四川省雅安市2012-2013学年高二数学4月月考试题 理

1 雅安中学雅安中学 2012 20132012 2013 学年高二下期月考试题 学年高二下期月考试题 4 4 月 月 数数 学学 试试 题 理科 题 理科 本试卷分为第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 考试结束后 将答题卷和机读卡一并收回 第第 卷 选择题 共卷 选择题 共 5050 分 分 一 选择题 一 选择题 1010 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 1 x 是 x 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要 2 向量a 2 3 1 b 2 0 4 c 4 6 2 下列结论正确的是 A a b c b B a b a c C a c a b D 以上都不对 3 i为虚数单位 则 2013 1 i1 i A i B 1 C i D 1 4 复数 1zi z为z的共轭复数 则1zzz A 2i B i C i D 2i 5 已知命题p x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 则 p是 A x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 B x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 C x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 D x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 6 函数的导函数图像如图所示 则函数 xf 的极小值点个数有 xf A 个 B 个 01 C 个 D 个23 7 双曲线mx2 y2 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍 则m等于 A B 4 C 4 D 1 4 1 4 8 如图 四棱锥 S ABCD 的底面为正方形 SD 底面 ABCD 则下列结论中不正确的是 A AC SB B AB 平面 SCD C SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 9 若椭圆和双曲线具有相同的焦点 12 F F 离心率分别为 12 e e 2 P 是两曲线的一个公共点 且满足 12 PFPF 则 22 12 11 ee 的值为 A 4B 2C 1D 1 2 10 定义在 R 上的函数满足 f 4 1 f x 为 f x 的导函数 已知函数 f x y f x 的图象如图所示 若正数 a b 满足 f 2a b 1 的点 的轨迹 给出下列三个结论 曲线 C 过坐标原点 曲线 C 关于坐标原点对称 若点 P 在曲线 C 上 则 F1PF2的面积不大于a 2 2 1 其中 所有正确结论的序号是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 设 p 实数x满足 0 其中a 0 q 实数x满足 0 且p 是q 的必 22 4 3xaxa 4 2 x x 要不充分条件 求a的取值范围 17 在平面直角坐标系中 是抛物线的焦点 是抛物线上位xOyF 2 2 0 C xpy p MC 3 D C A B B1 A1 C1 于第一象限内的任意一点 过三点的圆的圆心为 点到抛物线的准线的距离为 M F OQQC 3 4 求抛物线的方程 C 过 F 作斜率为的直线与抛物线交于 A B 两点 求 AB 的长度 2 1 18 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量 y 单位 千克 与销售价格 x 单位 元 千克 满足关系式 y 10 x 6 2 其中 3 x0 不等式 2 1f xaxx 恒成立 求实数a的取值范围 3 若 12 0 xx 求证 12 2 22 1212 2f xf xx xxxx 5 雅安中学 2012 2013 学年高二下期月考试题 4 月 数 学 试 题 理科 参考答案 一 选择题 一 选择题 1010 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 ACCBC BADBA 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 分 11 6 12 13 e 6 6 14 或 15 2 aa 1 a 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 解 将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系 从而列出a所满足的不等式去求解 解法一 设 A x x2 4ax 3a2 0 a 0 x 3a x a a 0 B x 0 x x 4 或 x 2 4 2 x x 4 分 p 是q 的必要不充分条件 qp 且pq 即 x q x p 而 x q CR RB x 4 x 2 x p CR RA x x 3a 或 x a a 0 x 4 x 2 x x 3a 或 x a a 0 8 分 则或即 a 0 或 a 4 12 分 0 23 a a 0 4 a a 3 2 解法二 本题也可依据四种命题间的关系进行等价转化 由p 是q 的必要不充分条件 转化成它的逆否命题 q 是 p 的必要不充分条件 即 p 是 q 的 充分不必要条件 也就是 pq 且 qp 4 分 化简条件 p 得 A x 3a x a a 0 化简条件 q 得 B x x0 的焦点 F 设 M 由题 2 0 p 0 2 0 2 0 0 x p x x baQ 意可知 则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 解得 于 4 p b p ppp b 4 3 242 3 4 1 p 是抛物线 C 的方程为 6 分yx2 2 AB 2 12 分 18 I 因为 x 5 时 y 11 所以 1011 2 2 a a 4 分 6 x z y D C A B B1 A1 C1 D C A B B1 A1 C1 II 由 I 可知 该商品每日的销售量 2 2 10 6 3 yx x 所以商场每日销售该商品所获得的利润 22 2 3 10 6 2 10 3 6 36 3 f xxxxxx x 从而 2 10 6 2 3 6 30 4 6 fxxxxxx 于是 当 x 变化时 fxf x 的变化情况如下表 由上表可得 x 4 是函数 f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以 当 x 4 时 函数 f x 取得最大值 且最大值等于 42 12 分 答 当销售价格为 4 元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 19 解 解 证明 设与相交于点 P 连结 PD 1 ABBA1 则 P 为中点 1 AB D 为 AC 中点 PD CB1 又PD平面 BDA1 平面D 4 分 CB1BA1 解法一 由正三棱柱中 D 是 AC 的中点 111 CBAABC 知 又ACBD ABCCCAA平面平面 11 CCAABD 11 平面 DABD 1 故 为二面角的平面角 DAA1 ABDA 1 又 AAAD 1 3 1 AA1 AD 即二面角的大小为 8 分 60 1 DAAABDA 1 60 解法二 如图建立空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 1 0 0 1 0 B 0 0 0 1 A33 1 B33 1 1 0 B 1 A33D 1 A3 设平面的法向量为 n n x y z BDA1 则 n n0z3y3xBA1 n n0z3xDA1 则有 令 得 n n 0 1 0 3x y z 1 z3 由题意 知 0 0 是平面 ABD 的一个法向量 1 AA3 7 设 n n 与所成角为 则 1 AA 2 1 AAn AAn cos 1 1 3 二面角的大小是 8 分 ABDA 1 3 解法一 由 知 ACBD DABD 1 设点到平面的距离为 则ABDA1d 故 dSVAASV BDABDAAABDABDA 111 3 1 3 1 1 331 2 1 3 1 3 1 1A AS ABD ddS BDA 22 3 13 2 1 3 1 3 1 1 解得 即点到平面的距离为 12 分 2 3 dABDA1 2 3 d 解法二 由 已知 得 1 n n 0 1 DA003 则 2 3 n nDA d 即点到平面的距离为 12 分 ABDA1 2 3 d 20 答案 I 22 1 43 xy 5 分 II 设 1122 A x yB xy 由 22 1 43 ykxm xy 得 222 34 84 3 0kxmkxm 2222 6416 34 3 0m kkm 22 340km 2 1212 22 84 3 3434 mkm xxxx kk 22 22 12121212 2 3 4 34 mk yykxmkxmk x xmk xxm k 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 2 0 D1 ADBD kk 12 12 1 22 yy xx 121212 2 40y yx xxx 222 222 3 4 4 3 16 40 343434 mkmmk kkk 22 71640mmkk 解得 12 2 2 7 k mk m 且满足 22 340km 当 2mk 时 2 l yk x 直线过定点 2 0 与已知矛盾 8 当 2 7 k m 时 2 7 l yk x 直线过定点 2 0 7 综上可知 直线l过定点 定点坐标为 2 0 7 13 分 21 1 ln11g xxx x 则 1 1 11 x gx xx 当 1 0 x 时 0gx 则 g x在 1 0 上单调递增 当 0 x 时 0gx 则 g x在 0 上单调递减 所以 g x在0 x 处取得最大值 且最大值为 0 2 由条件得 ln 1 x a x ax x 在0 x 上恒成立 设 ln x h x x 则 2 1ln x h x x 当 x 0 e 时 0h x 当 xe 时 0h x 所以 1 h x e 要使 f xax 恒成立 必须 1 a e 另一方面 当0 x