应县第一中学校2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

高二年级期末考试数学试题（理）一、选择题1.已知集合，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，集合，再根据集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.若复数满足，则的虚部为A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】，虚部为【考点】复数的运算与复数的定义3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A. 假设三内角都不大于60度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】【分析】通过命题否定即可得到答案.【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60度”的否定是“至多有0个小于60度”即“三内角都大于60度，故答案为B.”【点睛】本题主要考查命题的否定，难度不大.4.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030附表：经计算，则下列选项正确的是A. 有的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 有的把握认为使用智能手机对学习有影响D. 有的把握认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】根据附表可得k=107.879,所以有的把握认为使用智能手机对学习有影响，选A5.已知，且，则等于()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，即可求出，由即可求出【详解】令，得，所以，故选A。【点睛】本题主要考查赋值法的应用。6.函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A. 1,2B. 1,0C. 0,2D. 2，)【答案】A【解析】【分析】画出分段函数图象，数形结合，可得函数的单调减区间。【详解】函数的图象如图所示：结合图象可知函数的单调减区间是故选【点睛】本题主要考查了分段函数的应用以及函数单调性的判断，考查了数形结合的思想，属于基础题，在含有绝对值的题目时通常要经过分类讨论去绝对值。7.把4个苹果分给两个人，每人至少一个，不同分法种数有()A. 6B. 12C. 14D. 16【答案】C【解析】【分析】给两个人命名为甲、乙，根据甲分的苹果数进行分类即可求出。【详解】按照分给甲的苹果数，有种分法，故选C。【点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用。8.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是()A. 3,3B. C. D. 1,1【答案】D【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义，可知当时，恒成立，解一元二次不等式即可。【详解】依题意可知，当时，恒成立，所以，解得，故选D。【点睛】本题主要考查充分、必要条件定义应用以及恒成立问题的解法。9.下列函数中，满足“且”的是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意知，函数在上是减函数，根据选项判断即可。【详解】根据题意知，函数在上是减函数。选项A，在上是增函数，不符合；选项B，在上不单调，不符合；选项C，在上是减函数，符合；选项D，在上是增函数，不符合；综上，故选C。【点睛】本题主要考查函数单调性的定义应用以及常见函数的单调性的判断。10.设是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若，则的值()A. 恒为负值B. 恒等于零C. 恒为正值D. 无法确定正负【答案】A【解析】【分析】依据奇函数的性质，在上单调递减，可以判断出在上单调递减，进而根据单调性的定义和奇偶性的定义，即可判断的符号。【详解】因为时，单调递减，而且是定义在上的奇函数，所以，在上单调递减，当时，由减函数的定义可得，即有，故选A。【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性应用。11.若在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意，在区间（，1上，a的取值需令真数x22ax+1+a0，且函数u=x22ax+1+a在区间（，1上应单调递减，这样复合函数才能单调递减详解：令u=x22ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x22ax+1+a=（xa）2 a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a1时，u=x22ax+1+a在区间（，1上单调递减，又真数x22ax+1+a0，二次函数u=x22ax+1+a在（，1上单调递减，故只需当x=1时，若x22ax+1+a0，则x（，1时，真数x22ax+1+a0，代入x=1解得a2，所以a的取值范围是1，2）故选：A点睛：已知函数单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12.已知函数，若方程恰有三个实数根，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当时，画出函数图像如下图所示，由图可知，无解，不符合题意，故排除两个选项.当时，画图函数图像如下图所示，由图可知，或，解得不符合题意，故排除选项，选.点睛：本题主要考查分段函数的图像与性质，考查复合函数的研究方法，考查分类讨论的数学思想方法，考查零点问题题.题目所给的分段函数当时，图像是确定的，当时，图像是含有参数的，所以要对参数进行分类讨论.在分类讨论的过程中，围绕的解的个数来进行.二、填空题13.经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程：=0245x+0321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加_万元【答案】0.245【解析】【分析】写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，即可得到家庭年收入每增加 1万元，年饮食支出平均增加的数字【详解】y关于x的线性回归直线方程：0.254x+0.321年收入增加l万元时，年饮食支出y0.254（x+1）+0.321可得：年饮食支出平均增加0.254万元故答案为：0.254【点睛】本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个数值时对应的y的值，属于基础题14.若命题：是真命题，则实数的取值范围是_【答案】.【解析】试题分析：命题：“对，”是真命题.当时，则有；当时，则有且，解得.综上所示，实数的取值范围是.考点：1.全称命题；2.不等式恒成立15.把3名辅导老师与6名学生分成3个小组(每组1名教师，2名学生)开展实验活动，但学生甲必须与教师A在一起，这样的分组方法有_种(用数字作答)【答案】30【解析】【分析】将三名教师命名为A，B，C，按照要求，教师A只需再选一名学生，有5种选法，教师B有种选法，根据分步乘法计数原理，可得分组方法有种。【详解】将三名教师命名为A，B，C，所以可按三步完成分组，第一步让教师A选学生，第二步让教师B选学生，第三步将剩下的学生分配给教师C即可。教师A只需再选一名学生，有5种选法，教师B有种选法，根据分步乘法计数原理，可得分组方法有种。【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理的应用。16.已知函数f(x)|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_.【答案】9.【解析】【分析】先分析得到f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，再分析得到0m2m1，则f(x)在m2，1)上单调递减，在(1，n上单调递增，再根据函数的单调性得到m,n的值，即得解.【详解】因为f(x)|log3x|,所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，由0mn且f(m)f(n)，可得,则,所以0m2m1，则f(x)在m2，1)上单调递减，在(1，n上单调递增，所以f(m2)f(m)f(n)，则f(x)在m2，n上最大值为f(m2)log3m22，解得m，则n3，所以9.故答案为：9【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的单调性的应用和最值的求法，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.三、解答题17.在直角坐标系中，圆C的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线的极坐标方程是，射 线与圆C的交点为，与直线的交点为，求线段的长【答案】(1)；(2)3.【解析】【分析】（1）通过直角坐标与极坐标互化公式，即可求得圆C的极坐标方程；（2）直接联立直线方程和射线方程可以解出点Q，联立圆的方程和射线方程求出点P，即可求得线段的长。【详解】(1)将xcos，ysin代入x2(y2)24，得圆C的极坐标方程为.(2)设P(1，1)，则由,解得12，1.设Q(2，2)，则由,解得25，2.所以|PQ|213.【点睛】本题主要考查普通方程与极坐标方程的互化，曲线交点的求法以及极坐标方程的应用，考查学生的数学运算能力。18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；【答案】（1）3人，2人，2人（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意结合分层抽样的概念计算可得应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3结合古典概型计算相应的概率值可得随机变量的分布列，然后求解数学期望可得.【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=k）=（k=0，1，2，3）所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望【点睛】本题主要考查分层抽样的概念，离散型随机变量分布列的求解与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知二次函数f（x）的最小值为4，且关于x的不等式f（x）0的解集为x|1x3，xR（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）的零点个数【答案】（1）；（2）个零点.【解析】【详解】解：（1）f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）0的解集为x|1x3，xR，f（x）a（x+1）（x3）a（x1）24（a0）f（x）min4a4a1故函数f（x）的解析式为f（x）x22x3（2）g（x）4lnx2（x0），g（x）x，g（x），g（x）的取值变化情况如下：x（0，1）1（1，3）3（3，+）g（x）+00+g（x）单调增加极大值单调减少极小值单调增加当0x3时，g（x）g（1）40；又g（e5）2022512290故函数g（x）只有1个零点，且零点【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，函数零点的概念，导数运算法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力20.在平面直角坐标系中，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为.(1)求曲线的参数方程；(2)过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于和，且点在第一象限，当四边形周长最大时，求直线的普通方程.【答案】（1），(为参数)；（2）【解析】试题分析：（）首先求得的普通方程，由此可求得的参数方程；（）设四边形的周长为，点，然后得到与的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得的普通方程试题解析：（），（为参数）（）设四边形的周长为，设点， ，且，所以，当（）时，取最大值，此时，所以，此时，的普通方程为点睛：将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性21.某学校为了丰富学生课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种其中某班级学生背诵正确的概率，记该班级完成首背诵后的总得分为.(1)求且的概率；(2)记，求的分布列及数学期望【答案】(1)；(2) 分布列见解析，.【解析】【分析】（1）由知，背诵6首，正确4首，错误2首，又，所以第一首一定背诵正确，由此求出对应的概率；（2）根据题意确定的取值，计算相对应的概率值，写出的分布列，求出数学期望。【详解】(1)当S620时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首由Si0(i1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首则所求的概率.(2)由题意知|S5|的所有可能的取值为10,30,50，又，的分布列为.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，意在考查学生的逻辑推理能力与数学计算能力。22.已知函数.(1)当时，求函数的值域；(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)；(2) .【解析】【分析】（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t0,2，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分