解三角形的常规题型

解三角形的常规题型解三角形的常规题型 知识要点 一 直角三角形中各元素间的关系 在中 ABC 0 90 CABc ACb BCa 1 三边之间的关系 勾股定理 222 abc 2 锐角之间的关系 0 90AB 3 边角之间的关系 锐角三角函数定义 sincos a AB c cossin b AB c tan a A b 二 斜三角形中各元素间的关系 在中 为其内角 分别表示的对边 ABC ABC abc ABC 1 三角形内角和 A B C 2 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 为外接圆半径 R C c B b A a 2 sinsinsin R 3 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 222222222 cosAcosBcosC 222 bcaacbabc bcacab 222 2cosabcabC 222 2cosAcbabc 222 2cosBacbac 三 三角形的面积公式 1 分别表示的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh abc 2 111 sinbcsinAacsin 222 SabCB 2 1 四 解三角形 由三角形的六个元素 即三条边和三个内角 中的三个元素 其中至少有 一个是边 求其他未知元素的问题叫做解三角形 广义地 这里所说的元素还可以包括三 角形的高 中线 角平分线以及内切圆半径 外接圆半径 面积等等 主要类型 1 两类正弦定理解三角形的问题 第 1 已知两角和任意一边 求其他的两边及一角 第 2 已知两角和其中一边的对角 求其他边角 2 两类余弦定理解三角形的问题 第 1 已知三边求三角 第 2 已知两边和他们的夹角 求第三边和其他两角 解三角形如果出现多解 要利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验 五 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换 除了应用上述公式和上述变换方法外 还要注意三角形自身的 特点 1 角的变换 因为在中 所以 ABC A B C sin sinABC cos cosABC tan tanABC 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin CBACBA 2 判定三角形形状时 可利用正余弦定理实现边角转化 统一成边的形式或角的 形式 六 求解三角形应用题的一般步骤 1 分析 分析题意 弄清已知和所求 2 建模 将实际问题转化为数学问题 写出已知与所求 并画出示意图 3 求解 正确运用正 余弦定理求解 4 检验 检验上述所求是否符合实际意义 七 解应用题中的几个角的概念 1 仰角 俯角的概念 在测量时 视线与水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角 在水平线下方的角 叫做俯角 如图 2 方向角 相对于某正方向的水平角 如南偏西等 0 45 3 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角 方法讲评 题型一求三角形的角和边 使用情景解三角形 解题步骤一般利用正弦定理 余弦定理和三角恒等变形来解答 例 1 在中 已知 求 ABC 22 a32 b 0 45 AcBC 反馈检测 1 在中 角 的对边分别为 且C A A Cabc 2sinCsincos sincos a b A 1 求角的大小 A 2 若 求 的值 3a sinC2sin bc 题型二求三角形的面积 使用情景解三角形 解题步骤利用公式解答 11 sin 22 a SahabC 例 2 在中 角的对边分别为 且 ABC A B C a b c 23cos cos3 bcC Aa 1 求角的值 A 2 若角 边上的中线 求的面积 6 B BC7AM ABC 反馈检测 2 在中 内角对边的边长分别是 已知 ABC ABC abc 2c 3 C 若的面积等于 求 ABC 3ab 若 求的面积 sinsin 2sin2CBAA ABC 题型三判断三角形的形状 使用情景解三角形 解题步骤一般利用正弦定理或余弦定理边化角或角化边 例 3 在中 若 则的形状是 ABC 2 2 tan tan b a B A ABC A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形 反馈检测 3 已知分别是 中角的对边 a b cABC A B C sin4sin4 sinacACcA 1 求的值 a 2 圆为的外接圆 在内部 的面积为 OABC OABC ABC 3 4 3 bc 判断的形状 并说明理由 ABC 题型四解三角形的应用 使用情景解三角形的应用 解题步骤先画图 把条件标记到图形中 然后转化成解三角形的数学问题来解 例 4 已知甲船正在大海上航行 当它位于 A 处时获悉 在其正东方向相距 20 海里 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即以 10 海里 小时的速度匀速前往救援 同时把 消息告知在甲船的南偏西 相距 10 海里 C 处的乙船 乙船当即决定匀速前往救援 并30 且与甲船同时到达 供参考使用 2 3 41tan 1 试问乙船航行速度的大小 2 试问乙船航行的方向 试用方位角表示 如北偏东 度 反馈检测 4 在海岸处 发现北偏西 75 的方向 与距离 2 海里的处有一艘走私AAB 船 在处北偏东 45 方向 与距离 1 海里的处的缉私船奉命以 10海里 AA3C3 小时的速度追截走私船 此时 走私船正以 10 海里 小时的速度从向北偏西 30 方向逃B 窜 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船 题型五取值范围或最值问题 使用情景求变量的取值范围或最值 解题步骤 一般先建立三角函数模型 再利用三角函数的图像和性质求函数的取值范围 或最值 例 5 在锐角中 内角 A B C 的对边 已知 ABC cba 2 c 3 C 1 若的面积等于 求 ABC 3ba 2 求的取值范围 ba 反馈检测 5 在中 三