高二 数学 选修2-2导数的计算

导数的计算 教学目标 1 能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式 2 能利用导数公式求简单函数的导数 教学重难点 能利用导数公式求简单函数的导数 基本初等函数的导数公式的应用 一 一 用定义计算导数用定义计算导数 问题 1 如何求函数的导数 yf xc 2 求函数的导数 yf xx 3 函数的导数 2 yf xx 4 函数的导数 1 yf x x 5 函数的导数yx 二二 1 基本初等函数的导数公式表基本初等函数的导数公式表 分几类 1 幂函数 2 三角函数 3 指数函数 4 对数函数 补充 1 f x x 2 1 fx x 函数导数 yc 0y n yf xxnQ 1n ynx sinyx cosyx cosyx sinyx x yf xa ln 0 x yaa a x yf xe x ye logaf xx 10 ln 1 aa ax xf且 lnf xx 1 fx x 1 f x x 1 2 fx x 2 公式的应用公式的应用 典型题一 求导数典型题一 求导数 A xyxyxy x yyxy cos 6 log 5 ln 4 1 3 5 2 1 1 2 5 求下列函数的导数例 思考 求的方法有哪些 fx 3 导数的四则运算法则 导数的四则运算法则 问题 如何求 lnxx 导数运算法则导数运算法则 1 f xg xfxg x 2 f xg xfx g xf x g x 3 2 0 f xfx g xf x g x g x g x g x 推论 推论 cf xcfx 提示 积法则 商法则 都是前导后不导 前不导后导 但积法则中间是加 号 商法则中间是减号 常见错误 f xg xfx g x 0 f xfx g x g xg x 典型题二 导数的四则运算法则典型题二 导数的四则运算法则 例题 3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则 求下列函数的导数 1 3 23yxx 2 sinyxx 3 2 251 x yxxe 4 cos x yx lnx A 变式练习 1 1 yx x sin cos x yxxe cosx y x lnx 2 sinyxx sin cos x y x A 变式 2 求下列函数的导数 1 y 2 3 x 3cosx 2 y 1 2x 2x 3 3 y 4 y sinxx 2 ln1x x A 变式 3 已知 f x xcosx sinx 则 f x 解 f x xcosx sinx f x cosx xsinx cosx xsinx 已知函数 f x lnx 则 f x 等于 2 x 函数 y exsinx 的导数等于 A excosxB exsinxC excosxD ex sinx cosx 分析 利用导数乘法法则进行计算 其中 ex ex sin x cosx 解答 解 y exsinx y ex sinx ex sinx exsinx excosx ex sinx cosx 故选 D 4 函数的导数值为 0 时 x 等于 解 令 y 0 即 解得 x a A 变式练习 4 若函数 y f x 的导数 f x 6x2 5 则 f x 可以是 A 3x2 5xB 2x3 5x 6C 2x3 5D 6x2 5x 6 解答 解 f x 6x2 5 f x 2x3 5x c c 为常数 故选 B 函数 f x xsinx cosx 的导数是 解 f x xsinx cosx f x xsinx cosx xsinx cosx x sinx x sinx sinx sinx xcosx sinx xcosx 2 ln1x x 若 f x 2ex xex 其中 e 为自然对数的底数 则 f x 可以是 A xex xB x 1 ex 1C xexD x 1 ex x 分析 利用导数的运算法则即可得出 解答 解 利用导数的运算法则可得 A xex x ex xex 1 B x 1 ex 1 ex x 1 ex x 2 ex C xex ex xex D x 1 ex x ex x 1 ex 1 x 2 ex 1 故选 B 请默写出常见函数的导数 4 复合函数 复合函数 问题 求导是多少 2 21 yx 如果展开后求导 结果是 为什么会不同 复合函数的导数复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数 yf g x yf u ug x 间的关系为 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 xux yyu yxyuux 若若 则 则 yf g x yf g xfg xg x 上例中函数可以看作函数和的复合函数 2 21 yx 2 yu 21ux xux yyu 2 21 2 21 284uxxx 典型题三 复合函数求导典型题三 复合函数求导 例题 4 求下列函数的导数 1 0 051x ye 2 其中均为常数 sin yx 3 y sin4x cos 4x 4 12 2sin x x y A 变式练习 1 求下列函数导数 1 ln2sincos 22 xx yx 2 bxax ey 2 3 函数的导函数是 解 对于函数 对其求导可得 f x A 变式 2 1 函数 f x cos2x 的导数 f x 2 函数 y sin 2x2 x 导数是 3 求 y x x sin 2 的导数 y B 变式 1 求下列函数的导数 1 y cos x x21 y ln x 42 3 325xx y x 2 1x B 变式 2 函数的导数为 A B C D 考点 简单复合函数的导数 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 根据函数商的求导法则再结合 函数和的求导法则 f x g x f x g x 代入计算化简即可 解答 解 故选 D 2 求 y 2 sin x x 导数 典型题四 导数公式的应用典型题四 导数公式的应用 例题 某运动物体自始点起经过 t 秒后的距离 s 满足 求此物体在 234 164 4 1 ttts 什么时刻速度为零 A 变式 1 函数 f x x2 ax 1 其导函数的图象过点 2 4 则 a 的值为 A 变式 2 已知函数 f x ax2 c 且 f 1 2 则 a 的值为 A 1B C 1D 0 考点 导数的运算 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 先求出 f x 再由 f 1 2 求出 a 的值 解答 解 函数 f x a x2 c f x 2ax 又 f 1 2 2a 1 2 a 1 故答案为 A A变式 3函数f x 若其导数过点 2 4 则 a 的值是 a x 典型题五 用导数方法求切线典型题五 用导数方法求切线 例题例题 曲线 y x3 x 3 在点 1 3 处的切线方程为 过 1 1 的切线方程为 A 变式 1若曲线 y x4的一条切线 l 与直线 x 4y 8 0 垂直 则 l 的方程为 A 4x y 3 0B x 4y 5 0C 4x y 3 0D x 4y 3 0 考点 导数的几何意义 两条直线垂直的判定 菁优网版权所有 分析 切线 l 与直线 x 4y 8 0 垂直 可求出切线的斜率 这个斜率的值就是函数在切点处 的导数 利用点斜式求出切线方程 解答 解 设切点 P x0 y0 直线 x 4y 8 0 与直线 l 垂直 且直线 x 4y 8 0 的斜率为 直线 l 的斜率为 4 即 y x4在点 P x0 y0 处的导数为 4 令 y 4x03 4 得到 x0 1 进而得到 y0 1 利用点斜式 得到切线方程为 4x y 3 0 故选 A A 变式 2 函数 f x x4 x 在点 P 处的切线平行于直线 3x y 0 则此切线的方程为 A 变式 3过点 1 0 作抛物线 y x2 x 1 的切线 则其中一条切线为 A 2x y 2 0B 3x y 3 0C x y 1 0D x y 1 0 分析 这类题首先判断某点是否在曲线上 1 若在 直接利用导数的几何意义 求函数 在此点处的斜率 利用点斜式求出直线方程 2 若不在 应首先利用曲线与切线的 关系求出切点坐标 进而求出切线方程 此题属于第二种 解答 解 y 2x 1 设切点坐标为 x0 y0 则切线的斜率为 2x0 1 且 y0 x02 x0 1 于是切线方程为 y x02 x0 1 2x0 1 x x0 因为点 1 0 在切线上 可解得 x0 0 或 2 当 x0 0 时 y0 1 x0 2 时 y0 3 这时可以得到两条直线方程 验正 D 正确 故选 D A 变式 4已知直线与曲线相切 则的值为 1yx yln 2 xa a B 变式 1 在 f x x3 3x2 6x 10 的切线中 斜率最小的切线方程为 A 3x y 11 0B 3x y 6 0C x 3y 11 0D 3x y 11 0 分析 先对函数 f x 进行求导 然后求出导函数的最小值 其最小值即为斜率最小的切 线方程的斜率 进而可求得切点的坐标 最后根据点斜式可得到切线方程 解答 解 f x x3 3x2 6x 10 f x 3x2 6x 6 3 x 1 2 3 当 x 1 时 f x 取到最小值 3 f x x3 3x2 6x 10 的切线中 斜率最小的切线方程的斜率为 3 f 1 1 3 6 10 14 切点坐标为 1 14 切线方程为 y 14 3 x 1 即 3x y 11 0 故选 D 点评 本题主要考查导数的几何意义和导数的运算 导数的几何意义是函数在某点的导数 值等于过该点的切线的斜率的值 B 变式 2 设函数 f x g x x lnx 曲线 y g x 在点 1 g 1 处的切线方程为 y 2x 1 则曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为 典型题六 切线与最短距离典型题六 切线与最短距离 例题 曲线 y ln 2x 1 上的点到直线 2x y 3 0 的最短距离是