【走向高考】2012届高三数学一轮复习 4-8同步练习 北师大版

用心 爱心 专心 1 第第 4 4 章章 第第 8 8 节节 一 选择题 1 一船向正北航行 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏西 60 另一灯塔在船的南偏西 75 则这只 船的速度是每小时 A 5 海里 B 5海里 3 C 10 海里 D 10海里 3 答案 C 解析 依题意有 BAC 60 BAD 75 所以 CAD CDA 15 从而 CD CA 10 在直角三角形ABC中 可得AB 5 于是这只船的速度是 10 海里 小时 5 0 5 2 如图所示 设A B两点在河的两岸 一测量者在A所在的河岸边选定一点C 测出 AC的距离为 50m ACB 45 CAB 105 后 就可以计算A B两点的距离为 A 50m B 50m 23 C 25m D m 2 25 2 2 答案 A 解析 由题意知 ABC 30 由正弦定理 AC sin ABC AB sin ACB AB 50 m AC sin ACB sin ABC 50 2 2 1 22 3 一船自西向东匀速航行 上午 10 时到达一座灯塔P的南偏西 75 距塔 68 海里的M 处 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的N处 则这只船的航行速度为 A 海里 小时 B 34海里 小时 17 6 26 用心 爱心 专心 2 C 海里 小时 D 34海里 小时 17 2 22 答案 A 解析 如图所示 在 PMN中 PM sin45 MN sin120 MN 34 v 海里 小时 68 3 26 MN 4 17 2 6 4 为测量某塔AB的高度 在一幢与塔AB相距 20m 的楼顶D处测得塔顶A的仰角为 30 测得塔基B的俯角为 45 那么塔AB的高度是 A 20m B 20m 1 3 3 1 3 2 C 20 1 m D 30m 3 答案 A 解析 如图所示 四边形CBMD为正方形 而CB 20m 所以 BM 20m 又在 Rt AMD中 DM 20m ADM 30 AM DMtan30 m 20 3 3 AB AM MB 20 20m 20 3 3 1 3 3 5 如图所示 D C B三点在地面同一直线上 DC a 从C D两点测得A点的仰角分 别是 0 x 1 6 7 如图 在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为 15 向山顶前进 100 米到达B后 又测得C对于山坡的斜度为 45 若CD 50 米 山坡 对于地平面的坡角为 则 cos A B 2 3 23 C 1 D 3 2 2 答案 C 解析 在 ABC中 BC ABsin BAC sin ACB 50 100sin15 sin 45 15 62 在 BCD中 sin BDC 1 由图知 BCsin CBD CD 50 6 2 sin45 503 cos sin ADE sin BDC 1 3 8 空中有一气球 在它的正西方A点测得它的仰角为 45 同时在它南偏东 60 的B 点 测得它的仰角为 30 若A B两点间的距离为 266 米 这两个观测点均离地 1 米 那 么测量时气球到地面的距离是 A 米 B 米 266 7 7 266 7 7 1 用心 爱心 专心 4 C 266 米 D 266米 7 答案 B 解析 如图 D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影 设CD x米 依题 意知 CAD 45 CBD 30 则AD x米 BD x米 在 ABD中 由余弦定理得 3 AB2 AD2 BD2 2AD BD cos ADB 即 2662 x2 x 2 2x x cos150 7x2 解 33 得x 故测量时气球到地面的距离是米 故选 B 266 7 7 266 7 7 1 二 填空题 9 海上有A B两个小岛相距 10 海里 从A岛望C岛和B岛成 60 的视角 从B岛望 C岛和A岛成 75 的视角 则B C的距离是 答案 5海里 6 解析 在 ABC中由正弦定理得 10 sin45 BC sin60 BC 5 6 10 我舰在岛A南 50 西 12 海里的B处 发现敌舰正从岛沿北 10 西的方向以每小时 10 海里的速度航行 若我舰要用 2 小时追上敌舰 则速度为 答案 14 海里 小时 解析 设我舰在C处追上敌舰 速度为V 则在 ABC中 AC 20 AB 12 BAC 120 BC2 784 V 14 海里 小时 11 2009 年 8 月 9 日 莫拉克台风即将登陆福建省霞浦县 如图 位于港口O正东方向 20 海里的B处的渔船回港避风时出现故障 位于港口南偏西 30 方向 距港口 10 海里的C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以 30 海里 小时的速度沿直线CB去营救渔船 则拖轮到 B处需要 小时 分析 求解本题的关键是把实际应用问题转化为数学问题 然后再利用余弦定理解 决 用心 爱心 专心 5 答案 7 3 解析 由题易知 BOC 120 因为BC2 OC2 OB2 2 OC OB cos120 700 所以BC 10 所以拖轮到达B处需要的时间t 小时 7 10 7 30 7 3 三 解答题 12 如图某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东 75 距离为 12n mile 在A处看灯塔C在货轮的北偏西 30 距离为 8n 63 mile 货轮由A处向正北航行到D处时 再看灯塔B在南偏东 60 求 1 A处与D处的距离 2 灯塔C与D处的距离 结果精确到 1n mile 解析 1 在 ABD中 ADB 60 B 45 由正弦定理得 AD 24 n mile ABsinB sin ADB 12 6 2 2 3 2 2 在 ADC中 由余弦定理得 CD2 AD2 AC2 2AD ACcos30 解得CD 8 14 n mile 3 即A处与D处的距离为 24n mile 灯塔C与D处的距离约为 14n mile 13 某海域内一观测站A 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东 50 且 与A相距 80 海里的位置B 经过 1 小时又测得该船已行驶到点A北偏东 50 其中 sin 0 90 且与A相距 60 海里的位置C 15 8 1 求该船的行驶速度 2 若该船不改变航行方向继续向前行驶 求船在行驶过程中离观测站A的最近距离 解析 1 如图 AB 80 AC 60 BAC sin 15 8 用心 爱心 专心 6 由于 0 90 所以 cos 1 15 8 2 7 8 由余弦定理得BC 40 AB2 AC2 2AB ACcos 所以船的行驶速度为 40 海里 小时 2 在 ABC中 由正弦定理得 BC sin BAC AC sin ABC sin ABC AC sin BAC BC 60 15 8 40 3 15 16 自A作BC的垂线 交BC的延长线于D 则AD的长是船离观测站的最近距离 在 Rt ABD中 AD ABsin ABD 80 15 海里 3 15 1615 船在行驶过程中离观测站A最近距离为 15海里 15 14 2010 陕西理 如图A B是海面上位于东西方向相距 5 3 海里的两个观测点 现位于A点北偏东 45 B点北偏西 3 60 的D点有一艘轮船发出求救信号 位于B点南偏西 60 且与B 点相距 20海里的C点的救援船立即前往营救 其航行速度为 30 3 海里 小时 该救援船到达D点需要多长时间 解析 本题考查正余弦定理在实际问题中的应用 本题要结合图像确定恰当三角形进 行边角的求解 求解过程中三角函数的变形 转化是易错点 注意运算的准确性 由题意知AB 5 3 海里 3 DBA 90 60 30 DAB 45 ADB 105 在 DAB中 由正弦定理得 DB sin DAB AB sin ADB DB AB sin DAB sin ADB 5 3 3 sin45 sin105 5 3 3 sin45 sin45 cos60 sin60 cos45 10 海里 5 3 3 1 3 1 23 又 DBC DBA ABC 30 90 60 60 BC 20 海里 3 在 DBC中 由余弦定理得 CD2 BD2 BC2 2BD BC cos DBC 用心 爱心 专心 7 300 1200 2 10 20 900 33 1 2 CD 30 海里 则需要的时间t 1 小时 30 30 答 救援船到达D点需要 1 小时 点评 1 解决实际应用问题 要过好语言关 图形关和数理关 考生在平时训练中要注 意加强 2 本题若认定 DBC为直角三角形 由勾股定理正确求得CD 同样可以 15 2010 福建文 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在 小艇出发时 轮船位于港口O北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的A处 并正以 30 海里 小里的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小船沿直线方向以v海里 小时的航 行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 为保证小艇在 30 分钟内 含 30 分钟 能与轮船相遇 试确定小艇航行速度的最小值 3 是否存在v 使得小艇以v海里 小时的航行速度行驶 总能有两种不同的航行方向 与轮船相遇 若存在 试确定v的取值范围 若不存在 请说明理由 解析 本小题主要考查解三角形 二次函数等基础知识 考查推理论证能力 抽象概 括能力 运算求解能力 应用意识 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思 想 1 设相遇时小艇的航行距离为S海里 则 S 900t2 400 2 30t 20 cos 90 30 900t2 600t 400 900 t 1 3 2 300 故当t 时 Smin 10 v 30 1 33 10 3 1 33 即小艇以 30海里 小时的速度航行 相遇时小艇的航行距离最小 3 2 设小艇与轮船在B处相遇 由题意可得 vt 2 202 30t 2 2 20 30t cos 90 30 化简得 v2 900 400 2 675 400 t2 600 t 1 t 3 4 用心 爱心 专心 8 由 00 400 t2 600 t 1 t 于是 400u2 600u 900 v2 0 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇 等价于方程 应有两个不等正根 即 Error 解得 15 v0 时 可得 4m 2cosx 对一切实数x都成立 1 2cosx 4m min 2cosx 1 2cosx 而 2cosx 2 当且仅当 cosx 时取等号 1 2cosx 1 2 故 4m 2 即m 1 2 当 cosx2R或a b 2R时 所求的 ABC不存在 当a 2R且b a时 A 90 所求的 ABC只存在一个 且c a2 b2 当a 2R且b a时 A B 且A B都是锐角 由 sinA sinB A B唯一确 a 2R b 2R 定 因此 所求的 ABC只存在一个 且c 2a cosA a R4R2 a2 当b a 2R时 B总是锐角 A可以是钝角也可以是锐角 因此 所求的 ABC存在两 个 由 sinA sinB 得 a 2R b 2R 当A90 时 cosA 1 2R4R2 a2 c a2 b2 ab 2R2 4R2 a2 4R2 b2 ab 三 三角函数与平面向量的综合 例 3 已知向量m m f x cosx n n sinx cosx 1 且m m n n 3 1 求函数f x 的最小正周期和单调递增区间 2 若函数f x 的图像关于直线x x0对称 且 0 x0 1 求x0的值 分析 对于 1 利用已知求出函数f x 的解析式 转化为三角函数知识 进一步解决 问题 对于 2 根据对称坐标之间的关系求x0即可 解析 1 由m m n n得 f x 1 cosx sinx cosx 0 则f x 3 sinxcosx cos2x sin2x cos2x sin 3 3 2 1 2 1 2 2x 6 1 2 用心 爱心 专心 11 T 2 2 由 2k 2x 2k k Z Z 得 2 6 2 k x k k Z Z 3 6 f x 的最小正周期为 单调递增区间为 k Z Z k 3 k 6 2 f x 的图像关于直线x x0对称 2x0 k 即x0 k Z Z 6 2 k 2 6 0 x0 1 x0 6 四 三角函数的实际应用 例 4 某单位在抗雪救灾中 需要在A B两地之间架设高压电线 测量人员在相距 6000m 的C D两地 A B C D在同一平面上 测得 ACD 45 ADC 75 BCD 30 BDC 15 如图 假设考虑到电线的自然下垂的施工损耗等原因 实际所 需电线长度大约是A B距离的 1 2 倍 问 施工单位至少应该准备多长的电线 参考数据 1 4 1 7 2 6 237 分析 解决此类问题的一般步骤是 1 根据题意 抽象 地构造出三角形 2 确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造 的三角形的边和角