河南省商丘市第一高级中学高二数学下学期期中试题-理讲解

1 商丘市一高商丘市一高 20152015 20162016 学年度第二学期期中考试学年度第二学期期中考试 高二数学 理科 试卷高二数学 理科 试卷 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 考试时间 120 分钟 满分 150 分 第第 I I 卷 卷 选择题 共选择题 共 6060 分 分 注意事项 注意事项 答第 I 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考场号 座号 考试科目涂写在答题卡上 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干 净后 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合项中 只有一项是符合 题目要求的 题目要求的 1 若复数 im i i z 1 1 1 i为虚数单位 为纯虚数 则实数m的值为 A0 B1 C1 D2 2 已知 则下列推证中正确的是 a b cR A 22 abambm B ab ab cc C 33 11 0ab ab ab D 22 11 0abab ab 3 已知曲线在处的切线与直线互相垂直 则 sin5f xxx 2 x 410axy 实数的值为 a A B C D 2 124 4 已知向量 且与互相垂直 则的值是 2 1 4 1 0 2 ab ab k ab k A B C D 1 1 5 3 5 15 31 5 已知关于的二项式 n x a x 3 展开式的二项式系数之和为 32 常数项为 80 则的值xa 为 A B 1 C 2 D 2 1 6 若 则 1 2 0 2 f xxf x dx 1 0 f x dx A B C D 1 1 3 1 3 1 7 函数的零点个数是 sinf xxx A 个 B 2 个 C 3 个 D 无数个1 8 已知双曲线的一条渐近线方程为 则该双曲线的离心率 22 22 1 0 0 xy ab ab 20 xy 2 是 A B C D 52 7 2 5 2 9 在正方体中 二面角的大小为 1111 ABCDABC D 11 A BD B A B C D 60 30 120 150 10 直线与抛物线交与两点 过两点向抛物线的准线作垂线 垂足分别为3yx 2 4yx A B A B 则梯形的面积为 P QAPQB A B C D 48566472 11 已知函数 其导函数为 有下列命题 742 23 xxxxf x f 的单调减区间是 的极小值是 xf 2 3 2 xf15 当时 对任意的且 恒有2 a2 xax axafafxf 函数有且只有一个零点 其中真命题的个数为 xf A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 12 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点 则 2 1 0 2 x f xxex 2 ln g xxxa y 的取值范围是 a A B C D 1 e 1 e e 1 e e e 第第 IIII 卷 非选择题 共卷 非选择题 共 9090 分 分 注意事项 注意事项 1 答题前将密封线内的项目及座号填写清楚 2 考生做答时 用黑色签字笔将答案答在答题卷上 答在试题卷上的答案无效 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 13 命题 的否定是 3 210 xRxx 14 5 个人排成一排 其中甲与乙必须相邻 而丙与丁不能相邻 则不同的排法种数有 种 15 已知圆与抛物线的准线交于A B两点 且 则m 的值 22 1 4xy 2 0 ymx m 2 3AB 为 16 已知 展开式的常数项为 15 则 0 a 6 a x x 22 4 a a xxxdx 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 3 设命题 命题 如果是的必要不充分条件 p 43 1x 2 21 1 0q xaa a p q 求实数的取值范围 a 18 本小题满分 12 分 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数 1 2 22 sin 13cos 17sin13 cos17 22 sin 15cos 15sin15 cos15 3 4 22 sin 18cos 12sin18 cos12 22 sin 18 cos 48sin 18 cos48 5 22 sin 25 cos 55sin 25 cos55 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 根据 的计算结果 将该同学的发现推广为三角恒等式 并证明你的结论 19 本小题满分 12 分 如图 在三棱锥D ABC中 DA DB DC D在底面ABC上的射影E E为的中点 AC AB BC DF AB于F 求证 平面ABD 平面DEF 若AD DC AC 4 BAC 60 求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值 20 本小题满分 12 分 已知函数 2 lnf xxax 当时 求函数的单调区间和极值 ea2 xf 若函数在上是减函数 求实数的取值范围 f x 1 4a 21 本小题满分 12 分 已知椭圆 为其右焦点 过垂直于轴的直线与椭圆相交所得 C 22 22 1 0 xy ab ab F 2 0 Fx 的弦长为 2 求椭圆的方程 C 4 直线 与椭圆交于两点 若线段中点在直线 上 lykxm 0km C A BAB20 xy 求的面积的最大值 FAB 22 本小题满分 12 分 设 2 cos1 2 x f xx 求证 当时 0 x 0f x 若不等式对任意的恒成立 求实数的取值范围 sincos2 ax exx 0 x a 5 商丘市一高商丘市一高 20152015 20162016 学年度第二学期期中考试学年度第二学期期中考试 高二数学 理科 试卷参考答案高二数学 理科 试卷参考答案 一 选择题一 选择题 1 1 A A 2 C2 C 3 D3 D 4 4 D D 5 5 C C 6 6 B B 7 7 A A 8 8 D D 9 9 C C 10 10 A A 11 11 C C 12 12 D D 二 填空题二 填空题 13 14 15 16 3 210 xRxx 248 22 3 33 三 解答题 三 解答题 17 解 由题意解得 1 1 2 Axx 1 Bx axa 由是的必要不充分条件 从而是的充分不必要条件 即 p q pqAB 且和等号不能同时取到 则 1 2 a 11a 1 2 1 1 a a 故所求实数的取值范围是 a 1 0 2 18 解 由 2 得 22 sin 15cos 15sin15 cos15 13 1sin30 24 2 三角恒为等式 22 3 sincos 30 sincos 30 4 证明 22 sincos 30 sincos 30 22 sin cos30 cossin30 sin sin cos30 cossin30 sin 22 3131 sin cossin sin cossin 2222 222 533313 sincossincossincossin 442224 19 解 如图 由题意知 DE平面ABC 所以 DEAB 又DFAB 所以 AB平面DEF 又 AB平面ABD 所以平面 ABD平面DEF 如图建系 则 0 2 0 A 2 0 0 D 0 1 3 B 所以 2 2 0 DA 2 1 3 DB 设平面DAB的法向量为 zyxn 由 0 0 DBn DAn 得 023 022 zyx zy 取 1 1 3 3 n 6 设EB与n的夹角为 所以 7 21 3 7 2 2 cos nEB nEB 所以 BE与平面DAB所成的角的正弦值为 7 21 20 本小题满分 12 分 解 函数的定义域为 xf 0 当时 ea2 x exex x e xxf 22 2 的单调递减区间是 单调递增区间是 极小值是 无极大值 xf 0 e e 0fe 由 得 2 lnf xxax 2 a fxx x 又函数为上的单调减函数 则在上恒成立 2 lnf xxax 1 4 0fx 1 4 所以在恒成立 所以的取值范围是 2 2ax 1 4a 32 21 解 由题意知 解得 所求椭圆方程为 2 222 2 1 c b a abc 2 2 a b 22 1 42 xy 设 联立方程组 112200 P A x yB xyxy 22 24xy ykxm 消去得 y 222 124240kxkmxm 12 2 4 12 km xx k 2 12 2 24 12 m x x k 222222 164 21248 420k mkmkm 12 0 2 2 212 xxkm x k 00 2 12 m ykxm k 点的坐标为 由点在直线上 得 P 22 2 1212 kmm kk P20 xy 1k 22 222 121212 44 24 4 6 12 42 333 mmm ABkxxxxx x 7 又点到直线的距离 2 0FAB 2 2 m d 的面积 FAB 2 12 266 0 23 FAB sAB dmmmm 令 2 2 62u mmm 6 0mm 2 23 222 u mmmm 0u m 由 3 2 22 2 mmm 或或 当时 当时 3 2 6 2 m 0u m 3 2 2 2 m 0u m 当时 当时 22 0 mm 0u m 26m 0u m 又 当时 的面积取最大值 8 3 3 23 232 24 uu 2m FAB 22 解 证明 则 2 cos1 2 x f xx 0 xxxxfsin 设 则 sinxxx 1 cosxx 当时 即为增函数 所以 0 x 1 cos0 xx xxxfsin 0 0 fxf 即 在时为增函数 所以 xf0 x0 0 fxf 解法一 由 知时 0 xxx sin1 2 cos 2 x x 所以 2cossin1 2 2 xxx x 设 则 2 1 2 x x G xex 1 x G xex 设 则 1 x g xex 1 x g xe 当时 所以为增函数 0 x 10 x g xe 1 x g xex 所以 所以为增函数 所以 0 0g xg G x 0 0G xG 所以对任意的恒成立 2cossin xxe x 0 x 8 又 时 0 x1 a xax ee 所以时对任意的恒成立 1 a2cossin xxeax0 x 当时 设 则 1 a2cossin xxexh ax xxaexh ax sincos 所以存在实数 使得任意 均有 所以在01 0 ah0 0 x 0 0 xx 0 xh xh 为减函数 所以在时 所以时不符合题意 0 0 x 0 0 xx 0 0 hxh1 a 综上 实数的取值范围为 a 1 解法二 因为等价于 sincos ax exx 2ln sincos axxx 2 设 则 ln sincos g xaxxx 2 sincos sincos xx g xa xx 2 可求 sincos sincos xx xx 11 2 所以当时 恒成立 在是增函数