概率论与数理统计考试题及答案

一 填空题 每小题 3 分 共 30 分 1 事件中至少有一个不发生 这一事件可以表示为 A B C 2 设 则 0 7 0 3P AP AB P AB 3 袋中有 6 个白球 5 个红球 从中任取 3 个 恰好抽到 2 个红球的概率 4 设随机变量的分布律为则 X 1 2 8 8 a P Xkk a 5 设随机变量在内服从均匀分布 则 X 2 8 24 PX 6 设随机变量的分布律为X 2101 1811 515515 k X p 则的分布律是 2 YX 7 设随机变量服从参数为的泊松分布 且已知 则 X XXE1 2 1 8 设是来自正态总体的样本 是样本均植 则服从的 129 XXX 2 9 N XX 分布是 9 设总体 是来自总体的样本 则参数的矩估计 10 Xbp 12 n XXX Xp 量为 10 设是来自总体的样本 是的无 123 XXXX 123 11 23 XXX E X 偏估计 则 二 本题 12 分 甲乙两家企业生产同一种产品 甲企业生产的 60 件产品中有 12 件是次品 乙企业生产的 50 件产品中有 10 件次品 两家企业生产的产品混合 在一起存放 现从中任取 1 件进行检验 求 1 求取出的产品为次品的概率 2 若取出的一件产品为次品 问这件产品是乙企业生产的概率 三 本题 12 分 设随机变量的概率密度为X 1 确定常数 2 求的分布函数 03 2 34 2 0 kxx x f xx 其它 kX F x 3 求 7 1 2 PX 四 本题 12 分 设二维随机向量的联合分布律为 X Y 012 10 10 20 1 20 10 2 YX a 试求 1 a 的值 2 与的边缘分布律 3 与是否独立 为什么 XYXY 五 本题 12 分 设随机变量的概率密度为X 求 01 2 12 0 xx f xxx 其他 E XD X 六 本题 12 分 设离散型随机变量的分布律为X 0 1 2 xe P Xxx x 0 其中为未知参数 为一组样本观察值 求的极大似然估计值 n xxx 21 七 本题 10 分 某种零件的尺寸方差为 对一批这类零件检查 6 件得尺 2 1 21 寸数据 毫米 32 56 29 66 31 64 30 00 21 87 31 03 设零件尺寸服从正态分布 问这批零件的平均尺寸能否认为是 32 50 毫米 0 05 附 0 0250 0250 0250 050 025 52 5706 62 4469 72 3646 1 65 1 96 62 45tttzz 一 填空题 每小题 3 分 共 30 分 1 或 2 0 63 或或ABCABC 21 56 3 11 C C C 4 11 0 3636 4 1 5 6 1 3 2 014 131 555 k X p 7 1 8 9 2 1 N 10 X 10 1 6 二 本题 12 分 甲乙两家企业生产同一种产品 甲企业生产的 60 件产品中有 12 件是次品 乙企业生产的 50 件产品中有 10 件次品 两家企业生产的产品混合 在一起存放 现从中任取 1 件进行检验 求 1 求取出的产品为次品的概率 2 若取出的一件产品为次品 问这件产品是乙企业生产的概率 解 设分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产 表示取出的零件为 12 AAB 次品 则由已知有 2 分 1212 606505121101 1101111011605505 P AP AP B AP B A 1 由全概率公式得 7 分 1122 61511 1151155 P BP A P B AP A P B A 2 由贝叶斯公式得 12 分 2 2 2 51 5 115 1 11 5 P A P B A P A B P B 三 本题 12 分 设随机变量的概率密度为X 03 2 34 2 0 kxx x f xx 其它 1 确定常数 2 求的分布函数 3 求 kX F x 7 1 2 PX 解 1 由概率密度的性质知 34 03 91 21 224 x f x dxkxdxdxk 故 3 分 1 6 k 2 当时 0 x 0 x F xf t dt 当时 03x 2 0 11 612 xx F xf t dttdtx 当时 34x 3 2 03 11 223 624 xx t F xf t dttdtdtxx 当时 4x 34 03 1 21 62 x t F xf t dttdtdt 故的分布函数为X 9 分 2 2 0 0 1 03 12 1 23 34 4 1 4 x xx F x xxx x 3 12 分 7715141 1 1 22161248 PXFF 四 本题 12 分 设二维随机向量的联合分布律为 X Y 012 10 10 20 1 20 10 2 YX a 试求 1 a 的值 2 和的边缘分布律 3 与是否独立 为什么 XYXY 解 1 由分布律的性质知 01 0 20 10 1 0 21a 故 4 分0 3a 2 分别关于和的边缘分布律为 X YXY 6 分 012 0 40 30 3 X p 8 分 12 0 40 6 Y p 3 由于 故 0 10 1P XY 010 4 0 40 16P XP Y 0 101P XYP XP Y 所以与不相互独立 12 分XY 五 本题 12 分 设随机变量的概率密度为X 01 2 12 0 xx f xxx 其他 求 E XD X 解 6 分 2 1 3 12 232 01 0 1 1 dd 2 d1 33 x E Xxf xxxxxxxxx 9 分 12 2232 01 7 dd 2 d 6 E Xx f xxxxxxx 12 分 22 1 6 D XE XE X 六 本题 12 分 设离散型随机变量的分布律为X 0 1 2 xe P Xxx x 0 其中为未知参数 为一组样本观察值 求的极大似然估计值 n xxx 21 解 似然函数 4 分 1 11 1 n i i i x nnx n ii ii e Le xx 对数似然函数 6 分 11 1 lnlnln nn i ii i Lnx x 8 分 1 lnL n i i x d n d 解似然方程得 10 分 lnL 0 d d 1 1 n i i xx n 所以的极大似然估计值为 12 分 x 七 本题 10 分 某种零件的尺寸方差为 对一批这类零件检查 6 件得尺 2 1 21 寸数据 毫米 32 56 29 66 31 64 30 00 21 87 31 03 设零件尺寸服从正态分布 问这批零件的平均尺寸能否认为是 32 50 毫米 0 05 附 0 0250 0250 0250 050 025 52 5706 62 4469 72 3646 1 65 1 96tttzz 解 总体 总体方差已知 检验总体期望值是否等于 32 50 2 XN 1 提出待检假设 1 分 0010 32 50 32 50 HH 2 选取统计量 在成立的条件下 2 分 0 X Z n 0 H 0 1 Z N 3 对于给定的检验水平 查表确定临界值0 05 20 025 1 96zz 于是拒绝域为 5 分 1 96 1 96 W