小学数学奥数基础教程(五年级)--28

小学数学奥数基础教程小学数学奥数基础教程 五年级五年级 本教程共 30 讲 逻辑问题 二 逻辑问题 二 例例 1 1 老师拿来五顶帽子 两顶红的三顶白的 他让三个聪明的同学 甲 乙 丙按甲 乙 丙的顺序排成一路纵队 并闭上眼睛 然后分别 给他们各戴上一顶帽子 同时把余下的帽子藏起来 当他们睁开眼后 乙和丙都判断不出自己所戴帽子的颜色 而站在最前面的甲却根据此情 况判断出了自己所戴帽子的颜色 甲戴的帽子是什么颜色 他是怎样判断的 分析与解分析与解 这是一个典型的逻辑推理问题 甲站在最前面 虽然看 不见任何一顶帽子 但他可以想到 如果我和乙戴的都是红帽子 因为 一共只有两顶红帽子 那么丙就会判断出自己戴的是白帽子 丙判断不 出自己戴的帽子的颜色 说明我和乙戴的帽子是两白或一白一红 甲接着想 乙也很聪明 当他看到丙判断不出自己戴的帽子的颜色 时 他也能判断出我们两人戴的帽子是两白或一白一红 此时 如果他 看到我戴是红帽子 那么他就会知道自己戴的是白帽子 只有我戴的是 白帽子时 他才可能猜不出自己戴的帽子的颜色 所以 我戴的一定是 白帽子 例 1 中 甲的分析非常精采 严密而无懈可击 例例 2 2 三个盒子各装两个球 分别是两个黑球 两个白球 一个黑球 一个白球 封装后 发现三个盒子的标签全部贴错 如果只允许打开一 个盒子 拿出其中一个球看 那么能把标签全部纠正过来吗 分析与解分析与解 因为 三个盒子的标签全部贴错 了 贴错的情况见下 图 表示白球 表示黑球 如果从标签是两黑的盒子中拿一个球 那么最不利的情况是拿出一 个白球 此时无法判定是实际情况 1 还是实际情况 2 也就无法把标签 全部纠正过来 同理 从标签是两白的盒子中拿一个球 若拿的是黑球 则也无法 把标签全部纠正过来 从标签是一黑一白的盒子中拿出一个球 若拿出的是黑球 则能确 定出是实际情况 1 若拿出的是白球 则能确定出是实际情况 2 因此能 把标签全部纠正过来 所以 只要从标签是一黑一白的盒子中拿一个球 就能纠正全部标 签 例例 3 3 A B C 三名同学参加了一次标准化考试 试题共 10 道 都是 正误题 每道题 10 分 满分为 100 分 正确画 错误画 他们的答卷如下表 考试成绩公布后 三人都得 70 分 请你给出各题的正确答案 分析与解分析与解 我们先分析一下三人的得分情况 因为三人都得 70 分 所以每人都错了 3 道题 比较 A B 的答卷发现 他们有 6 道题的答案不 一样 说明这 6 道题 A B 两人各错 3 道 也就是说 A B 答案相同的 题都对了 因此找到了第 1 3 4 10 题的正确答案 同理 A C 的答 卷也有 6 道题的答案不一样 因此找到了第 3 6 8 9 题的正确答案 同理 B C 的答卷也有 6 道题的答案不一样 因此找到了第 2 3 5 7 题的正确答案 各题的正确答案如下表 例例 4 4 A B C D E 五位选手进行乒乓球循环赛 每两人都只赛一 盘 规定胜者得 2 分 负者不得分 现在知道的比赛结果是 A 与 B 并 列第一名 有两个并列第一名 就不再设第二名 下一个名次规定为第 三名 D 比 C 的名次高 每个人都至少胜了一盘 试求每人的得分 分析与解分析与解 因为乒乓球比赛没有平局 所以求胜的盘数与得分是一 回事 胜的盘数乘以 2 就是得分 五人进行循环赛 共需赛 10 盘 总得 分是 2 10 20 分 因为每人都赛 4 盘 所以第一名最多胜 4 盘 但因为 A B 并列第一 A B 不可能都胜 4 盘 所以 A B 最多各胜 3 盘 如果 A B 没有各胜 3 盘 而是各胜 2 盘 那么剩下的 10 2 2 6 盘 的胜利者只会是 C D E 根据抽屉原理 C D E 三人中至少有 1 人胜了至少 2 盘 与 第一名胜 2 盘矛盾 所以 A B 各胜 3 盘 各得 6 分 还有 4 盘 已知 D 比 C 名次高 每个人都至少胜一盘 只能是 D 胜 2 盘得 4 分 C E 各胜一盘 各得 2 分 注意 题目中 每个人都至少胜一盘 是制约结果的重要条件 如 果没有这个条件 那么该题的结果就有两种可能 一是 A B 各胜 3 盘 各得 6 分 D 胜 2 盘得 4 分 C E 各胜 1 盘 各得 2 分 二是 A B 各胜 3 盘 各得 6 分 D E 各胜 2 盘各得 4 分 C 胜 0 盘 得 0 分 练习练习 2828 1 有个老汉想考考他的四个聪明的儿子 他拿出六顶帽子 三顶红 的 两顶蓝的和一顶黄的 然后 让四个儿子按大的在前小的在后的顺 序排成一路纵队 并让他们闭上眼睛 接着 给他们每人戴上一顶帽子 藏起其余两顶 当他们睁开眼睛后 每个人都只能看见前边人的帽子 这时 老汉依次问小儿子 三儿子和二儿子 你戴的帽子是什么颜色 他们都回答 不知道 最后 老汉又问大儿子 大儿子想了一会儿 正确地说出了自己戴的帽子的颜色 问 大儿子戴的帽子是什么颜色 他是如何判断的 2 五年级有四个班 每个班有两名班长 每次召开年级班长会议时 各班参加一名班长 参加第一次会议的是 A B C D 参加第二次会议 的是 E B F D 参加第三次会议的是 A E B G 已知 H 三次会都没 参加 请问每个班各是哪两位班长 3 甲 乙 丙 丁四个学生坐在同一排的相邻座位上 座号是 1 号 至 4 号 一个专说谎话的人说 乙坐在丙的旁边 甲坐在乙和丙的中 间 乙的座位不是 3 号 问 坐在 2 号座位上的是谁 4 李大娘问三位青年人的年龄 小张说 我 22 岁 比小吴小 2 岁 比小徐大 1 岁 小吴说 我不是年龄最小的 小徐和我差 3 岁 小徐 25 岁 小徐说 我比小张年龄小 小张 23 岁 小吴比小张大 3 岁 这三位青年人爱开玩笑 每人讲的三句话中 都有一句是错的 李 大娘难辩真真假假 请你帮助李大娘弄清这三人的年龄 5 A B C 三支足球队举行循环比赛 每队之间赛一场 下面是 记有详细比赛情况的表 但后来发现表中有四个数是错误的 请按规定 重制一张正确的表格 胜一场记 2 分 负一场记 0 分 平一场双方各 记 1 分 6 某次数学测验 共有六道试题 均是是非题 正确的画 错误的画 每题答对得 2 分 不答得 1 分 答错得 0 分 甲 乙 丙 丁的答案及前三人的得分如下表 求丁得了多少分 练习练习 2828 1 红色 提示 与例 1 类似 小儿子前面三个哥哥至少有 1 人戴红帽 子 否则 若是蓝 蓝 黄 则小儿子就能判断出自己戴的是红 帽子 同理 三儿子前面两个哥哥至少有 1 人戴红帽子 否则 三儿子就能判断出自己戴红帽子 同理 若大儿子戴的不是红帽 子 则二儿子就能判断出自己戴的是红帽子 2 四个班的正 副班长分别是 B 和 H A 和 F C 和 E D 和 G 提示 两人同班的必要条件是不能同时参加同一次会议 由 于 B 三次会都参加了 而 H 没参加 所以 B 和 H 同班 3 丁 提示 由题意知 乙坐 3 号 乙和丙不相邻 故丙在 1 号 又甲不在乙 丙之间 故丁在乙 丙之间 即丁在 2 号 4 小吴 25 岁 小张 23 岁 小徐 22 岁 提示 假设张 22 岁是真的 那么徐说 小张 23 岁 是假的 徐说的其他两句话都是真的 所以吴 25 岁 小徐小于 22 岁 由 此推知小吴说的三句话中 小徐和我差 3 岁 及 小徐 25 岁 这两句话都是假的 与每人有一句假话矛盾 所以小张不是 22 岁 因为小张的 我 22 岁 是假的 其余两句话是真的 所以小 吴比小徐大 3 岁 小张比小徐大 1 岁 如果小徐说的 小张 23 岁 是假的 那么 小吴比小张大 3 岁 是真的 推知小徐与小张同 岁 则小徐所说 我比小张年岁小 是假的 小徐有两句话是假 的 与题意不符 所以 小张 23 岁 是真的 由此推知 小吴 25 岁 小徐 22 岁 5 提示 1 三队循环赛 每队都打 2 场 所以 C 队只赛 1 场是错误的 2 A 队才打 2 场 不可能胜 2 平 1 并且胜的总场数与负 的总场数应相等 现表中胜 3 负 2 不合理 从 A 队得 3 分看 A 队可能是胜 1 平 1 打平双方都记 1 分 所以平球的总分不可能 是奇数 从 C 队的得分看 C 队平球是 1 场不是 2 场 这样 胜 负 平的场数才合理 与各队得分也相吻合 3 A 队既然胜 1 平 1 不可能进 0 个球 打球双方有几个 进球就有几个失球 失球总数是 9 所以 A 队进球数的 0 应改为 6 表格正确填法如下 6 8 分