新人教版八上数学培优讲义(15讲)

精品文档 11欢迎下载 第一讲 三角形 考点 方法 破译 1 了解与三角形有关的线段 边 高 中线 角平分线 会画出任意三角形的高 中线 角平分线 2 知道三角形两边的和大于第三边 两边之差小于第三边 3 了解与三角形有关的角 内角 外角 4 掌握三角形三内角和等于 180 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 5 会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题 6 会从复杂的图形中找到基本图形 从而寻求解决问题的方法 经典 考题 赏析 例 若的三边分别为 4 x 9 则x的取值范围是 周长l的取值范围是 当周长为奇数时 x 变式题组 1 若 ABC的三边分别为 4 x 9 且 9 为最长边 则x的取值范围是 周长l的取值范 围是 2 设 ABC三边为a b c的长度均为正整数 且a b c a b c 13 则以a b c为边的三角形 共 有 个 3 用 9 根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形 不许折断 并全部用完 能摆出不同形状的三角形个数 是 A 1B 2C 3D 4 例 已知等腰三角形的一边长为 18cm 周长为 58cm 试求三角形三边的长 变式题组 1 已知等腰三角形两边长分别为 6cm 12cm 则这个三角形的周长是 A 24cmB 30cmC 24cm或 30cmD 18cm 2 已知三角形的两边长分别是 4cm和 9cm 则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是 A 13cmB 6cmC 5cmD 4cm 3 等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成 12 和 10 两部分 则此等腰三角形的腰长为 例 如图AD是 ABC的中线 DE是 ADC的中线 EF是 DEC的中线 FG是 EFC的中线 若S GFC 1cm 2 则 S ABC G F E D B A C 精品文档 22欢迎下载 变式题组 1 如图 已知点D E F分别是BC AD BE的中点 S ABC 4 则S EFC 1 F E D B A C 2 如图 点D是等腰 ABC底边BC上任意一点 DE AB于E DF AC于F 若一腰上的高为 4cm 则 DE DF 3 如图 已知四边形ABCD是矩形 AD AB 点E在BC上 且AE AD DF AE于F 则DF与AB的数量 关系是 例 已知 如图 则 A B C D E 4 B D A C E 变式题组 1 如图 则 A B C D E 2 如图 则 A B C D E F 3 如图 则 A B C D E F 3 A B C D E F 例 如图 已知 A 70 BO CO分别平分 ABC ACB 则 BOC O B A C 2 F E BC A D 3 F D BC A E 2 A B F E D C 1 A B E D C 精品文档 33欢迎下载 变式题组 1 如图 A 70 B 40 C 20 则 BOC 1 O B A C 3 如图 O 140 P 100 BP CP分别平分 ABO ACO 则 A 例 如图 已知 B 35 C 47 AD BC AE平分 BAC 则 EAD 变式题组 1 改 如图 已知 B 39 C 61 BD AC AE平分 BAC 则 BFE 2 如图 在 ABC中 ACB 40 AD平分 BAC ACB的外角平分线交 AD的延长线于点P 点F是BC上一动点 F D不重合 过点F作 EF BC交于点E 下列结论 P DEF为定值 P DEF为定值中 有且只有一个答案正确 请你作出判断 并说明理由 例 如图 在平面内将 ABC绕点A逆时针旋转至 AB C 使 CC AB 若 BAC 70 则旋转角 变式题组 1 如图 用等腰直角三角形板画 AOB 45 并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线后绕点M逆时针 方向旋转 22 则三角板的斜边与射线OA的直角 3 P O B A C 6 E D A BC 2 D E P C A G B F 1 F E D A BC C B A B C 精品文档 44欢迎下载 1 22 O B M A 2 如图 在平面内将 AOB绕点O顺时针旋转 角度得到 OA B 若点A 在AB上时 则旋转角 AOB 90 B 30 3 如图 ABE和 ACD是 ABC沿着AB边 AC边翻折 180 形成的 若 BAC 130 则 演练巩固 反馈提高 1 如图 图中三角形的个数为 A 5 个B 6 个C 7 个D 8 个 2 如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点 那么这个三角形是 A 锐角三角形B 钝角三角形 C 直角三角形D 不确定 3 有 4 条线段 长度分别是 4cm 8cm 10cm 12cm 选其中三条组成三角形 可以组成三角形的个数是 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 4 下列语句中 正确的是 A 三角形的一个外角大于任何一个内角 B 三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和 C 三角形的外角中 至少有两个钝角 D 三角形的外角中 至少有一个钝角 5 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角 则这个三角形是 A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 无法确定 6 若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角 则这个三角形是 A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 无法确定 7 如果等腰三角形的一边长是 5cm 另一边长是 9cm 则这个三角形的周长是 8 三角形三条边长是三个连续的自然数 且三角形的周长不大于 18 则这个三角形的三条边长分别是 9 如图 在 ABC中 A 42 B与 C的三等分线 分别交于点D E 则 BDC的度数是 2 B A A O B 3 E D C B A ED A BC FG 精品文档 55欢迎下载 9 D E B A C 10 如图 光线l照射到平面镜上 然后在平面镜 之间来回反射 已知 55 75 11 如图 点D E F分别是BC AD BE的中点 且S EFC 1 则S ABC 12 如图 已知 1 2 3 4 BAC 63 则 DAC 13 如图 已知点D E是BC上的点 且 BE AB CD CA DAE BAC 求 BAC的度数 1 3 培优升级 奥赛检测 1 在 ABC中 2 A 3 B 且 C 30 A B 则 ABC是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 有一个角是 30 的直角三角形D 等腰直角三角形 B C 2 已知三角形的三边a b c的长都是整数 且a b c 如果b 7 则这样的三角形共有 A 21 个B 28 个C 49 个D 54 个 3 在 ABC中 A 50 高BE CF交于O点 则 BOC 4 在等腰 ABC中 一腰上的高与另一腰的夹角为 26 则底角的度数为 5 如图 BP平分 ABC交CD于点F DP平分 ADC交AB于点E 若 A 40 C 38 则 P 6 如图 已知OABC是一个长方形 其中顶点A B的坐标分别为 0 a 和 9 a 点E在AB上 且AE AB 点F在OC上 且OF OC 点G在OA上 且使 GEC的面积为 16 试求 的值 1 3 1 3 x y E B G F O C A 10 11 F E D A BC 13 DE A BC 43 2 1 12 D B A C G F E P A B C D 精品文档 66欢迎下载 B A C D E F 7 如图 已知四边形ABCD中 A DCB 180 两组对边延长后分别交于P Q两点 P Q的平分线 交于M 求证PM QM M Q P A B C D 第二讲 全等三角形的性质与判定 考点 方法 破译 1 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形 全等三角形的形状和大小完全相同 2 全等三角形性质 全等三角形对应边相等 对应角相等 全等三角形对应高 角平分线 中线 相等 全等三角形对应周长相等 面积相等 3 全等三角形判定方法有 SAS ASA AAS SSS 对于两个直角三角形全等的判定方法 除上述方法外 还有HL法 4 证明两个三角形全等的关键 就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件 具体分析步骤是先 找出两个三角形中相等的边或角 再根据选定的判定方法 确定还需要证明哪些相等的边或角 再设法对 它们进行证明 5 证明两个三角形全等 根据条件 有时能直接进行证明 有时要证的两个三角形并不全等 这时 需要添加辅助线构造全等三角形 构造全等三角形常用的方法有 平移 翻折 旋转 等倍延长线中线 截取等等 经典 考题 赏析 例 如图 AB EF DC ABC 90 AB CD 那么图中有全等三角形 A 5 对B 4 对C 3 对D 2 对 变式题组 1 武汉 2011 下列判断中错误的是 A 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D 有一边对应相等的两个等边三角形全等 精品文档 77欢迎下载 A F C E DB 2 黄冈 已知命题 如图 点A D B E在同一条直线上 且AD BE A FDE 则 ABC DEF 判断这个命题是真命题还是假命题 如果是真命题 请给出证明 如果是假命题 请添加一个适当条 件使它成为真命题 并加以证明 3 上海 已知线段AC与BD相交于点O 连接AB DC E为OB的中点 F为OC的中点 连接EF 如图所 示 添加条件 A D OEF OFE 求证 AB DC 分别将 A D 记为 OEF OFE 记为 AB DC 记为 添加 以 为结 论构成命题 1 添加条件 以 为结论构成命题 2 命题 1 是 命题 命题 2 是 命题 选择 真 或 假 填入空格 例 已知AB DC AE DF CF FB 求证 AF DE 变式题组 1 如图 AD BE是锐角 ABC的高 相交于点O 若BO AC BC 7 CD 2 则AO的长为 A 2B 3C 4D 5 A E 第 1 题图 A B C D E B C D O 第 2 题图 2 如图 在 ABC中 AB AC BAC 90 AE是过A点的一条直线 AE CE于E BD AE于 D DE 4cm CE 2cm 则BD A B C D O FE A C E F B D 精品文档 88欢迎下载 3 孝感 2013 已知 如图 在 ABC中 ACB 90 CD AB于点D 点E在AC上 CE BC 过点E 作AC的垂线 交CD的延长线于点F 求证 AB FC A F EC B D 例 如图 ABC DEF 将 ABC和 DEF的顶点B和顶点E重合 把 DEF绕点B顺时针方向旋 转 这时AC与DF相交于点O 当 DEF旋转至如图 位置 点B E C D在同一直线上时 AFD与 DCA的数量关系是 当 DEF继续旋转至如图 位置时 中的结论成立吗 请说明理由 B E O C F 图 F A B C D E F A B E C D D A 图 图 变式题组 1 绍兴 2013 如图 D E分别为 ABC的AC BC边的中点 将此三角形沿DE折叠 使点C落在AB边 上的点P处 若 CDE 48 则 APD等于 A 42 B 48 C 52 D 58 2 如图 Rt ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到 DEF 下列结论中错误的是 A ABC DEFB DEF 90 C AC DF D EC CF EFB A B P DE C 第 1 题图 A C D G 第 2 题图 3 一张长方形纸片沿对角线剪开 得到两种三角形纸片 再将这两张三角形纸片摆成如下图形式 使点 B F C D在同一条直线上 求证 AB ED 若PB BC 找出图中与此条件有关的一对全等三角形 并证明 精品文档 99欢迎下载 A B C D F E BF A C E N M P D D A C B F E 例 第 21 届江苏竞赛试题 已知 如图 BD CE分别是 ABC的边A C和AB边上的高 点P在BD 的延长线 BP AC 点Q在CE上 CQ AB 求证 AP AQ AP AQ 变式题组 1 如图 已知AB AE B E BA ED 点F是CD的中点 求证 AF CD 2 湖州市竞赛试题 如图 在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上 梯子顶端距地面的垂直距离MA为 am 此时梯子的倾斜角为 75 如果梯子底端不动 顶端靠在对面的墙上 此时梯子顶端距地面的垂 直距离NB为bm 梯子倾斜角为 45 这间房子的宽度是 A B C bmD am 2 ab m 2 ab m A E C B A 75 C 45 B N M 第 2 题图 第 3 题图 D 3 如图 已知五边形ABCDE中 ABC AED 90 AB CD AE BC DE 2 则五边形ABCDE的面积 为 演练巩固 反馈提高 2 1 A B C P Q E F D 精品文档 1010欢迎下载 1 海南 2011 已知图中的两个三角形全等 则 度数是 A 72 B 60 C 58 D 50 第 3 题图 第 1 题图 C A ODB P 第 2 题图 A C A B B a c c a 50 b 72 58 2 如图 ACB A C B BCB 30 则 ACA 的度数是 A 20 B 30 C 35 D 40 3 尺规作图作 AOB的平分线方法如下 以O为圆心 任意长为半径画弧交OA OB于C D 再分别以点 C D为圆心 以大于长为半径画弧 两弧交于点P 作射线OP 由作法得 OCP ODP的根据 1 2 CD 是 A SASB ASAC AASD SSS 4 武汉 2012 如图 已知AB AD 那么添加下列一个条件后 仍无法判定 ABC ADC的是 A CB CD B BAC DAC C BCA DCA D B D 90 E 2 1 NA B D C 第 5 题图 A B C D E A B C D 第 4 题图 第 6 题图 M 5 有两块不同大小的等腰直角三角板 ABC和 BDE 将它们的一个锐角顶点放在一起 将它们的一个锐 角顶点放在一起 如图 当A B D不在一条直线上时 下面的结论不正确的是 A ABE CBD B ABE CBD C ABC EBD 45 D AC BE 6 如图 ABC和共顶点A AB AE 1 2 B E BC交AD于M DE交AC于N 小华说 一 定有 ABC AED 小明说 ABM AEN 那么 A 小华 小明都对 B 小华 小明都不对 C 小华对 小明不对 D 小华不对 小明对 7 如图 已知AC EC BC CD AB ED 如果 BCA 119 ACD 98 那么 ECA的度数是 8 如图 ABC ADE BC延长线交DE于F B 25 ACB 105 DAC 10 则 DFB的度数 为 9 如图 在Rt ABC中 C 90 DE AB于D BC BD AC 3 那么AE DE 精品文档 1111欢迎下载 A EFB DC 第 10 题图 A B C D E 第 9 题图 EA B C D AB C D E F O C A E B D 第 7 题图 第 8 题图 10 如图 BA AC CD AB BC DE 且BC DE 若AB 2 CD 6 则AE 11 如图 AB CD AB CD BC 12cm 同时有P Q两只蚂蚁从点C出发 沿CB方向爬行 P的速度是 0 1cm s Q的速度是 0 2cm s 求爬行时间t为多少时 APB QDC D A C Q P B 12 如图 ABC中 BCA 90 AC BC AE是BC边上的中线 过C作CF AE 垂足为F 过B作 BD BC交CF的延长线于D 求证 AE CD 若AC 12cm 求BD的长 13 吉林 如图 AB AC AD BC于点D AD等于AE AB平分 DAE交DE于点F 请你写出图中三对全 等三角形 并选取其中一对加以证明 14 如图 将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上 从另两个顶点A B分别作l的垂线 垂足 分别为D E 找出图中的全等三角形 并加以证明 若DE a 求梯形DABE的面积 温馨提示 补形法 15 如图 AC BC AD BD AD BC CE AB DF AB 垂足分别是E F 求证 CE DF D B A C E F A E B F DC B D EC l A 精品文档 1212欢迎下载 A E F C DB 培优升级 奥赛检测 1 如图 在 ABC中 AB AC E F分别是AB AC上的点 且AE AF BF CE相交于点O 连接AO并 延长交BC于点D 则图中全等三角形有 A 4 对B 5 对C 6 对D 7 对 F 第 6 题图 2 1 A B C E N M 3 2 1 A D E BC F A D E CO A E O B F C D 第 1 题图 B 第 2 题图 第 3 题图 2 如图 在 ABC中 AB AC OC OD 下列结论中 A B DE CE 连接DE 则OE平分 AOB 正确的是 A B C D 3 如图 A在DE上 F在AB上 且AC CE 1 2 3 则DE的长等于 A DC B BC C AB D AE AC 4 下面有四个命题 其中真命题是 A 两个三角形有两边及一角对应相等 这两个三角形全等 B 两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 5 在 ABC中 高AD和BE所在直线相交于H点 且BH AC 则 ABC 6 如图 EB交AC于点M 交FC于点D AB交FC于点N E F 90 B C AE AF 给出下列 结论 1 2 BE CF ACN ABM CD DB 其中正确的结论有 填序 号 7 如图 AD为在 ABC的高 E为AC上一点 BE交AD于点F 且有BF AC FD CD 求证 BE AC 若把条件 BF AC 和结论 BE AC 互换 这个命题成立吗 证明你的判定 8 如图 D为在 ABC的边BC上一点 且CD AB BDA BAD AE是 ABD的中线 求证 AC 2AE A B EDC 精品文档 1313欢迎下载 4 3 2 1 N M A B O D P A D E G C H B A E B D C 9 如图 在凸四边形ABCD中 E为 ACD内一点 满足AC AD AB AE BAE BCE 90 BAC EAD 求证 CED 90 10 如图 AB AD AC AE BAD CAE 180 AH AH于H HA的延长线交DE于G 求证 GD GE 第三讲 角平分线的性质与判定 考点 方法 破译 1 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 2 角平分线的判定定理 角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 3 有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形 经典 考题 赏析 例 如图 已知OD平分 AOB 在OA OB边上截取 OA OB PM BD PN AD 求证 PM PN 变式题组 精品文档 1414欢迎下载 P C AB M N M N A B D C P E D A B C D C AB 3 2 1 F E D C A B 1 如图 CP BP分别平分 ABC的外角 BCM CBN 求证 点P在 BAC的平分线上 2 如图 BD平分 ABC AB BC 点P是BD延长线上的一点 PM AD PN CD 求证 PM PN 例 天津竞赛题 如图 已知四边形ABCD中 AC平分 BAD CE AB于点E 且 AE AB AD 如果 D 120 求 B的度数 1 2 变式题组 1 如图 在 ABC中 CD平分 ACB AC 5 BC 3 求 ACD CBD S S 2 河北竞赛 在四边形ABCD中 已知AB a AD b 且BC DC 对角线AC平分 BAD 问a与b的大小 符合什么条件时 有 B D 180 请画图并证明你的结论 例 如图 在 ABC中 BAC 90 AB AC BE平分 ABC CE BE 求证 CE BD 1 2 变式题组 精品文档 1515欢迎下载 D E C AB D F E B AC 图 1图 图 D CB A 图 2图 图 D BC A E P 图 3图 图 QS R P B AC 图 4图 图 EF BD A C 图 5图 图 E B C A 1 如图 已知AC BD EA EB分别平分 CAB DBA CD过点E 求证 AB AC BD 2 如图 在 ABC中 B 60 AD CE分别是 BAC BCA的平分线 AD CE相交于点F 请你判断FE和FD之间的数量关系 并说明理由 求证 AE CD AC 演练巩固 反馈提高 1 如图 在Rt ABC中 C 90 BD平分 ABC交AC于D 若CD n AB m 则 ABD的面积是 A mnB mnC mnD 2 mn 1 3 1 2 2 如图 已知AB AC BE CE 下面四个结论 BP CP AD BC AE平分 BAC PBC PCB 其 中正确的结论个数有 个 A 1B 2C 3D 4 3 如图 在 ABC中 P Q分别是BC AC上的点 作PR AB PS AC 垂足分别是R S 若 AQ PQ PR PS 下列结论 AS AR PQ AR BRP CSP 其中正确的是 A B C D 4 如图 ABC中 AB AC AD平分 BAC DE AB DF AC 垂足分别是E F 则下列四个结论中 AD上任意一点到B C的距离相等 AD上任意一点到AB AC的距离相等 AD BC且 BD CD BDE CDF 其中正确的是 A B C D 5 如图 在Rt ABC中 ACB 90 CAB 30 ACB的平分线与 ABC的外角平分线交于E点 则 AEB的度数为 A 50 B 45 C 40 D 35 6 如图 P是 ABC内一点 PD AB于D PE BC于E PF AC于F 且PD PE PF 给出下列结论 AD AF AB EC AC BE BC CF AB AF 点P是 ABC三条角平分线的交点 其中正确的 序号是 A B C D 7 如图 点P是 ABC两个外角平分线的交点 则下列说法中不正确的是 精品文档 1616欢迎下载 6 F E D P A BC 7 P A BC E F 8 D A B C E 9 E DC A B 10 K N M Q CB A F B D E CA O F E D A BC l1 l2 l3 1 3 D C ABP 4 F G E P A B C D 5 E O D B A C A 点P到 ABC三边的距离相等B 点P在 ABC的平分线上 C P与 B的关系是 P B 90 D P与 B的关系是 B P 1 2 1 2 8 如图 BD平分 ABC CD平分 ACE BD与CD相交于D 给出下列结论 点D到AB AC的距离相等 BAC 2 BDC DA DC DB平分 ADC 其中正确的个数是 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 9 如图 ABC中 C 90 AD是 ABC的角平分线 DE AB于E 下列结论中 AD平分 CDE BAC BDE DE平分 ADB AB AC BE 其中正确的个数有 A 3 个B 2 个C 1 个D 4 个 10 如图 已知BQ是 ABC的内角平分线 CQ是 ACB的外角平分线 由Q出发 作点Q到BC AC和AB 的垂线QM QN和QK 垂足分别为M N K 则QM QN QK的关系是 11 如图 AD是 BAC的平分线 DE AB于E DF AC于F 且DB DC 求证 BE CF 12 如图 在 ABC中 AD是 BAC的平分线 DE AB于点E DF AC于点F 求证 AD EF 培优升级 奥赛检测 1 如图 直线l1 l2 l3表示三条相互交叉的公路 现要建一个货物中转站 要求它到三条公路的距离相 等 则可选择的地址有 A 一处B 二处C 三处D 四处 2 已知Rt ABC中 C 90 AD平分 BAC交BC于D 若BC 32 且BD CD 9 7 则D到AB边的距 离为 A 18B 16C 14D 12 3 如图 ABC中 C 90 AD是 ABC的平分线 有一个动点P从A向B运动 已知 DC 3cm DB 4cm AD 8cm DP的长为x cm 那么x的范围是 4 如图 已知AB CD PE AB PF BD PG CD 垂足分别为 精品文档 1717欢迎下载 G P F E DCB A P D A BC Q P CB A E F G 且PF PG PE 则 BPD 5 如图 已知AB CD O为 CAB ACD的平分线的交点 OE AC 且OE 2 则两平行线AB CD间的 距离等于 6 如图 AD平分 BAC EF AD 垂足为P EF的延长线于BC的延长线相交于点G 求证 G ACB B 1 2 7 如图 在 ABC中 AB AC AD是 BAC的平分线 P为AC上任意一点 求证 AB AC DB DC 8 如图 在 ABC中 BAC 60 ACB 40 P Q分别在BC AC上 并且AP BQ分别为 BAC ABC的角平分线上 求证 BQ AQ AB BP 第四讲 轴对称及轴对称变换 考点 方法 破译 1 轴对称及其性质 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形关于这条直线 成轴对称 这条直线叫对称轴 轴对称的两个图形有如下性质 关于某直线对称的两个图形是全等形 对称轴是任何一对对应点 所连线段的垂直平分线 两个图形关于某条直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点在 对称轴上 2 线段垂直平分线 线段垂直平分线也叫线段中垂线 它反映了与线段的两种关系 位置关系 垂直 数量关系 平分 精品文档 1818欢迎下载 性质定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 判定定理 与一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 3 当已知条件中出现了等腰三角形 角平分线 高 或垂线 或求几条折线段的最小值等情况时 通常考虑作轴对称变换 以 补齐 图形 集中条件 经典 考题 赏析 例 兰州 如图所示 将一张正方形纸片对折两次 然后在上面打 3 个洞 则纸片展开后是 变式题组 1 将正方形纸片两次对折 并剪出一个菱形小洞后铺平 得到的图形是 2 荆州 如图 将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠 使点A落在点G上 点D落在点H上 然后再沿虚线 GH折叠 使B落在点E上 点C落在点F上 叠完后 剪一个直径在BC上的半圆 再展开 则展开 后的图形为 例 2 襄樊 如图 在边长为 1 的正方形网格中 将 ABC向右平移两个单位长度得到 A B C 则 与点B 关于x轴对称的点的坐标是 A 0 1 B 1 1 C 2 1 D 1 1 变式题组 1 若点P 2 3 与点Q a b 关于x轴对称 则a b的值分别是 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 2 在直角坐标系中 已知点P 3 2 点Q是点P关于x轴的对称点 将点 Q向右平移 4 个单位得到点R 则点R的坐标是 3 荆州 已知点P a 1 2a 1 关于x轴的对称点在第一象限 则a的取值范 围为 精品文档 1919欢迎下载 例 3 如图 将一个直角三角形纸片ABC ACB 90 沿线段CD折叠 使点B落在B1处 若 ACB1 70 则 ACD A 30 B 20 C 15 D 10 变式题组 1 孝感 如图 把一个长方形纸片沿EF折叠后 点D C分别落在点D C 的位置 若 EFB 65 则 AED 等于 A 70 B 65 C 50 D 25 2 如图 ABC中 A 30 以BE为边 将此三角形对折 其次 又以BA为边 再一次对折 C点落 在BE上 此时 CDB 82 则原三角形中 B 例 4 如图 在 ABC中 AD为 BAC的平分线 EF是AD的垂直平分线 E为垂足 EF交BC的延长线 于点F 求证 B CAF 变式题组 1 如图 点D在 ABC的BC边上 且BC BD AD 则点D在 的垂直平分线上 2 如图 ABC中 ABC 90 C 15 DE AC于E 且AE EC 若AB 3cm 则 DC cm 3 如图 ABC中 BAC 126 DE FG分别为AB AC的垂直平分线 则 EAG 4 ABC中 AB AC AB边的垂直平分线交AC于F 若AB 12cm BCF的周长为 20cm 则 ABC的周长 是 cm 例 5 荆州 如图 在 3 3 的正方形格点图中 有格点 ABC和 DEF 且 ABC和 DEF关于某直线成 轴对称 请在下面的备用图中画出所有这样的 DEF 精品文档 2020欢迎下载 变式题组 1 如图 在 2 2 的正方形格点图中 有一个以格点为顶点的 ABC 请你找出格点图中所有与 ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形 这样的三角形共有 个 2 如图甲 正方形被划分成 16 个 全等的三角形 将其中若干个三角形涂黑 且满足下列条件 涂黑部分的面积是原正方形面积的一半 涂黑部分成轴对称图形 如图乙是一种涂法 请在图 1 3 中分别设计另外三种涂法 在所设计的图案中 若涂黑部分全等 则认为是同一种不同涂法 如图乙与图丙 例 6 如图 牧童在A处放牛 其家在B处 若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处 饮水后回家 试问在何处饮水 所求路程最短 变式题组 1 山西 设直线l是一条河 P Q两地相距 8 千米 P Q两地到l地距离分别为 2 千米 5 千米 欲在 l上的某点M处修建一个水泵站向P Q两地供水 现在如下四种铺设管道方案 图中的实线表示辅设 的管道 则铺设的管道最短的是 精品文档 2121欢迎下载 2 若点A B是锐角 MON内两点 请在OM ON上确定点C 点D 使四边形ABCD周长最小 写出你作图 的主要步骤并标明你确定的点 演练巩固 反馈提高 1 黄冈 如图 ABC与 A B C 关于直线l对称 且 A 78 C 48 则 B的度数是 A 48 B 54 C 74 D 78 2 泰州 如图 把一张长方形纸片对折 折痕为AB 再以AB的中点O为顶点把平角 AOB三等分 沿平 角的三等分线折叠 将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形 那么剪出的等腰三角形全部 展开铺平后得到的平面图形一定是 A 正三角形 B 正方形 C 正五边形 D 正六边形 3 图 1 是四边形纸片ABCD 其中 B 120 D 50 若将其右下角向内折出 PCR 恰使 CP AB RC AD 如图 2 所示 则 C A 80 B 85 C 95 D 110 4 如图 阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形 若点A的坐标 是 1 3 则点M和点N的坐标分别是 A M 1 3 N 1 3 B M 1 3 N 1 3 C M 1 3 N 1 3 D M 1 3 N 1 3 5 点P关于x轴对称的对称点P 的坐标是 3 5 则点P关于y轴对称的对称点的坐标是 A 3 5 B 5 3 C 3 5 D 5 3 06 已知M 1 a 2a 2 关于y轴对称的点在第二象限 则a的取值范围是 A 1 a 1 B 1 a 1 C a 1 D a 1 7 如图 镜子中号码的实际号码是 8 如图 正方形ABCD的边长为 4cm 则图中阴影部分的面积为 cm2 9 已知点A 2a 3b 2 和B 8 3a 2b 关于x轴对称 则a b 精品文档 2222欢迎下载 10 如图 在 ABC中 OE OF分别是AB AC中垂线 且 ABO 20 ABC 45 求 BAC和 ACB 的度数 11 如图 C D E F是一个长方形台球桌的 4 个顶点 A B是桌面上的两个球 怎样击打A球 才能使 A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球 请画出A球经过的路线 并写出作法 12 如图 P为 ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点 PM BC于M PN BA的延长线于N 求证 AN MC 13 荆州 有如图 的 8 张纸条 用每 4 张拼成一个正方形图案 拼成的正方形的每一行和每 一列中 同色的小正方形仅为 2 个 且使每个正方形图案都是轴对称图形 在网格中画出你拼成的 图 画出的两个图案不能全等 培优升级 奥赛检测 1 浙江竞赛试题 如图 直线l1与直线l2相交 60 点P在 内 不在l1l2上 小明用下面的方法作P的对称点 先以l1为对称轴作点P关 于l1的对称点P1 再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2 然后再以l1为对 称轴作P2关于l1的对称点P3 以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4 如此继续 得到一系列P1 P2 P3 Pn与P重合 则n的最小值是 A 5 B 6 C 7 D 8 2 宜昌 已知 如图 AF平分 BAC BC AF 垂足为E 点D与点A关于点E对称 PB分别与线段 CF AF相交于P M 求证 AB CD 若 BAC 2 MPC 请你判断 F与 MCD的数量关系 并说明理由 精品文档 2323欢迎下载 3 在 ABC中 BAC 90 点A关于BC边的对称点为A 点B关于AC边的对称点为B 点C关于AB 边的对称点为C 若S ABC 1 求S A B C 4 小王同学在小组数学活动中 给本小组出了这样一道 对称跳棋 题 如图 在作业本上画一条直线 l 在直线l两边各放一粒围棋子A B 使线段AB长a厘米 并关于直线l对称 在图中P1处有一粒 跳棋子 P1距A点b厘米 与直线l的距离C厘米 按以下程序起跳 第 1 次 从P1点以A为对称中 心跳至P2点 第 2 次 从P2点以l为对称轴跳至P3点 第 3 次 从P3点以B为对称中心跳至P4点 第 4 次 从P4以l为对称轴跳至P1点 画出跳棋子这 4 次跳过的路径并标注出各点字母 画图工具不限 棋子按上述程序跳跃 2011 次后停下 假设a 8 b 6 c 3 计算这时它与A的距离是多少 5 孝感 如图 已知平面直角坐标系 A B两点的坐标分别为A 2 3 B 4 1 若P p 0 是x轴上的一个动点 则当p 时 PAB的周长最短 若C a 0 D a 3 0 是x轴上的两个动点 则当a 时 四边形ABCD的周长最 短 设M N分别为x轴和y轴上的动点 请问 是否存在这样的点M m 0 N 0 n 使四边形 ABMN的周长最短 若存在 请求出m n 不必写解答过程 若不存 在 请说明理由 精品文档 2424欢迎下载 第五讲 等腰三角形 考点 方法 破译 1 等腰三角形及其性质 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 等腰三角形是轴对称图形 因此它的性质有 等腰三角形 的两个底角相等 即等边对等角 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 即 等腰三角形三线合一 2 等腰三角形的判定 证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是 从定义入手 证明一个三角形有两条边相等 从角 入手 证明一个三角形有两个角相等 依据是等腰三角形判定定理 等角对等边 3 构造等腰三角形的常用方法 角平分线 平行线 等腰三角形 角平分线 垂线 或高 等腰三角形 线段中垂线构造等腰三角形 将 2 倍角转化为相等角构造等腰三角形 2 1 3 1 2 2 1 4 3 2 1 经典 考题 赏析 例 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 400 则这个等腰三角形的底角为 变式题组 1 黄冈 在等腰 ABC中 AB AC 一边上的中线BD将这个三角形的周长分为 15 和 12 两个部分 则这 个等腰三角形的底边长为 A 7 B 11 C 7 或 11 D 7 或 10 2 黄冈 在 ABC中 AB AC AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为 500 则 B 度 3 襄樊 在 ABC中 AB AC 12cm BC 6cm D为BC的中点 动点P从B点出发 以每秒 1cm的速度 沿B A C的方向运动 设运动时间为t 那么当t 秒时 过D P两点的直线将 ABC的 周长分成两个部分 使其中一部分是另一部分的 2 倍 例 如图 在 ABC中 AB AC 点D在AC上 AD BD BC 求 A的度数 C A B D 精品文档 2525欢迎下载 A BC D P E 变式题组 1 如图 在 ABC中 AB AC BD BC AD DE EB 求 A的度数 2 如图 在 ABC中 AB AC BC BD ED EA 求 A的大小 例 已知坐标原点O和点A 2 2 B是坐标轴上的一点 若 AOB是等腰三角形 则这样的点 B一共有 个 A 4 B 5 C 6 D 8 变式题组 1 海南竞赛试题 在平面直角坐标系xOy内 已知A 3 3 点P是y轴上一点 则使 AOP为等腰三 角形的点P共有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 2 如图 在平面直角坐标系中 点A的坐标是 1 0 点B的坐标是 0 点C在坐标平面内 若以 A B C为顶点构成的三角形是等腰三角形 且底角为 30 度 则满足条件的点C有 个 3 南昌 如图 已知长方形纸片ABCD 点E是AB的中点 点G是BC上一点 BEG 600 现沿直线EG 将纸片折叠 使点B落在纸片中的点H处 连接AH 则与 BEG相等的角的个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 4 如图所示 矩形ABCD中 AB 4 BC 点E是折线段A D C上的一 个动点 点E与点A不重合 点P是点A关于BE的对称点 在点E运动 的过程中 使 PCB为等腰三角形的点E的位置共有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 AC B M D E 例 4 题图 精品文档 2626欢迎下载 例 两个全等的含 30 60 角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置 E A C三点在一条直线 上 连结BD 取BD的中点M 连结ME MC 试判断 EMC的形状 并说明理由 变式题组 1 如图 在等腰直角三角形ABC中 P是斜边BC的中点 以P为直角顶点的两边分别与边AB AC交于点 E F 当 EPF绕顶点P旋转时 点E不与A B重合 PEF也始终是等腰三角形 请你说明理由 2 如图 在等腰三角形ABC中 ACB 900 D是BC的中点 DE AB垂足为E 过点B作BF AC交DE的 延长线于点F 连接CF交AD于G 求证 AD CF 连接AF 试判断 ACF的形状 并说明理由 3 如图 ABC中 ACB 900 AC BC CO为中线 现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转 若三角板的两直角边分别交AC CB的延长线于点G H 试写出图中除AC BC OA OB OC外其他所有相等的线段 请选一组你写出的相等线段给予证明 精品文档 2727欢迎下载 例 我们知道 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 类似地 我们定义 至少有一组对边相等 的四边形叫做等对边四边形 请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称 如图 在中 点分别在上 设相交于点 若 ABC DE ABAC CDBE O60A 请你写出图中一个与相等的角 并猜想图中哪个四边形是等对边四边形 1 2 DCBEBCA A 在中 如果是不等于的锐角 点分别在上 且ABC A 60 DE ABAC 探究 满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形 并证明你的结论 1 2 DCBEBCA 变式题组 1 如图 在ABC中 B 2 C AD为 BAC的平分线 求证 AC AB BD 2 天津初赛试题 如图 在四边形ABCD中 ACB BAD 1050 ABC ADC 450 若AB 2 求CD 的长 3 如图 在ABC中 AB AC D在AB上 F在AC延长线上 BD CF 求证DE EF B O A D E C 精品文档 2828欢迎下载 变式题组 1 重庆 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1 4 则这个等腰三角形顶角的度数为 A 200 B 1200 C 200或 1200 D 3600 2 云南 已知等腰三角形的两边分别为 6 和 3 则此等腰三角形周长为 A 9 B 15 C 15 D 12 或 15 3 云南 如图 等腰ABC的周长为 21 底边BC 5 AB的垂直平分线DE交AB于点 D 交AC于点E 则BEC的周长为 A 13 B 14 C 15 D 16 4 如图 C E和B D F分别在 GAH的两边上 且AB BC CD DE EF 若 A 180 则 GEF的度数 是 A 800 B 900 C 1000 D 1080 5 如图 Rt ABC中 CD是斜边AB上的高 角平分线AE交CD于H EF AB于F 则下列结论中不正确的 是 A ACD B B CH CE EF C CH HD D AC AF 6 如图 ABC中 ABC与 ACB的平分线交于点F 过点F作DE BC交AB于点D 交AC于点E 那么下 列结论 BDF和CEF都是等腰三角形 DE BD CE ADE的周长等于AB与AC的和 BF CF 其 中正确的有 A B C D 7 武汉 如图 已知O是四边形ABCD内一点 OA OB OC ABC ADC 700 则 DAO DCO的大 小是 A 700 B 1100 C 1400 D 1500 8 滨州 已知等腰ABC的周长为 10 若设腰长为x 则x的取值范围是 9 如图所示 在ABC中 已知AB AC A 360 BC 2 BD是ABC的角平分线 则AD 精品文档 2929欢迎下载 10 威海 如图 AB AC BD BC 若 A 400 则 ABD的度数是 11 乌鲁木齐 在一次数学课上 王老师在黑板上画出图 6 并写下了四个等式 ABDC BECE BC BAECDE 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件 推出是等腰三角形 请你试着完成王老师AED 提出的要求 并说明理由 写出一种即可 已知 求证 是等腰三角形 AED 证明 12 泰安 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置 图 2 是由它抽象出的几何图形 在同一条直线上 连结 BCE DC 请找出图 2 中的全等三角形 并给予证明 说明 结论中不得含有未标识的字母 证明 DCBE 图 1图 2 D C E A B 培优升级 奥赛检测 B E DA C 精品文档 3030欢迎下载 1 如图 BAC与 CBE的平分线相交于点P BE BC PB与CE交于点H PG AD交BC于F 交AB于G 下列结论 GA GP BP垂直平分CE FP FC 其中正确的判断有 A 只有 B 只有 C 只有 D 只有 2 如图 点A是网格图形中的一个网格图形中的一个格点 小正方形的顶点 图中每个小正方形的 边长为 1 以A为其中的一个顶点 面积等于 2 5 的格点等腰直角三角形 三角形的三个顶点都是格 点 的个数是 A 10 个 B 12 个 C 14 个 D 16 个 3 如图 在ABC中 AB BC MN NA BAM NAC 则 MAC 4 如图 AA BB 分别是 EAB DBC的平分线 若AA BB AB 则 BAC的度数为 5 全国联赛 在等腰Rt ABC中 AC BC 1 M是BC的中点 CE AM于E 交AB于F 则 6 如图 在ABC中 AB AC EF为过点A的任意一条直线 CF BC BE BC 求证 AE AF F B A C E 7 湖州市竞赛试题 如图 在Rt A