2007年高考全国1卷数学理科试卷含答案

学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 10 20072007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第本试卷分第 卷 选择题 和第卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第卷 非选择题 两部分 第 卷卷 1 至至 2 页 第页 第 卷卷 3 至至 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考 证号填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 证号填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 本卷共 本卷共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 符合题目要求的 参考公式 参考公式 如果事件互斥 那么 球的表面积公式AB P ABP AP B 2 4 SR 如果事件相互独立 那么 其中表示球的半径AB R 球的体积公式 P A BP A P B AA 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么 Ap 3 4 3 VR 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径nAkR 1 012 kkn k nn P kC ppkn 一 选择题一 选择题 1 是第四象限角 则 5 tan 12 sin A B C D 1 5 1 5 5 13 5 13 2 设是实数 且是实数 则 a 1 i 1 i2 a a A B C D 1 2 1 3 2 2 3 已知向量 则与 5 6 a 6 5 bab A 垂直B 不垂直也不平行C 平行且同向D 平行且反向 4 已知双曲线的离心率为 焦点是 则双曲线方程为 2 4 0 4 0 A B C D 22 1 412 xy 22 1 124 xy 22 1 106 xy 22 1 610 xy 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 10 5 设 集合 则 ab R 10 b abab a ba A B C D 11 22 6 下面给出的四个点中 到直线的距离为 且位于表10 xy 2 2 10 10 xy xy 示的平面区域内的点是 A B C D 11 11 11 11 7 如图 正四棱柱中 则异面直 1111 ABCDABC D 1 2AAAB 线与所成角的余弦值为 1 AB 1 AD A B C D 1 5 2 5 3 5 4 5 8 设 函数在区间上的最大值与最小值之差为 则 1a logaf xx 2a a 1 2 a A B C D 222 24 9 是定义在上的函数 则 均为 f x g xR h xf xg x f x g x 偶函数 是 为偶函数 的 h x A 充要条件B 充分而不必要的条件 C 必要而不充分的条件D 既不充分也不必要的条件 10 的展开式中 常数项为 则 2 1 n x x 15n A B C D 3456 11 抛物线的焦点为 准线为 经过且斜率为的直线与抛物线在 2 4yx FlF3 轴上方的部分相交于点 垂足为 则的面积是 xAAKl KAKF A B C D 43 34 38 12 函数的一个单调增区间是 22 cos2cos 2 x f xx A B C D 2 33 6 2 0 3 6 6 第第 卷卷 注意事项 注意事项 A B 1 B 1 A 1 D 1 C C D 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 10 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证 号填写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 号填写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 第 第 卷共卷共 2 页 请用直径页 请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作 答 在试题卷上作答无效 答 在试题卷上作答无效 3 本卷共 本卷共 10 题 共题 共 90 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填在横线上 分 把答案填在横线上 13 从班委会 5 名成员中选出 3 名 分别担任班级学习委员 文娱委员与体育委员 其 中甲 乙二人不能担任文娱委员 则不同的选法共有 种 用数字作答 14 函数的图像与函数的图像关于直线对称 则 yf x 3 log 0 yx x yx f x 15 等比数列的前项和为 已知 成等差数列 则的公比 n an n S 1 S 2 2S 3 3S n a 为 16 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上 已知正三棱柱的底 面边长为 2 则该三角形的斜边长为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 设锐角三角形的内角的对边分别为 ABCABC abc 2 sinabA 求的大小 B 求的取值范围 cossinAC 18 本小题满分 12 分 某商场经销某商品 根据以往资料统计 顾客采用的付款期数的分布列为 12345 P0 40 20 20 10 1 商场经销一件该商品 采用 1 期付款 其利润为 200 元 分 2 期或 3 期付款 其利润为 250 元 分 4 期或 5 期付款 其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润 求事件 购买该商品的 3 位顾客中 至少有 1 位采用 1 期付款 的概率 A P A 求的分布列及期望 E 19 本小题满分 12 分 四棱锥中 底面为平行四边形 侧面底面 已知SABCD ABCDSBC ABCD 45ABC 2AB 2 2BC 3SASB 证明 SABC 求直线与平面所成角的大小 SDSAB D B C A S 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 10 20 本小题满分 12 分 设函数 ee xx f x 证明 的导数 f x 2fx 若对所有都有 求的取值范围 0 x f xax a 21 本小题满分 12 分 已知椭圆的左 右焦点分别为 过的直线交椭圆于两点 过 22 1 32 xy 1 F 2 F 1 FBD 的直线交椭圆于两点 且 垂足为 2 FAC ACBD P 设点的坐标为 证明 P 00 xy 22 00 1 32 xy 求四边形的面积的最小值 ABCD 22 本小题满分 12 分 已知数列中 n a 1 2a 1 21 2 nn aa 12 3n 求的通项公式 n a 若数列中 n b 1 2b 1 34 23 n n n b b b 12 3n 证明 43 2 nn ba 12 3n 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 10 2007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题 必修理科数学试题 必修 选修选修 参考答案 参考答案 一 选择题 一 选择题 1 D 2 B 3 A 4 A 5 C 6 C 7 D 8 D 9 B 10 D 11 C 12 A 二 填空题 二 填空题 13 14 15 16 363 x x R 1 3 2 3 三 解答题 三 解答题 17 解 由 根据正弦定理得 所以 2 sinabA sin2sinsinABA 1 sin 2 B 由为锐角三角形得 ABC 6 B cossincossinACAA cossin 6 AA 13 coscossin 22 AAA 3sin 3 A 由为锐角三角形知 ABC 22 AB 2263 B 2 336 A 所以 13 sin 232 A 由此有 33 3sin3 232 A 所以 的取值范围为 cossinAC 3 3 22 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 10 18 解 由表示事件 购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款 A 知表示事件 购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款 A 2 1 0 4 0 216P A 1 1 0 2160 784P AP A 的可能取值为元 元 元 200250300 200 1 0 4PP 250 2 3 0 20 20 4PPP 300 1 200 250 1 0 40 40 2PPP 的分布列为 200250300 P0 40 40 2 200 0 4250 0 4300 0 2E 元 240 19 解法一 作 垂足为 连结 由侧面底面 得底面SOBC OAOSBC ABCDSO ABCD 因为 所以 SASB AOBO 又 故为等腰直角三角形 45ABC AOB AOBO 由三垂线定理 得 SABC 由 知 依题设 SABC ADBC 故 由 得SAAD 2 2ADBC 3SA 2AO 1SO 11SD 的面积 SAB 2 2 1 11 2 22 SABSAAB A 连结 得的面积DBDAB 2 1 sin1352 2 SAB AD A 设到平面的距离为 由于 得DSABh D SABSABD VV 12 11 33 h SSO S AA 解得 2h O D B C A S 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 10 设与平面所成角为 则 SDSAB 222 sin 1111 h SD 所以 直线与平面所成的我为 SDSBC 22 arcsin 11 解法二 作 垂足为 连结 由侧面底面 得平面SOBC OAOSBC ABCDSO ABCD 因为 所以 SASB AOBO 又 为等腰直角三角形 45ABC AOB AOOB 如图 以为坐标原点 为轴正向 建立直角坐标系 OOAxOxyz 2 0 0 A 02 0 B 02 0 C 0 01 S 2 01 SA 所以 0 2 2 0 CB 0SA CB ASABC 取中点 ABE 22 0 22 E 连结 取中点 连结 SESEGOG 22 1 442 G 22 1 442 OG 22 1 22 SE 22 0 AB 与平面内两条相交直线 垂直 0SE OG A0AB OG AOGSABSEAB 所以平面 与的夹角记为 与平面所成的角记为 则OG SABOGDS SDSAB 与互余 2 2 2 0 D 2 2 21 DS 22 cos 11 OG DS OG DS A A 22 sin 11 所以 直线与平面所成的角为 SDSAB 22 arcsin 11 20 解 的导数 f x ee xx fx D B C A S O E G y x z 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 10 由于 故 ee2 e e2 x xxx A 2fx 当且仅当时 等号成立 0 x 令 则 g xf xax ee xx g xfxaa 若 当时 2a 0 x ee20 xx g xaa 故在上为增函数 g x 0 所以 时 即 0 x 0 g xg f xax 若 方程的正根为 2a 0g x 2 1 4 ln 2 aa x 此时 若 则 故在该区间为减函数 1 0 xx 0g x g x 所以 时 即 与题设相矛盾 1 0 xx 0 0g xg f xax f xax 综上 满足条件的的取值范围是 a 2 21 证明 椭圆的半焦距 321c 由知点在以线段为直径的圆上 故 ACBD P 12 FF 22 00 1xy 所以 2222 0002 1 1 32222 yxyx 当的斜率存在且时 的方程为 代入椭圆方程BDk0k BD 1 yk x 并化简得 22 1 32 xy 2222 32 6360kxk xk 设 则 11 B xy 22 D xy 2 12 2 6 32 k xx k 2 12 2 36 32 k x x k 2 222 122212 2 4 3 1 1 1 4 32 k BDkxxkxxx x k AA B 1 FO 2 F P D A y x C 学而思教育学而思教育 学习改变命运学习改变命运 思考成就未来 思考成就未来 高考网高考网 10 因为与相交于点 且的斜率为 ACBCPAC 1 k 所以 2 2 2 2 1 4 31 4 3 1 1 23 32 kk