椭圆的几何性质教学设计

椭圆的简单几何性质 教学设计 数学教研组 冶有得 一 教学背景分析 一 教材分析 椭圆的简单几何性质 是人教 A 版高中实验教材选修 2 1 第二章第二节的内容 本节课是在学习了椭 圆的定义及其标准方程的基础上 第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质 为后面研究 双曲线 抛物线的几何性质奠定了基础 是高中数学的重要内容 也是高考的重点与热点内容 该内容 分两个课时教学 本节课是第一课时 主要内容是 探究椭圆的简单几何性质及应用 作用 提高学生 的数学素质 培养学生的数形结合思想 及分析问题和解决问题的能力 因此 内容在解析几何中占有非 常重要的地位 二 学生现实分析 本班是一个双语平行班 学生智力水平参差不齐 基础和发展不平衡 呈现两头尖中间大的趋势 学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程 有亲历体验发现和探究的兴趣 有动手操作 归纳猜想 逻 辑推理的能力 有分组讨论 合作交流的良好习惯 从而愿意在教师的指导下主动与同学探究 发现 归纳数学知识 学情是教学的基础与依据 只有依学生实际确定的教学手段与学习方法才是有效的 学 情确定准确 能使教与学有机结合 从而实现教学目标 体现课改理念 否则适得其反 二 教学目标分析 知识与技能 过程与方法 情感态度和价值观方面 依据教学大纲 结合教材地位和学生的现实分析 本节内容安排四个课时 为了保证学生的探究时 间和教学效果 第一课时只研究椭圆的范围 对称性 顶点和椭圆的离心率 例 1 因此 本节课的教学 目标分为以下三个方面 知识与技能 1 探究椭圆的简单几何性质 初步学习利用方程研究曲线性质的方法 2 掌握椭圆的简单几何性质 理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形 结合解决实际问题 过程与方法 1 通过椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质 使学生经历知识产生与形成的过程 培养学 生观察 分析 逻辑推理 理性思维的能力 2 通过掌握椭圆的简单几何性质及应用过程 培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形 结合思想解决问题的能力 情感 态度与价值观 通过数与形的辩证统一 对学生进行辩证唯物主义教育 通过对椭圆对称美的感 受 激发学生对美好事物的追求 三 教学重点 难点 重点 从知识上来讲 要掌握椭圆的范围 对称性 顶点的概念及其应用 从学生的体验来说 需 要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维层次的展现和思维能力的提高 难点 椭圆几何性质的形成过程 一是如何利用椭圆标准方程的结构特征得出椭圆的范围 二是如 何利用方程研究学生直观感悟得到的对称性 四 教学策略与方法 为了突出教学重点 突破难点 体现新课标 以人为本 主动发展 的教学理念 突出学习的 再 创造 构建学生主动的学习活动过程 在教学策略上我采用 创设问题情境 学生自主探究 辨析与研讨 反思与评价组成的 四环节 探究式教学策略 同时 根据教学实际情况将有意义的接受式学习与四层次探究式教学相结合 体现教学方法的灵活 性和针对性 利用多媒体辅助教学 借助实物投影展示学生的解题思路及解题过程 体现数形结合思想的应用 五 教学过程 1 创设情境引导目标与内容 一 复习回顾 1 平面内与两个定点的距离之和等于常数 大于 的点的轨迹叫做 这两个 21 F F 21F F 定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 2 2 2121 FFaaPFPF 2 写出椭圆的标准方程 当焦点在 X 轴上时 焦点坐标为 当焦点在当焦点在 Y Y 轴上时 轴上时 焦点坐标为 3 3 椭圆中椭圆中 a b ca b c 的关系是的关系是 4 4 写出椭圆的焦点坐标写出椭圆的焦点坐标 1 1 2 22 1 10064 xy 1 259 22 yx 这节课就以 a b 0 为例来研究椭圆的几何性质 二 新课讲解 1 对称性 教师 大屏幕展示所示的图形 请同学们观察这个椭圆的图形 若将它分别沿 x 轴和 y 轴对折 会有什么样的结果 学生 关于 x 轴 y 轴 教师 将它的图形绕原点旋转 0 180 又有什么样的结果 学生 关于原点对称 师生总结 坐标轴是其对称轴 坐标原点是其对称中心 对称中心也叫椭圆的中心 教师 在椭圆中以代 方程并不改变 这说明点 P x y 在椭圆上时 关于y y x 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b y a x 轴的对称点 P1 x y 也在椭圆上 所以关于 y 轴对称 思考 同理以代 以代和代说明椭圆的对称性 x xy yx x 2 顶点 教师 在椭圆的标准方程中 若令 x 0 那么 y 学生 B y b 教师 对 一般的椭圆 与 y 轴有两个交点 即 B1 0 b B2 0 b 教师 若令 y 0 那么 x 学生 B x a 教师 对 一般的椭圆 与 x 轴有两个交点 即 A1 a 0 A2 a 0 教师 所以 椭圆与坐标轴的交点有四个 这四个交点叫做椭圆的顶点 线段 分别叫做椭圆 21 A A 21 B B 的长轴和短轴 它们的长分别为 和 和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 ab 例如 椭圆的顶点分别是 长轴长和短轴长分别是 22 1 10064 xy 例 1 求经过点 P 3 0 Q 0 2 的椭圆的标准方程 3 范围 教师 根据课件中的图 如果过 a 0 a 0 分别作 y 轴的平行线 过 0 b 0 b 分别做 x 轴的平行线 则这四条直线将构成 欲言又止 学生 一个矩形 教师 椭圆在矩形 欲言又止 学生 内部 教师 说明椭圆是有范围的 根据前面求得的点 A1 点 A2 点 B1 点 B2 的坐标 你能说出 x y 的范围吗 学生 C a x a b y b 教师 完全正确 下面我们通过方程研究 x y 的取值范围 代数法 椭圆的方程可知 即从而 同理有即1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 1 a x b y 1 2 2 a x axa 1 2 2 a y F1F2 0 y x bxb 例如 椭圆的横坐标范围为 纵坐标范围为 22 1 10064 xy 4 离心率 教师 通有了前面这几个性质 我们就可以很快地作出焦点在 x 轴上的椭圆的草图了 先找到椭圆 的四个顶点 光滑曲线连接 并注意对称性 请同学们根据这种作图方法 在同一坐标系下画出方程 和 所示的椭圆 并思考这两个椭圆的形状有何不同 1 925 22 yx 1 1625 22 yx 学生 画图 并说出他们的不同之处 教师 观察这两个椭圆形状 发现他们的扁平程度不一样 我们用一个量来刻画椭圆圆扁程度 离 心率 椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率 c e a 教师 下面我们就一起看一下在 a 不变的情况下 随 b 的变化 c 是如何变化的 动画演示 师生总结 且越接近 对应的椭圆越扁 反之 越接近于 这时椭圆0ac 01e e1e0 越接近于圆 当且仅当时 两焦点重合 图形变为圆 方程为 ab 0c 222 xya 三 例题分析 例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 焦点在 x 轴上 长轴长 a 6 离心率 e 2 焦点在 x 轴上 b 8 离心率 e 2 3 5 3 四 巩固与创新应用 1 求椭圆的长轴长 焦距 焦点坐标 顶点坐标和离心率 3694 22 yx 教师说明 如果需要比较准确地画出椭圆 可以按教材例 1 那样 用描点法 画出椭圆在第一象限的部分 再根据对称性画出整个椭圆 要求学生课下阅读教材中的描点法作图 练习 如果把例 1 中的椭圆方程改为 1 则长轴长 短轴长 离心率和顶点有什么变化 16 2 x 25 2 y 此处是一个创新点 培养学生用类比的思想解决问题的能力 也通过与上题做比较 使学生体会到 椭圆的性质是其本身固有的 是客观存在的 与坐标系的选取无关 学生的回答可能会因为长轴位置发生变化而导致顶点坐标出错 教师要予以纠正 此题用实物投 影展示或由学生到黑板板书 五 总结提炼 1 通过这节课学习 你学到了什么 教师引导学生从知识和方法两方面进行归纳总结 培养学生反思 自己学习过程的意识 2 椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量 其取值范围是 0 e 1 离心率越大 椭圆越扁 离心率 越小 椭圆越接近于圆 3 思考 椭圆的几何性质 1 2 2 2 2 b x a y 五 作业 1 课本 49 页 A 组 2 3 4 2 课后思考 椭圆的顶点分别是 长轴长和短1 259 22 yx 轴 长分别是