2020版高中数学人教A版必修4 导学案《向量减法运算及其几何意义》（含答案解析）.doc

2.2.2向量减法运算及其几何意义学习目标1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.知识点一相反向量思考实数a的相反数为a，向量a与a的关系应叫做什么？答案为： 相反向量.梳理(1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反， 那么称这两个向量是相反向量.(2)性质：对于相反向量有：a(a)=0.若a，b互为相反向量，则a=b，ab=0.零向量的相反向量仍是零向量.知识点二向量的减法思考根据向量减法的定义，已知a，b如图，如何作出向量a，b的差向量ab?答案为：(1)利用平行四边形法则.如图，在平面内任取一点O，作=a，=b，=b，以，为邻边作平行四边形OAEC，则=ab.(2)利用三角形法则.如图，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=ab.知识点三|a|b|，|ab|，|a|b|三者的关系思考在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|b|，|ab|，|a|b|三者关系是怎样的？答案为：它们之间的关系为|a|b|ab|a|b|.梳理当向量a，b不共线时，作=a，=b，则ab=，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有|a|b|ab|b|，作法同上，如图(3)，此时|ab|=|a|b|.故对于任意向量a，b，总有|a|b|ab|a|b|.因为|ab|=|a(b)|，所以|a|b|ab|a|b|，即|a|b|ab|a|b|.将两式结合起来即为|a|b|ab|a|b|.类型一向量减法的几何作图例1.如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc. 引申探究若本例条件不变，则abc如何作？反思与感悟求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.跟踪训练1.如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量ab，cd. 类型二向量减法法则的应用例2.化简下列式子：(1)； (2)()().反思与感悟向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.跟踪训练2化简：(1)()()；(2)()().类型三向量减法几何意义的应用例3.已知|=6，|=9，求|的取值范围.反思与感悟(1)如图所示，平行四边形ABCD中，若=a，=b，则=ab，=ab. (2)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b方向相反且|a|b|时，|a|b|=|ab|；当a与b方向相同时，|ab|=|a|b|.(3)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b方向相同，且|a|b|时，|a|b|=|ab|；当a与b方向相反时，|ab|=|a|b|.跟踪训练3在四边形ABCD中，设=a，=b，且=ab，|ab|=|ab|，则四边形ABCD的形状是()A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形1.如图所示，在ABCD中，=a，=b，则用a，b表示向量和分别是() A.ab和ab B.ab和ba C.ab和ba D.ba和ba2.化简的结果等于()A. B. C. D.3.若菱形ABCD的边长为2，则|=_.4.若向量a与b满足|a|=5，|b|=12，则|ab|的最小值为_，|ab|的最大值为_.5.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且=a，=b，=c，试用a，b，c表示向量，及.1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，=就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如ab=a(b).2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.3.以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量=a，=b，则两条对角线表示的向量为=ab，=ba，=ab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.课时作业一、选择题1.化简所得的结果是()A. B. C.0 D.2.已知一点O到ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于()A.abc B.abc C.abc D.abc3.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A.=0 B.= C.= D.=04.如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则() A.=0 B.=0C.=0 D.=05.在边长为1的正三角形ABC中，|的值为()A.1 B.2 C. D.6.若|=5，|=8，则|的取值范围是()A.3，8 B.(3，8) C.3，13 D.(3，13)7.如图，在四边形ABCD中，设=a，=b，=c，则等于() A.abc B.b(ac) C.abc D.bac二、填空题8.已知=a，=b，若|=12，|=5，且AOB=90，则|ab|=_.9.如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AC与BD交于点O，则=_.10.若a0，b0，且|a|=|b|=|ab|，则a与ab所在直线的夹角是_.三、解答题11.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|=4，|=|，求|.12.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，试求：(1)|abc|；(2)|abc|.13.已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|ab|=2，求|ab|的值.四、探究与拓展14.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中=b，=c，则=_.15.如图，已知=a，=b，=c，=d，=e，=f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：(1)；(2)；(3).答案解析例1.解：方法一如图，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=ab，再作=c，则=abc.方法二如图，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=ab，再作=c，连接OC，则=abc.引申探究若本例条件不变，则abc如何作？解：如图，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=ab.再作=c，则=abc. 跟踪训练1.解：如图所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，=d.则ab=，cd=.例2.解：(1)原式=0.(2)原式=()()=0.跟踪训练2解：(1)()()=.(2)()()=()=0.例3.解：|，且|=9，|=6，3|15.当与同向时，|=3；当与反向时，|=15.|的取值范围为3，15.反思与感悟(1)如图所示，平行四边形ABCD中，若=a，=b，则=ab，=ab. (2)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b方向相反且|a|b|时，|a|b|=|ab|；当a与b方向相同时，|ab|=|a|b|.(3)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b方向相同，且|a|b|时，|a|b|=|ab|；当a与b方向相反时，|ab|=|a|b|.跟踪训练3答案为：B；解析：=ab，四边形ABCD为平行四边形，又=ab，|ab|=|ab|，|=|.四边形ABCD为矩形.1.答案为：B；解析：由向量的加法、减法法则，得=ab，=ba.故选B.2.答案为：B；3.答案为：2；解析：=2.4.答案为：7，17；解析：由|a|b|ab|a|b|，|a|b|ab|a|b|可得.5.解：四边形ACDE是平行四边形，=c，=ba，=ca，=cb，=bac.1.答案为：C；解析：=0.2.答案为：B；解析：如图所示，=abc.故选B. 3.答案为：C；解析：=，=0，A正确；=，B正确；=，C错误；=，=，=0，D正确.4.答案为：A解析：=()=0.5.答案为：D；解析：如图，作菱形ABCD，则|=|=|=.6.答案为：C；解析：|=|且|A|，3|13，3|13.7.答案为：A；8.答案为：13；解析：|=12，|=5，AOB=90，|2|2=|2，|=13.=a，=b，ab=，|ab|=|=13.9.答案为：；10.答案为：30；解析：设=a，=b，则ab=，|a|=|b|=|ab|，|=|=|，OAB是等边三角形，BOA=60.又=ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA.a与ab所在直线的夹角为30.11.解：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法的几何意义可知，=，=，|=|，|=|，又|=4，M是线段BC的中点，|=|=|=2.12.解：(1)由已知得ab=，=c，延长AC到E，使|=|.则abc=，且|=2.|abc|=2.(2)作=，连接CF，则=，而=a=ab，abc=且|=2.|abc|=2.13.解：在平面内任取一点A，作=a，=b，则=ab，=ab.由题意知，|=|=2，|=1.如图所示，过点B作BE