昂立九年级数学上册《一元二次方程》提高与培优试题

昂立教育 初中数学 九年级上 教育成就梦想 昂立引领飞翔 第 1 页 第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程 一 知识结构一 知识结构 一元二次方程 二 考点精析二 考点精析 考点一 概念考点一 概念 1 1 定义 定义 只含有一个未知数 并且 未知数的最高次数是 2 这样的 整式方程就是一元二次方程 2 2 一般表达式 一般表达式 0 0 2 acbxax 难点难点 如何理解 未知数的最高次数是 2 该项系数不为 0 未知数指数为 2 若存在某项指数为待定系数 或系数也有待定 则需建立方程或不等式加以讨论 典型例题 典型例题 例例 1 1 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 A B 1213 2 xx02 11 2 xx C D 0 2 cbxax12 22 xxx 变式 变式 当 k 时 关于 x 的方程是一元二次方程 32 22 xxkx 例例 2 2 方程是关于 x 的一元二次方程 则 m 的值为 0132 mxxm m 针对练习 针对练习 1 方程的一次项系数是 常数项是 78 2 x 2 若方程是关于 x 的一元一次方程 02 1 m xm 求 m 的值 写出关于 x 的一元一次方程 3 若方程是关于 x 的一元二次方程 则 m 的取值范围是 11 2 xmxm 4 若方程 nxm xn 2x2 0 是一元二次方程 则下列不可能的是 A m n 2 B m 2 n 1 C n 2 m 1 D m n 1 昂立教育 初中数学 九年级上 教育成就梦想 昂立引领飞翔 第 2 页 考点二 方程的解考点二 方程的解 概念 概念 使方程两边相等的未知数的值 就是方程的解 应用应用 利用根的概念求代数式的值 典型例题 典型例题 例例 1 1 已知的值为 2 则的值为 32 2 yy124 2 yy 例例 2 2 关于 x 的一元二次方程的一个根为 0 则 a 的值为 042 22 axxa 例例 3 3 已知关于 x 的一元二次方程的系数满足 则此方程 00 2 acbxaxbca 必有一根为 例例 4 4 已知是方程的两个根 是方程的两个根 ba 04 2 mxxcb 058 2 myy 则 m 的值为 针对练习 针对练习 1 已知方程的一根是 2 则 k 为 另一根是 010 2 kxx 2 已知关于 x 的方程的一个解与方程的解相同 02 2 kxx3 1 1 x x 求 k 的值 方程的另一个解 3 已知 m 是方程的一个根 则代数式 01 2 xx mm2 4 已知是的根 则 a013 2 xx aa62 2 5 方程的一个根为 0 2 acxcbxba A B 1 C D 1 cb a 6 若 yx yx324 0352 考点三 解法考点三 解法 方法 方法 直接开方法 因式分解法 配方法 公式法 关键点 关键点 降次 类型一 直接开方法 类型一 直接开方法 mxmmx 0 2 对于 等形式均适用直接开方法 max 2 22 nbxmax 典型例题 典型例题 例 1 解方程 0 0821 2 x 2 16252x 0913 2 x 昂立教育 初中数学 九年级上 教育成就梦想 昂立引领飞翔 第 3 页 例 2 若 则 x 的值为 22 21619 xx 针对练习 针对练习 下列方程无解的是 A B C D 123 22 xx 02 2 xxx 13209 2 x 类型二 因式分解法类型二 因式分解法 0 21 xxxx 21 xxxx 或 方程特点 左边可以分解为两个一次因式的积 右边为 0 方程形式 如 22 nbxmax cxaxbxax 02 22 aaxx 典型例题 典型例题 例例 1 1 的根为 3532 xxx A B C D 2 5 x3 x3 2 5 21 xx 5 2 x 例例 2 2 若 则 4x y 的值为 04434 2 yxyx 变式变式 1 1 2222 2 22 06b ababa 变式变式 2 2 若 则 x y 的值为 032 yxyx 变式变式 3 3 若 则 x y 的值为 14 2 yxyx28 2 xxyy 例例 3 3 方程的解为 06 2 xx A B C D 23 21 xx23 21 xx33 21 xx22 21 xx 针对练习 针对练习 1 下列说法中 方程的二根为 则0 2 qpxx 1 x 2 x 21 2 xxxxqpxx 4 2 86 2 xxxx 3 2 65 22 aababa 22 yxyxyxyx 方程可变形为07 13 2 x0 713 713 xx 正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 以与为根的一元二次方程是 71 71 A B 062 2 xx062 2 xx 昂立教育 初中数学 九年级上 教育成就梦想 昂立引领飞翔 第 4 页 C D 062 2 yy062 2 yy 3 写出一个一元二次方程 要求二次项系数不为 1 且两根互为倒数 写出一个一元二次方程 要求二次项系数不为 1 且两根互为相反数 4 若实数 x y 满足 则 x y 的值为 023 yxyx A 1 或 2 B 1 或 2 C 1 或 2 D 1 或 2 5 方程 的解是 2 1 2 2 x x 类型三 配方法类型三 配方法 00 2 acbxax 2 2 2 4 4 2a acb a b x 在解方程中 多不用配方法 但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题 典型例题 典型例题 例例 1 1 试用配方法说明的值恒大于 0 32 2 xx 例例 2 2 已知 x y 为实数 求代数式的最小值 742 22 yxyx 例例 3 3 已知为实数 求的值 x yyxyx01364 22 y x 例例 4 4 分解因式 3124 2 xx 针对练习 针对练习 1 试用配方法说明的值恒小于 0 4710 2 xx 2 已知 则 04 11 2 2 x x x x x x 1 3 若 则 t 的最大值为 最小值为 91232 2 xxt 类型四 公式法类型四 公式法 条件 条件 04 0 2 acba且 公式 公式 a acbb x 2 4 2 04 0 2 acba且 典型例题 典型例题 例 1 选择适当方法解下列方程 6 13 2 x 8 63 xx014 2 xx 昂立教育 初中数学 九年级上 教育成就梦想 昂立引领飞翔 第 5 页 0143 2 xx 5211313 xxxx 例 2 在实数范围内分解因式 1 2 322 2 xx184 2 xx 22 542yxyx 说明 对于二次三项式的因式分解 如果在有理数范围内不能分解 cbxax 2 一般情况要用求根公式 这种方法首先令 0 求出两根 再写成cbxax 2 cbxax 2 21 xxxxa 分解结果是否把二次项系数乘进括号内 取决于能否把括号内的分母化去 类型五 类型五 降次思想降次思想 的应用的应用 求代数式的值 解二元二次方程组 典型例题 典型例题 例例 1 1 已知 求代数式的值 023 2 xx 1 11 2 3 x xx 例例 2 2 如果 那么代数式的值 01 2 xx72 23 xx 例例 3 3 已知是一元二次方程的一根 求的值 a013 2 xx 1 152 2 23 a aaa 例例 4 4 用两种不同的方法解方程组 2 0 65 1 62 22 yxyx yx 昂立教育 初中数学 九年级上 教育成就梦想 昂立引领飞翔 第 6 页 说明 解二元二次方程组的具体思维方法有两种 先消元 再降次 先降次 再 消元 但都体现了一种共同的数学思想 化归思想 即把新问题转化归结为我们已 知的问题 考点四 根的判别式考点四 根的判别式acb4 2 根的判别式的作用 根的判别式的作用 定根的个数 求待定系数的值 应用于其它 典型例题 典型例题 例例 1 1 若关于的方程有两个不相等的实数根 则 k 的取值范围是 x012 2 xkx 例例 2 2 关于 x 的方程有实数根 则 m 的取值范围是 021 2 mmxxm A B C D 10 mm0 m1 m1 m 例例 3 3 已知关于 x 的方程 022 2 kxkx 1 求证 无论 k 取何值时 方程总有实数根 2 若等腰ABC 的一边长为 1 另两边长恰好是方程的两个根 求ABC 的周长 例例 4 4 已知二次三项式是一个完全平方式 试求的值 2 6 9 2 mxmxm 例例 5 5 为何值时 方程组有两个不同的实数解 有两个相同的实数解 m 3 62 22 ymx yx 针对练习 针对练习 1 当 k 时 关于 x 的二次三项式是完全平方式 9 2 kxx 2 当取何值时 多项式是一个完全平方式 这个完全平方式是什么 kkxx243 2 3 已知方程有两个不相等的实数根 则 m 的值是 02 2 mxmx 4 为何值时 方程组k 0 124 2 2 yxy kxy 昂立教育 初中数学 九年级上 教育成就梦想 昂立引领飞翔 第 7 页 1 有两组相等的实数解 并求此解 2 有两组不相等的实数解 3 没有实数解 5 当取何值时 方程的根与均为有理数 k042344 22 kmmxmxxm 考点五 方程类问题中的考点五 方程类问题中的 分类讨论分类讨论 典型例题 典型例题 例例 1 1 关于 x 的方程 0321 2 mxxm 有两个实数根 则 m 为 只有一个根 则 m 为 例例 2 2 不解方程 判断关于 x 的方程根的情况 32 22 kkxx 例例 3 3 如果关于 x 的方程及方程均有实数根 问这两方程02 2 kxx02 2 kxx 是否有相同的根 若有 请求出这相同的根及 k 的值 若没有 请说明理由 考点六 应用解答题考点六 应用解答题 碰面 问题 复利率 问题 几何 问题 最值 型问题 图表 类问题 典型例题 典型例题 1 五羊足球队的庆祝晚宴 出席者两两碰杯一次 共碰杯 990 次 问晚宴共有多少人出席 2 某小组每人送他人一张照片 全组共送了 90 张 那么这个小组共多少人 3 北京申奥成功 促进了一批产业的迅速发展 某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场 根据计划 第一年投入资金 600 万元 第二年比第一年减少 第三年比第二年减少 该产品第 3 1 2 1 昂立教育 初中数学 九年级上 教育成就梦想 昂立引领飞翔 第 8 页 一年收入资金约 400 万元 公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回 还要盈利 要实现 3 1 这一目标 该产品收入的年平均增长率约为多少 结果精确到 0 1 61 3 13 4 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品 据市场分析 若按每千克 50 元销售 一个 月能售出 500 千克 销售单价每涨 1 元 月销售量就减少 10 千克 针对此回答 1 当销售价定为每千克 55 元时 计算月销售量和月销售利润 2 商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下 使得月销售利润达到 8000 元 销售单价应定为多少 5 将一条长 20cm 的铁丝剪成两段 并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形 1 要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2 那么这两段铁丝的长度分别为多少 2 两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗 若能 求出两段铁丝的长度 若不 能 请说明理由 3 两个正方形的面积之和最小为多少 6 A B两地间的路程为 36 千米 甲从A地 乙从B地同时出发相向而行 两人相遇后 甲再走 2 小时 30 分到达B地 乙再走 1 小时 36 分到达A地 求两人的速度 考点七 根与系数的关系考点七 根与系数的关系 前提 对于而言 当满足 时 0 2 cbxax0 a0 才能用韦达定理 主要内容 a c xx a b xx 2121 应用 整体代入求值 典型例题 典型例题 例例 1 1 已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根 则这个直角三0782 2 xx 角形的斜边是 A B 3 C 6 D 36 昂立教育 初中数学 九年级上 教育成就梦想 昂立引领飞翔 第 9 页 例例 2 2 已知关于 x 的方程有两个不相等的实数根 0112 22 xkxk 21 x x 1 求 k 的取值范围 2 是否存在实数 k 使方程的两实数根互为相反数 若存在 求出 k 的值 若不 存在 请说明理由 例例 3 3 小明和小红一起做作业 在解一道一元二次方程 二次项系数为 1 时 小明因看错 常数项 而得到解为 8 和 2 小红因看错了一次项系数 而得到解为 9 和 1 你知道 原来的方程是什么吗 其正确解应该是多少 例例 4 4 已知 求 ba 012 2 aa012 2 bb ba 变式 变式 若 则的值为 012 2 aa012 2 bb a b b a 例例 5 5 已知是方程的两个根 那么 01 2 xx 3 4 针对练习 针对练习 1 解方程组 2 5 1 3 22 yx yx 2 已知 求的值 47 2 aa47 2 bb ba b a a b 3 已知是方程的两实数根 求的值 21 x x09 2 xx6637 2 2 2 3 1 xxx 一元二次方应用提高 1 1 已知关于的方程 根据下列条件 分别求出的值 x 22 1 1 10 4 xkxk k 1 方程两实根的积为 5 2 方程的两实根满足 12 x x 12 xx 昂立教育 初中数学 九年级上 教育成就梦想 昂立引领飞翔 第 10 页 2 若实数 且满足 则代数式的值为多少 ab a b 22 850 850aabb 11 11 ba ab 3 若 关于的方程有两个相等的的正实数根 求的值 0n x 2 1 2 0 4 xmn xmn m n 4 4 已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长 x 22 1 1 10 4 xkxk 1 取何值时 方程存在两个正实数根 k 2 当矩形的对角线长是时 求的值 5k 5 5 已知关于的方程的两个实数根的平方和等于 11 求证 关于的方程x 2 30 xxm x 有实数根 22 3 640kxkmxmm 6 6 若是关于的方程的两个实数根 且都大于 1 12 x xx 22 21 10 xkxk 12 x x 1 求实数的取值范围 k 2 若 求的值 1 2 1 2 x x k 昂立教育 初中数学 九年级上 教育成就梦想 昂立引领飞翔 第 11 页 7 7 已知 则 0032 22 yyxyx y x 8 8 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装 规定试销期间销售单价不低于成本单价 且获利不得高于 45 经 试销发现 销售量 件 与销售单价 元 符合一次函数 且时 时 yxykxb 65x 55y 75x 45y 1 求一次函数的表达式 2 若该商场获得利润为元 试写出利润与销售单价之间的关系ykxb WWx 式 销售单价定为多少元时 商场可获得最大利润 最大利润是多少元 3 若该商场获得利润不低于 500 元 试确定销售单价的范围 x 9 9 合肥百货大搂服装柜在销售中发现 宝乐 牌童装平均每天可售出 20 件 每件盈利 40 元 为了迎接 十 一 国庆节 商场决定采取适当的降价措施 扩大销售量 增加盈利 尽快减少库存 经市场调查发现 如果每件童装降价 4 元 那么平均每天就可多售出 8 件 要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元 那么每件 童装应降价多少 1010 如图某农场要建一个长方形的养鸡场 鸡场的一边靠墙 墙长 18m 另三边用木栏围成 木栏长 35m 鸡场的面积能达到 150m2 吗 鸡场的面积能达到 180m2 吗 如果能 请你给出设计方案 如果不能 请说明理由 若墙长为m 另三边用竹篱笆围成 题中的墙长度m 对题目的解起着怎样的作 aa 1111 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6CM BC 12CM 点 P 从点 A 出发 沿 AB 边向点 B 以 1CM S 的速度移动 点 Q 从点 B 出发 沿 BC 边向点 C 以 2CM S 的速度移动 P Q 两点同时出发 分别到点 B C 后停止移动 设 PQD 的面积为 S 点移动的时间为 X X 0 1 求 S 关于 X 的函数解析试及自变量 X 的取值范围 2 经过多少时间 PQD 的面积最小 昂立教育 初中数学 九年级上 教育成就梦想 昂立引领飞翔 第 12 页 1212 某公司投资新建了一商场 共有商铺 30 间 据预测 当每间的年租金定为 10 万元时 可全部租出 每间的 年租金每增加 5000 元 少租出商铺 1 间 该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元 未租出的商铺每间 每年交各种费用 5000 元 1 当每间商铺的年租金定为 13 万元时 能租出多少间 2 当每间商铺的年租金定为多少万元时 该公司的年收益 收益 租金 各种费用 为 275 万元 13 某商店购进 600 个旅游纪念品 进价为每个6 元 第一周以每个10 元的价格售出 200 个 第二 周若按每个 10 元的价格销售仍可售出200 个 但商店为了适当增加销量 决定降价销售 根据市场调 查 单价每降低1 元 可多售出 50 个