算法 一书中 且我 国北宋数学家贾宪 约公元 11 世纪 已经用过它 这表明我国发现 这个表不晚于 11 世纪 在欧洲 这个表被认为是法国数学家物理学 家帕斯卡首先发现的 Blaise Pascal 1623 年 1662 年 他们把 这个表叫做帕斯卡三角 这就是说 杨辉三角的发现要比欧洲早 500 年左右 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自 豪的 观察上图 我们发现杨辉三角图兴中有很多有趣的数量关系 二 杨辉三角中存在的数量关系二 杨辉三角中存在的数量关系 通过这个表 我们发现每一行的系数具有对成性 此外 还发现了 以下规律 1 杨辉三角的第 n 行就是二项式展开式的系数列 2 对称性 杨辉三角中的数字左 右对称 对称轴是杨辉三角 形底边上的 高 3 结构特征 杨辉三角除斜边上 1 以外的各数 都等于它 肩 上 的两数之和 4 这些数排列的形状像等腰三角形 两腰上的数都是 1 5 从右往左斜着看 从左往右斜着看 和前面的看法一样 这个 数列是左右对称的 6 上面两个数之和就是下面的一行的数 7 这行数是第几行 就是第二个数加一 三 杨辉三角在数学中的应用三 杨辉三角在数学中的应用 利用杨辉三角的这些性质和特点 可以帮助我们在今后的各种 数学运算中提供思路 特别是能快速展开高次运算 1 n 0 1 1 n 1 1 2 1 n 2 1 3 3 1 n 3 1 4 6 4 1 n 4 1 5 10 10 5 1 n 5 1 6 15 20 15 6 1 n 6 此数列中各行中的数字正好是二项式 a b 乘方后 展开后始终 是各项的系数 杨辉三角的应用非常广泛 涉及
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