莫尔—库伦理论1

1 莫尔 库伦理论 长期以来 人们根据对材料破坏现象的分析 提出了各种不同 的强度理论 其中适用于土的强度理论有多种 不同的理论各有其 优缺点 在土力学中被广泛采用的强度理论要推莫尔 库伦强度理 论 1773 年 法国学者库伦 Coulomb 根据砂土的试验结果 提出土 的抗剪强度 f在应力变化不大的范围内 可表示为剪切滑动面上法 向应力 的线性函数 即 tan 后来库伦又根据粘性土的试验结果 提出更为普遍的抗剪强度 公式 tan 1936 年 太沙基 Terzaghi 提出了有效应力原理 根据有效应力 原理 土中总应力等于有效应力与孔隙水压力之和 只有有效应力 的变化才会引起强度的变化 因此 土的抗剪强度可表示为剪切 破坏面上法向有效应 的函数 上述库仑公式应改写为 tan 1910 年莫尔 Mohr 提出材料产生剪切破坏时 破坏面上的是 该面上法向应力的函数 即 该函数在直角坐标系中是一条曲线 如图 1 所示 通常称为莫 2 尔包线 土的莫尔包线多数情况下可近似地用直线表示 其表达式 就是库伦所表示的直线方程 由库伦公式表示莫尔包线的土体抗剪 强度理论称为莫尔 库伦 Mohr Coulomb 强度理论 图 1 莫尔包线 1 土中某点的应力状态 我们先来研究土体中某点的应力状态 以便求得实用的土体极 限平衡条件的表达式 为简单起见 下面仅研究平面问题 在地基土中任意点取出一微分单元体 设作用在该微分体上的 最大和最小主应力分别为 1和 3 而且 微分体内与最大主应力 1作用平面成任意角度 的平面 mn 上有正应力 和剪应力 图 2 a a b 图 2 土中任意一点的应力 3 a 微分体上的应力 b 隔离体上的应力 为了建立 与 1和 3之间的关系 取微分三角形斜面体 abc 为隔离体 图 2 b 将各个应力分别在水平方向和垂直方向上投 影 根据静力平衡条件得 3 1 0 sin1 0sin1 0cos1 00 0 cos1 0cos1 0sin1 00 xdsdsdsa ydsdsdsb 联立求解以上方程 a b 即得平面 mn 上的应力 1313 13 11 cos2 22 1 1 sin2 2 由以上两式可知 在 1和 3已知的情况下 斜截面 mn 上的 法向应力 和剪应力 仅与斜截面倾角 有关 由式 1 得 1 3 2 2 2 1 3 2 2 上式表示圆心为 半径为关的莫尔圆 1 3 2 0 1 3 2 莫尔圆上任一点代表与大主应力 1作用面成 角的斜面 其纵坐 标代表该面上的法向应力 横坐标代表该面上的剪应力 在直角坐标系中 图 3 以 为横坐标轴 以 为纵坐标轴 按 4 图 3 用莫尔应力圆求正应力和剪应力 一定的比例尺 在 轴上截取 OB 3 OC 1 以 O1为圆心 以 1 3 2 为半径 绘制出一个应力圆 并从 O1C 开始逆时针旋 转 2 角 在圆周上得到点 A 可以证明 A 点的横坐标就是斜面 mn 上的正应力 而其纵坐标就是剪应力 事实上 可以看出 A 点的横坐标为 1 1 cos 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 cos 2 1 2 1 3 1 2 1 3 cos 2 而 A 点的纵坐标为 1 sin 2 1 2 1 3 sin 2 2 土的极限平衡条件 莫尔 库伦破坏准则 为了建立实用的土体极限平衡条件 将土体中某点的莫尔应力 圆和土体的抗剪强度与法向应力关系曲线 简称抗剪强度线 画在同一 个直角坐标系中 这样 就可以判断土体在这一点上是否达到极限 平衡状态 5 由前述可知 莫尔应力圆上的每一点的横坐标和纵坐标分别表 示土体中某点在相应平面上的正应力 和剪应力 如果莫尔应 力圆位于抗剪强度包线的下方 图 4 a 即通过该点任一方向的剪 应力 都小于土体的抗剪强度 f 则该点土不会发生剪切破坏 而处于弹性平衡状态 若莫尔应力圆恰好与抗剪强度线相切 图 4 b 切点为 B 则表明切点 B 所代表的平面上的剪应力 与 抗剪强度 f相等 此时 该点土体处于极限平衡状态 a b 图 4 莫尔应力圆与土的抗剪强度之间的关系 a 土处于弹性平衡状态 b 土处于极限平衡状态 根据莫尔应力圆与抗剪强度线相切的几何关系 就可以建立起 土体的极限平衡条件 下面 我们就以图 5 中的几何关系为例 说明如何建立无粘性 土的极限平衡条件 6 图 5 无粘性土极限平衡条件推导示意图 2 1 3tan 2 45 2 土体达到极限平衡条件时 莫尔应力圆与抗剪强度线相切于 B 点 延长 CB 与 轴交于 A 点 由图中关系可知 OB OA 再由切割定理 可得 1 3 2 2 在 AOC 中 有 12 2 tan2 45 2 12 1 3 tan2 45 2 因此 1 3 tan2 45 2 又由于 7 tan 45 2 1 tan 45 2 cot 45 2 所以 有 3 3 1 tan2 45 2 对粘性土和粉土而言 可以类似地推导出其极限平衡条件 为 4 1 3 tan2 45 2 2 tan 45 2 这可以从图 6 中的几何关系求得 作 EO 平行 BC 通过最小主 应力 3的坐标点 A 作一圆与 EO 相切于 E 点 与 轴交于 I 点 图 6 粘性土与粉土极限平衡条件推导示意图 由前可知 1 3 tan2 45 2 下面找出 IG 与 c 的关系 G 点为最大主应力坐标点 由图中 8 角度关系可知 EBD 为等腰三角形 ED BD c 45 2 则有 2 sin 45 2 在 GIF 中 cos 45 2 2 sin 45 2 cos 45 2 2 tan 45 2 而且 OG OI IG 所以 1 3 tan2 45 2 2 tan 45 2 同理可以证明 3 1 tan2 45 2 2 tan 45 2 5 还可以证明 sin 1 3 1 3 2 cot 6 1 3 1 sin 1 sin 2 cos 1 sin 或 3 1 1 sin 1 sin 2 cos 1 sin 由图 5 的几何关系可以求得剪切面 破裂面 与大主应力面的夹角 关系 因为 9 7 2 90 所以 45 2 8 即剪切破裂面与最大主应力作用平面的夹角为 1 共轭剪切面 45 2 由此可见 土与一般连续性材料 如钢 混凝土等 不同 是一种 具有内摩擦强度的材料 其剪切破裂面不产生于最大剪应力面 而 是与最大剪应力面成的夹角 如果土质均匀 且试验中能保证 2 试件内部的应力 应变均匀分布 则试件内将会出现两组完全对称 的破裂面 图 7 图 7 土的破裂面确定 式 2 至式 8 都是表示土单元体达到极限平衡时 破坏时 主应力的关系 这就是莫尔 库伦理论的破坏准则 也是土体达到 10 极限平衡状态的条件 故而 我们也称之为极限平衡条件 理论分析和试验研究表明 在各种破坏理论中 对土最适合的 是莫尔 库伦强度理论 总结莫尔 库伦强度理论 可以表述为以 下三个要点 1 剪切破裂面上 材料的抗剪强度