2018北京市石景山区高三(上)期末数学(理)

1 11 2018 北京市石景山区高三 上 期末 数 学 理 2018 1 第一部分 选择题第一部分 选择题 共共 4040 分 分 一 选择题共一 选择题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 已知集合 则 2 1 0 1 2A 1 2 0Bx xx AB I A B C D 1 0 0 1 1 0 1 0 1 2 2 设 是虚数单位 则复数在复平面内所对应的点位于 i 2 i i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 用计算机在之间随机选取一个数 则事件 发生的概率为 01 a 1 1 3 a A B C D 01 1 3 2 3 4 以角的顶点为坐标原点 始边为轴的非负半轴 建立平面直角坐标系 角终边过点 则 x 2 4P tan 4 A B C D 1 3 3 1 3 3 5 是 方程表示双曲线 的 10m 22 1 108 xy mm A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 6 给定函数 其中在区间上单调递减的函数序号 1 2 yx 1 2 log 1 yx 1yx 1 2xy 0 1 是 A B C D 7 九章算术 卷五商功中有如下问题 今有刍甍 底面为矩形的屋脊状的几何体 下广三丈 袤四丈 上袤二 丈 无广 高一丈 问积几何 下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图 设网格纸上每个小正方形的边长为 1 丈 那么此刍甍的体积为 A 3 立方丈 B 5 立方丈 C 6 立方丈 D 12 立方丈 2 11 8 小明在如图 1 所示的跑道上匀速跑步 他从点出发 沿箭头方向经过点跑到点 共用时 他的教ABC30s 练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程 设小明跑步的时间为 他与教练间的距离为 表示 t s y m 与 的函数关系的图象大致如图 2 所示 则这个固定位置可能是图 1 中的 yt A 点 B 点 C 点 D 点 MNPQ 第二部分 非选择题共第二部分 非选择题共 110110 分 分 二 填空题共二 填空题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 若 则的大小关系为 1 ln 2 a 0 8 1 3 b 1 3 2c a b c 10 执行下面的程序框图 若输入的的值为 则输出的的值是 x1 y 11 若实数满足则的取值范围为 x y 3 23 xy xy xy 3zxy 12 设常数 若的二项展开式中项的系数为 则 aR 25 a x x 7 x10 a 13 在中 为上异于 的任一点 为的中点 若 则ABC HBCBCMAHAMABAC uuuruu u ruuu r 14 若集合且下列四个关系 4 3 2 1 dcba 有且只有一个是正确的 1 a1 b2 c4 d 请写出满足上述条件的一个有序数组 符合条件的全部有序数组的个数是 dcba dcba Q PN M 图2 图1 30 t s y m O D CB A 3 11 三 解答题共三 解答题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 13 分 如图 在中 为边上一点 ABCVDBC6AD 3BD 2DC 若 求的大小 2 ADB BAC 若 求的面积 2 3 ADB ABCV 16 本小题共 13 分 摩拜单车和 ofo 小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利 已知某共享单车的收费标准是 每车 使用不超过 小时 包含 小时 是免费的 超过 小时的部分每小时收费 元 不足 小时的部分按 小时计算 111111 例如 骑行小时收费为元 现有甲 乙两人各自使用该种共享单车一次 设甲 乙不超过 小时还车的概率2 521 分别为 小时以上且不超过小时还车的概率分别为 两人用车时间都不会超过小时 1 4 1 2 12 1 2 1 4 3 求甲乙两人所付的车费相同的概率 设甲乙两人所付的车费之和为随机变量 求的分布列及数学期望 E 17 本小题共 14 分 图 1 BD A C A BD C 图 2 4 11 如图 在四棱锥中 底面为矩形 平面平面 PABCD ABCDPCD ABCD1BC 2AB 为中点 2PCPD EPA 求证 PCBED平面 求二面角的余弦值 APCD 在棱上是否存在点 使得 若存在 求的值 若不存在 说明理由 PCMBMAC PM PC 18 本小题共 13 分 已知函数 ln xa f x x 若 确定函数的零点 1a f x 若 证明 函数是上的减函数 1a f x 0 若曲线在点处的切线与直线平行 求的值 yf x 1 1 f0 xy a 19 本小题共 14 分 B A D C E P 5 11 已知椭圆离心率等于 是椭圆上的两点 22 22 1 0 xy Cab ab 1 2 2 3 P 2 3 Q 求椭圆的方程 C 是椭圆上位于直线两侧的动点 当运动时 满足 试问直线的斜率是否 A BPQ A BAPQBPQ AB 为定值 如果为定值 请求出此定值 如果不是定值 请说明理由 20 本小题共 13 分 如果项有穷数列满足 即 则称有穷数列n n a 1n aa 21n aa 1n aa 1 1 2 in i aain 为 对称数列 例如 由组合数组成的数列就是 对称数列 n a 011 nn nnnn CCCC 设数列是项数为 7 的 对称数列 其中成等比数列 且 依次写出数列的 n b 1234 b b b b 25 3 1bb n b 每一项 设数列是项数为 且 的 对称数列 且满足 记为数列 n c21k kN 2k 1 2 nn cc n S 的前项和 n cn 若是单调递增数列 且 当为何值时 取得最大值 12 k c cc 2017 k c k 21k S 若 且 求的最小值 1 2018c 21 2018 k S k 6 11 数学试题答案 一 选择题共一 选择题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 题号 12345678 答案 AADBA CBD 二 填空题共二 填空题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 第 14 题第一空 3 分 3 2 1 4 2 3 1 4 3 1 2 4 3 1 4 2 4 1 3 2 2 1 4 3 任选一个即可 第二空 2 分 三 解答题共三 解答题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 分 15 本小题共 13 分 解 设 BAD CAD 则 2 分 1 tan 2 BD AD 1 tan 3 CD AD 所以 5 分 tantan tan 1 1tantan 因为 0 所以 4 即 7 分 4 BAC 过点作交的延长线于点 AAHBC BCH 因为 2 3 ADB 所以 3 ADC 所以 11 分sin3 3 3 AHAD 所以 13 分 115 3 22 ABC SBC AH 16 本小题共 13 分 解 甲乙两人用车时间超过 2 小时的概率分别为 1 分 1 4 1 4 题号 91011121314 答案abc 13 3 6 2 1 2 3 2 1 4 6 A BDCH 7 11 甲乙两人所付车费用相同的概率 4 分 1111 4224 p 115 4416 随机变量 的所有取值为 5 分0 1 2 3 4 111 0 248 P 11 1 44 P 115 2216 1111 2 2424 P 115 4416 11 3 24 P 113 4416 10 分 111 4 4416 P 的分布列为 01234 P 1 8 5 16 5 16 3 16 1 16 11 分 数学期望 13 分 155 012 81616 E 317 34 16164 17 本小题共 14 分 解 证明 设与的交点为 连接 ACBDFEF 因为为矩形 所以为的中点 ABCDFAC 在中 由已知为中点 PAC EPA 所以 2 分 EFPC 又平面 平面 3 分EF BEDPC BED 所以平面 4 分 PCBED 解 取中点 连接 CDOPO 因为是等腰三角形 为的中点 PCD OCD 所以 POCD 又因为平面平面 PCD ABCD 8 11 因为平面 PO PCDPOCD 所以平面 5 分PO ABCD 取中点 连接 ABGOG 由题设知四边形为矩形 ABCD 所以 OFCD 所以 POOG 如图建立空间直角坐标系 则 Oxyz 1 1 0 A 0 1 0 C 0 0 1 P 0 1 0 D 1 1 0 B 0 0 0 O 1 0 0 G 6 分 1 2 0 AC uuu r 0 1 1 PC uu u r 设平面的法向量为 PAC nx y z r 则即 0 0 n AC n PC r uuu r r uu u r 20 0 xy yz 令 则 1z 1y 2x 所以 2 1 1 n r 平面的法向量为 PCD 1 0 0 OG uuu r 设 的夹角为 所以 9 分n r OG uuu r 6 cos 3 由图可知二面角为锐角 APCD 所以二面角的余弦值为 10 分APCB 6 3 设是棱上一点 则存在使得 MPC 0 1 PMPC uuu ruu u r 因此点 12 分 0 1 M 1 1 1 BM uuu r 1 2 0 AC uuu r 由 即 0BM AC uuu r uuu r 1 2 因为 所以在棱上存在点 使得 1 0 1 2 PCMBMAC 此时 14 分 1 2 PM PC 18 本小题共 13 分 解 当 时 则 1 分1a ln 1 x f x x A x D C E P y z O B M F G 9 11 定义域是 令 2 分 1 ln 1 0 x x 是所求函数的零点 3 分ln 1 0 2xx 当时 函数的定义域是 4 分1a f x 1 0 0 所以 5 分 2 ln 1 1 x x x fx x 令 只需证 时 6 分 ln 1 1 x g xx x 0 x 0g x 又 22 11 0 1 1 1 x g x xxx 故在上为减函数 7 分 g x 0 所以 8 分 0 ln10g xg 所以 函数是上的减函数 9 分 0fx f x 0 由题意知 且 10 分 1 1 x fx 2 ln x xa xa fx x 所以 即有 11 分 1 1 ln 1 1 1 fa a ln 1 0 1 a a a 令 则 ln 1 1 a t aa a 1a 2 11 0 1 1 t a aa 故是上的增函数 又 因此是的唯一零点 t a 1 0 0t 0 t a 即方程有唯一实根 所以 13 分ln 1 0 1 a a a 00a 19 本小题共 14 分 解 因为 又 1 2 c e a 222 abc 所以 2 分 2222 4 3ac bc 设椭圆方程为 代入 得 4 分 22 22 1 43 xy cc 2 3 222 4 16 12cab 椭圆方程为 5 分 22 1 1612 xy 当时 斜率之和为 6 分 APQBPQ PA PB0 设斜率为 则斜率为 7 分 PAkPBk 设方程为 与椭圆联立得PA3 2 yk x 22 3 2 3448 yk x xy 10 11 代入化简得 2222 34 8 32 4 49 12 480kxkkxkk 2 3 P 1 2 8 23 2 34 kk x k 同理 2 2 8 23 2 34 kk x k 2 12 2 1612 34 k xx k 12 2 48 34 k xx k 2112 2112 41 2 AB yyk xxk k xxxx 即直线的斜率为定值 14 分AB 1 2 20 本小题共 13 分 解 因为数列是项数为 7 的 对称数列 所以 1 分 n b 53 1bb 又因为成等比数列 其公比 1234 b b b b 3 2 1 3 b q b 所以数列的 7 项依次为 9 3 1 1 3 9 3 分 n b 1 3 由是单调递增数列且数列是 对称数列 且满足可知是公差为 12 k c cc n c 1 2 nn cc 12 k c cc 2 的等差数列 是公差为的等差数列 5 分 121 kkk c cc 2 211221kk Sccc 121 2 kkkk cccc 1 2 2017 2 2017 2 k k k 7 分 2 240362017kk 所以当时 取得最大值 8 分 4036 1009 4 k 21k S 因为即 1 2 nn cc 1 2 nn cc 所以 即 1 2 nn cc 1 2 nn