高一数列专项典型练习题及解析答案

一 选择题 共一 选择题 共 11 小题 小题 1 2014 天津模拟 已知函数 f x a 0 a 1 数列 an 满足 an f n n N 且 an 是单调递增数列 则实数 a 的取值范围 A 7 8 B 1 8 C 4 8 D 4 7 2 2014 天津 设 an 的首项为 a1 公差为 1 的等差数列 Sn为其前 n 项和 若 S1 S2 S4成等比数列 则 a1 A 2B 2C D 3 2014 河南一模 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 若 则 A 1B 1C 2D 4 2014 河东区一模 阅读图的程序框图 该程序运行后输出的 k 的值为 A 5B 6C 7D 8 5 2014 河西区三模 设 Sn为等比数列 an 的前 n 项和 8a2 a5 0 则等于 A 11B 5C 8D 11 6 2014 河西区二模 数列 an 满足 a1 2 an 其前 n 项积为 Tn 则 T2014 A B C 6D 6 7 2014 河西区一模 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 an 2 2an 1 an a6 4 a4 则 S9 A 9B 12C 14D 18 8 2013 南开区一模 已知 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 S7 28 S11 66 则 S9的值为 A 47B 45C 38D 54 9 2013 天津一模 在等比数列 an 中 则 a3 A 9B 9C 3D 3 10 2012 天津 阅读右边的程序框图 运行相应的程序 则输出 s 的值为 A 8B 18C 26D 80 11 2012 天津模拟 在等差数列 an 中 4 a3 a4 a5 3 a6 a8 a14 a16 36 那么该数列的前 14 项和为 A 20B 21C 42D 84 二 填空题 共二 填空题 共 7 小题 小题 12 2014 天津 设 an 是首项为 a1 公差为 1 的等差数列 Sn为其前 n 项和 若 S1 S2 S4成等比数列 则 a1 的值为 13 2014 红桥区二模 某公司推出了下表所示的 QQ 在线等级制度 设等级为 n 级需要的天数为 an n N 等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数 15777 212896 32112192 43216320 545321152 660482496 则等级为 50 级需要的天数 a50 14 2014 郑州模拟 数列 an 为等比数列 a2 a3 1 a3 a4 2 则 a5 a6 a7 15 2014 厦门一模 已知数列 an 中 an 1 2an a3 8 则数列 log2an 的前 n 项和等于 16 2014 河西区一模 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 并满足 an 2 2an 1 an a6 4 a4 则 S9 17 2014 天津模拟 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a2 a4 6 S4 10 则 a10 18 2014 北京模拟 设 Sn是等比数列 an 的前 n 项和 S3 S9 S6成等差数列 且 a2 a5 2am 则 m 三 解答题 共三 解答题 共 12 小题 小题 19 2014 濮阳二模 设 an 是等差数列 bn 是各项都为正数的等比数列 且 a1 b1 1 a3 b5 21 a5 b3 13 求 an bn 的通项公式 求数列的前 n 项和 Sn 20 2014 天津三模 已知数列 an 的前 n 项和 Sn an 2 n N 数列 bn 满足 bn 2nan 1 求证数列 bn 是等差数列 并求数列 an 的通项公式 2 设数列 an 的前 n 项和为 Tn 证明 n N 且 n 3 时 Tn 3 设数列 cn 满足 an cn 3n 1 n 1 n 为非零常数 n N 问是否存在整数 使得对任意 n N 都 有 cn 1 cn 21 2014 天津模拟 在等差数列 an 中 a1 3 其前 n 项和为 Sn 等比数列 bn 的各项均为正数 b1 1 公比为 q 且 b2 S2 12 求 an与 bn 设 cn an bn 求数列 cn 的前 n 项和 Tn 22 2009 河西区二模 已知等差数列 an 满足 a3 a4 9 a2 a6 10 又数列 bn 满足 nb1 n 1 b2 2bn 1 bn Sn 其中 Sn是首项为 1 公比为 的等比数列的前 n 项和 1 求 an的表达式 2 若 cn anbn 试问数列 cn 中是否存在整数 k 使得对任意的正整数 n 都有 cn ck成立 并证明你的结论 23 已知等比数列 an 中 a1 公比 q Sn为 an 的前 n 项和 证明 Sn 设 bn log3a1 log3a2 log3an 求数列 bn 的通项公式 24 已知等差数列 an 的前 n 项和为 sn pm2 2n q p q R n N I 求 q 的值 若 a3 8 数列 bn 满足 an 4log2bn 求数列 bn 的前 n 项和 25 已知数列 an n N 是等比数列 且 an 0 a1 3 a3 27 1 求数列 an 的通项公式 an和前项和 Sn 2 设 bn 2log3an 1 求数列 bn 的前项和 Tn 26 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a2 9 S5 65 I 求 an 的通项公式 II 令 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 27 已知等比数列 an 满足 a2 2 且 2a3 a4 a5 an 0 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 1 n3an 2n 1 数列 bn 的前项和为 Tn 求 Tn 28 已知等比数列 an 的公比为 q 前 n 项的和为 Sn 且 S3 S9 S6成等差数列 1 求 q3的值 2 求证 a2 a8 a5成等差数列 29 已知 Sn是等比数列 an 的前 n 项和 I 求 an II 若 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 30 已知 an 是等差数列 其前 n 项和为 Sn 已知 a2 8 S10 185 1 求数列 an 的通项公式 2 设 an log2bn n 1 2 3 证明 bn 是等比数列 并求数列 bn 的前 n 项和 Tn 高一数列专项典型练习题高一数列专项典型练习题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 11 小题 小题 1 2014 天津模拟 已知函数 f x a 0 a 1 数列 an 满足 an f n n N 且 an 是单调递增数列 则实数 a 的取值范围 A 7 8 B 1 8 C 4 8 D 4 7 考点 数列的函数特性 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 利用一次函数和指数函数的单调性即可得出 解答 解 an 是单调递增数列 解得 7 a 8 故选 A 点评 本题考查了分段函数的意义 一次函数和指数函数的单调性 属于中档题 2 2014 天津 设 an 的首项为 a1 公差为 1 的等差数列 Sn为其前 n 项和 若 S1 S2 S4成等比数列 则 a1 A 2B 2C D 考点 等比数列的性质 等差数列的性质 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 由等差数列的前 n 项和求出 S1 S2 S4 然后再由 S1 S2 S4成等比数列列式求解 a1 解答 解 an 是首项为 a1 公差为 1 的等差数列 Sn为其前 n 项和 S1 a1 S2 2a1 1 S4 4a1 6 由 S1 S2 S4成等比数列 得 即 解得 故选 D 点评 本题考查等差数列的前 n 项和公式 考查了等比数列的性质 是基础的计算题 3 2014 河南一模 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 若 则 A 1B 1C 2D 考点 等差数列的前 n 项和 菁优网版权所有 分析 由等差数列的求和公式和性质可得 代入已知可得 解答 解 由题意可得 1 故选 A 点评 本题考查等差数列的求和公式 涉及等差数列的性质 属基础题 4 2014 河东区一模 阅读图的程序框图 该程序运行后输出的 k 的值为 A 5B 6C 7D 8 考点 等比数列的前 n 项和 循环结构 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 分析程序中各变量 各语句的作用 再根据流程图所示的顺序 可知 该程序的作用是利用循环计算变量 s k 的值 最后输出 k 的值 列举出循环的各个情况 不难得到输出结果 解答 解 程序在运行过程中各变量的值如下表示 循环前 k 0 s 0 每次循环 s k 的值及是否循环分别如下 第一圈 S 2 100 k 1 是 第二圈 S 2 21 100 k 2 是 第三圈 S 2 21 22 100 k 3 是 第四圈 S 2 21 22 23 100 k 4 是 第五圈 S 2 21 22 23 24 100 k 5 是 第六圈 S 2 21 22 23 24 25 100 k 6 是 第七圈 S 2 21 22 23 24 25 26 100 k 6 否 满足 S 100 退出循环 此时 k 值为 7 故选 C 点评 本小题主要考查循环结构 等比数列等基础知识 根据流程图 或伪代码 写程序的运行结果 是算法这 一模块最重要的题型 5 2014 河西区三模 设 Sn为等比数列 an 的前 n 项和 8a2 a5 0 则等于 A 11B 5C 8D 11 考点 等比数列的性质 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 由题意可得数列的公比 q 代入求和公式化简可得 解答 解 设等比数列 an 的公比为 q q 0 由题意可得 8a2 a5 8a1q a1q4 0 解得 q 2 故 11 故选 D 点评 本题考查等比数列的性质 涉及等比数列的求和公式 属中档题 6 2014 河西区二模 数列 an 满足 a1 2 an 其前 n 项积为 Tn 则 T2014 A B C 6D 6 考点 数列递推式 菁优网版权所有 专题 计算题 点列 递归数列与数学归纳法 分析 根据数列 an 满足 a1 2 an 可得数列 an 是周期为 4 的周期数列 且 a1a2a3a4 1 即可得出结 论 解答 解 an an 1 a1 2 a2 3 a3 a4 a5 2 数列 an 是周期为 4 的周期数列 且 a1a2a3a4 1 2014 4 503 2 T2014 6 故选 D 点评 本题考查数列递推式 考查学生分析解决问题的能力 确定数列 an 是周期为 4 的周期数列 且 a1a2a3a4 1 是关键 7 2014 河西区一模 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 an 2 2an 1 an a6 4 a4 则 S9 A 9B 12C 14D 18 考点 数列递推式 菁优网版权所有 专题 点列 递归数列与数学归纳法 分析 直接由数列递推式得到数列为等差数列 再由等差数列的性质结合 a6 4 a4得到 a5的值 然后直接代入前 n 项和得答案 解答 解 an 2 2an 1 an 2an 1 an an 2 数列 an 是等差数列 又 a6 4 a4 a4 a6 4 由等差数列的性质知 2a5 a4 a6 4 得 a5 2 S9 9a5 9 2 18 故选 D 点评 本题考查数列递推式 考查了等差关系得确定 考查了等差数列的性质及前 n 项和 是中档题 8 2013 南开区一模 已知 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 S7 28 S11 66 则 S9的值为 A 47B 45C 38D 54 考点 等差数列的前 n 项和 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 设公差为 d 利用等差数列前 n 项和列关于 a1 d 的方程组 解出 a1 d 再用前 n 项和公式可得 S9的 值 解答 解 设公差为 d 由 S7 28 S11 66 得 即 解得 所以 S9 9 1 45 故选 B 点评 本题考查等差数列的前 n 项和公式 考查方程思想 考查学生的运算能力 属基础题 9 2013 天津一模 在等比数列 an 中 则 a3 A 9B 9C 3D 3 考点 等比数列的前 n 项和 等比数列的性质 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 设出公比 利用条件 可得 27 3 两式相除 可 得结论 解答 解 设等比数列 an 的公比为 q 则 27 3 两式相除 可得 a3 3 故选 C 点评 本题考查等比数列的定义 考查学生的计算能力 属于基础题 10 2012 天津 阅读右边的程序框图 运行相应的程序 则输出 s 的值为 A 8B 18C 26D 80 考点 数列的求和 循环结构 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 根据框图可求得 S1 2 S2 8 S3 26 执行完后 n 已为 4 故可得答案 解答 解 由程序框图可知 当 n 1 S 0 时 S1 0 31 30 2 同理可求 n 2 S1 2 时 S2 8 n 3 S2 8 时 S3 26 执行完后 n 已为 4 故输出的结果为 26 故选 C 点评 本题考查数列的求和 看懂框图循环结构的含义是关键 考查学生推理 运算的能力 属于基础题 11 2012 天津模拟 在等差数列 an 中 4 a3 a4 a5 3 a6 a8 a14 a16 36 那么该数列的前 14 项和为 A 20B 21C 42D 84 考点 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 由数列为等差数列 利用等差数列的性质得到 a3 a5 2a4 a8 a14 a6 a16 2a11 化简已知的等式 可得出 a4 a11的值 再根据等差数列的性质得到 a1 a14 a4 a11 由 a4 a11的值得到 a1 a14的值 然后利用等差数 列的前 n 项和公式表示出该数列的前 14 项之和 将 a1 a14的值代入即可求出值 解答 解 数列 an 为等差数列 a3 a5 2a4 a8 a14 a6 a16 2a11 又 4 a3 a4 a5 3 a6 a8 a14 a16 36 12a4 12a11 36 即 a4 a11 3 a1 a14 a4 a11 3 则该数列的前 14 项和 S14 21 故选 B 点评 此题考查了等差数列的性质 以及等差数列的求和公式 熟练掌握性质及公式是解本题的关键 二 填空题 共二 填空题 共 7 小题 小题 12 2014 天津 设 an 是首项为 a1 公差为 1 的等差数列 Sn为其前 n 项和 若 S1 S2 S4成等比数列 则 a1 的值为 考点 等比数列的性质 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 由条件求得 Sn 再根据 S1 S2 S4成等比数列 可得 S1 S4 由此求得 a1的 值 解答 解 由题意可得 an a1 n 1 1 a1 1 n Sn 再根据若 S1 S2 S4成等比数列 可得 S1 S4 即 a1 4a1 6 解得 a1 故答案为 点评 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式 等比数列的定义和性质 属于中档题 13 2014 红桥区二模 某公司推出了下表所示的 QQ 在线等级制度 设等级为 n 级需要的天数为 an n N 等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数 15777 212896 32112192 43216320 545321152 660482496 则等级为 50 级需要的天数 a50 2700 考点 数列的概念及简单表示法 归纳推理 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 由表格可知 an 5 7 2n 3 利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 解答 解 由表格可知 an 5 7 2n 3 n n 4 a50 50 54 2700 故答案为 2700 点评 本题考查了等差数列的通项公式与前 n 项和公式 归纳推理等基础知识与基本技能方法 属于基础题 14 2014 郑州模拟 数列 an 为等比数列 a2 a3 1 a3 a4 2 则 a5 a6 a7 24 考点 等比数列的通项公式 等比数列的前 n 项和 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 由题意 联立两方程 a2 a3 1 a3 a4 2 解出等比数列的首项与公比 即可求出 a5 a6 a7的值 解答 解 由 a2 a3 1 a3 a4 2 两式作商得 q 2 代入 a2 a3 1 得 a1 q q2 1 解得 a1 所以 a5 a6 a7 24 25 26 24 故答案为 24 点评 本题考查对数计算与等比数列性质的运用 属于基本计算题 15 2014 厦门一模 已知数列 an 中 an 1 2an a3 8 则数列 log2an 的前 n 项和等于 考点 数列的求和 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 由已知条件推导出 an 是首项和公比都是 2 的等比数列 从而得到 log2an n 由此能求出数列 log2an 的前 n 项和 解答 解 数列 an 中 an 1 2an 2 an 是公比为 2 的等比数列 a3 8 解得 a1 2 log2an n 数列 log2an 的前 n 项和 Sn 1 2 3 n 故答案为 点评 本题考查数列的前 n 项和的求法 是中档题 解题时要认真审题 注意对数函数的性质的灵活运用 16 2014 河西区一模 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 并满足 an 2 2an 1 an a6 4 a4 则 S9 18 考点 数列的求和 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 由已知条件推导出数列 an 是等差数列 由此利用等差数列性质能求出结果 解答 解 数列 an 的前 n 项和为 Sn 并满足 an 2 2an 1 an 数列 an 是等差数列 a6 4 a4 a6 a4 4 故答案为 18 点评 本题考查数列的前 9 项和的求法 解题时要认真审题 注意等差数列的性质的合理运用 17 2014 天津模拟 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a2 a4 6 S4 10 则 a10 10 考点 等差数列的性质 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 由已知条件 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式 建立方程组 求出首项和公差 由此能求出结 果 解答 解 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a2 a4 6 S4 10 设公差为 d 解得 a1 1 d 1 a10 1 9 10 故答案为 10 点评 本题考查等差数列中第 10 项的求法 是基础题 解题时要认真审题 要熟练掌握等差数列的性质 18 2014 北京模拟 设 Sn是等比数列 an 的前 n 项和 S3 S9 S6成等差数列 且 a2 a5 2am 则 m 8 考点 等差数列的性质 等比数列的通项公式 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 由 S3 S9 S6成等差数列 利用等差数列的性质列出关系式 利用等比数列的前 n 项和公式化简 得到关 于 q 的关系式 再利用等比数列的性质化简 a2 a5 2am的左右两边 将得到的关于 q 的关系式整理后代入 即可得出 m 的值 解答 解 Sn是等比数列 an 的前 n 项和 且 S3 S9 S6成等差数列 2S9 S3 S6 即 整理得 2 1 q9 1 q3 1 q6 即 1 q3 2q6 又 a2 a5 a1q a1q4 a1q 1 q3 2a1q7 2am 2a1qm 1 且 a2 a5 2am 2a1q7 2a1qm 1 即 m 1 7 则 m 8 故答案为 8 点评 此题考查了等差数列的性质 等比数列的通项公式及求和公式 熟练掌握性质及公式是解本题的关键 三 解答题 共三 解答题 共 12 小题 小题 19 2014 濮阳二模 设 an 是等差数列 bn 是各项都为正数的等比数列 且 a1 b1 1 a3 b5 21 a5 b3 13 求 an bn 的通项公式 求数列的前 n 项和 Sn 考点 等差数列的通项公式 等比数列的通项公式 数列的求和 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 设 an 的公差为 d bn 的公比为 q 根据等比数列和等差数列的通项公式 联立方程求得 d 和 q 进而可得 an bn 的通项公式 数列的通项公式由等差和等比数列构成 进而可用错位相减法求得前 n 项和 Sn 解答 解 设 an 的公差为 d bn 的公比为 q 则依题意有 q 0 且 解得 d 2 q 2 所以 an 1 n 1 d 2n 1 bn qn 1 2n 1 得 点评 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和 20 2014 天津三模 已知数列 an 的前 n 项和 Sn an 2 n N 数列 bn 满足 bn 2nan 1 求证数列 bn 是等差数列 并求数列 an 的通项公式 2 设数列 an 的前 n 项和为 Tn 证明 n N 且 n 3 时 Tn 3 设数列 cn 满足 an cn 3n 1 n 1 n 为非零常数 n N 问是否存在整数 使得对任意 n N 都 有 cn 1 cn 考点 等差数列的性质 数列与不等式的综合 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 1 由已知条件推导出 2nan 2n 1an 1 1 由此能证明 数列 bn 是首项和公差均为 1 的等差数列 从而求出 an 2 由 1 知 n 1 n 利用错位相减法能求出 Tn 3 再用数学归纳法能证明 n N 且 n 3 时 Tn 3 由 an cn 3n 1 n 1 n 可求得 cn 对任意 n N 都有 cn 1 cn即 cn 1 cn 0 恒成立 整理可得 1 n 1 n 1 分 n 为奇数 偶数两种情况讨论 分离出参数 后转化为函数最值即可解决 解答 1 证明 在 Sn an 2 n N 中 令 n 1 得 S1 a1 1 2 a1 解得 a1 当 n 2 时 Sn 1 an 1 n 2 2 an Sn Sn 1 an an 1 n 1 2an an 1 n 1 即 2nan 2n 1an 1 1 bn 2nan bn bn 1 1 即当 n 2 时 bn bn 1 1 又 b1 2a1 1 数列 bn 是首项和公差均为 1 的等差数列 于是 bn 1 n 1 1 n 2nan an 2 证明 n 1 n Tn 2 3 2 n 1 n 2 2 3 3 n 1 n 1 得 1 1 n 1 n 1 Tn 3 Tn 3 确定 Tn与的大小关系等价于比较 2n与 2n 1 的大小 下面用数学归纳法证明 n N 且 n 3 时 Tn 当 n 3 时 23 2 3 1 成立 假设当 n k k 3 时 2k 2k 1 成立 则当 n k 1 时 2k 1 2 2k 2 2k 1 4k 2 2 k 1 1 2k 1 2 k 1 1 当 n k 1 时 也成立 于是 当 n 3 n N 时 2n 2n 1 成立 n N 且 n 3 时 Tn 3 由 得 3n 1 n 1 2n cn 1 cn 3n 1 1 n 2n 1 3n 1 n 1 2n 2 3n 3 1 n 1 2n 0 当 n 2k 1 k 1 2 3 时 式即为 依题意 式对 k 1 2 3 都成立 1 当 n 2k k 1 2 3 时 式即为 依题意 式对 k 1 2 3 都成立 又 0 存在整数 1 使得对任意 n N 有 cn 1 cn 点评 本题考查数列递推式 等差数列的通项公式 数列求和等知识 考查恒成立问题 考查转化思想 错位相 减法对数列求和是高考考查的重点内容 要熟练掌握 21 2014 天津模拟 在等差数列 an 中 a1 3 其前 n 项和为 Sn 等比数列 bn 的各项均为正数 b1 1 公比为 q 且 b2 S2 12 求 an与 bn 设 cn an bn 求数列 cn 的前 n 项和 Tn 考点 等比数列的通项公式 等差数列的通项公式 数列的求和 菁优网版权所有 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 1 根据 b2 S2 12 bn 的公比 建立方程组 即可求出 an与 bn 2 由 an 3n bn 3n 1 知 cn an bn n 3n 由此利用错位相减法能求出数列 cn 的前 n 项和 Tn 解答 解 1 在等差数列 an 中 a1 3 其前 n 项和为 Sn 等比数列 bn 的各项均为正数 b1 1 公比为 q 且 b2 S2 12 b2 b1q q 3 分 解方程组得 q 3 或 q 4 舍去 a2 6 5 分 an 3 3 n 1 3n bn 3n 1 7 分 2 an 3n bn 3n 1 cn an bn n 3n 数列 cn 的前 n 项和 Tn 1 3 2 32 3 33 n 3n 3Tn 1 32 2 33 3 34 n 3n 1 2Tn 3 32 33 3n n 3n 1 n 3n 1 n 3n 1 Tn 3n 1 点评 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法 解题时要认真审题 注意等差数列 等比数列的性质和 错位相减法的合理运用 22 2009 河西区二模 已知等差数列 an 满足 a3 a4 9 a2 a6 10 又数列 bn 满足 nb1 n 1 b2 2bn 1 bn Sn 其中 Sn是首项为 1 公比为 的等比数列的前 n 项和 1 求 an的表达式 2 若 cn anbn 试问数列 cn 中是否存在整数 k 使得对任意的正整数 n 都有 cn ck成立 并证明你的结论 考点 等比数列的前 n 项和 等差数列的通项公式 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 1 利用等差数列的通项公式即可得出 2 利用等比数列的通项公式 分类讨论的思想方法即可得出 解答 解 1 设等差数列 an 的公差为 d a3 a4 9 a2 a6 10 解得 an 2 1 n 1 n 1 2 Sn是首项为 1 公比为 的等比数列的前 n 项和 nb1 n 1 b2 2bn 1 bn n 1 b1 n 2 b2 2bn 2 bn 1 得 b1 b2 bn 即 当 n 1 时 b1 Tn 1 当 n 2 时 bn Tn Tn 1 于是 cn anbn 设存在正整数 k 使得对 n N 都有 cn ck恒成立 当 n 1 时 即 c2 c1 当 n 2 时 当 n 7 时 cn 1 cn 当 n 7 时 c8 c7 当 n 7 时 cn 1 cn 存在正整数 k 7 或 8 使得对 n N 都有 cn ck恒成立 点评 熟练掌握等差数列的图象公式 分类讨论的思想方法 等比数列的通项公式 分类讨论的思想方法是解题的关键 23 已知等比数列 an 中 a1 公比 q Sn为 an 的前 n 项和 证明 Sn 设 bn log3a1 log3a2 log3an 求数列 bn 的通项公式 考点 等比数列的前 n 项和 菁优网版权所有 专题 综合题 分析 I 根据数列 an 是等比数列 a1 公比 q 求出通项公式 an和前 n 项和 Sn 然后经过运算即可证 明 II 根据数列 an 的通项公式和对数函数运算性质求出数列 bn 的通项公式 解答 证明 I 数列 an 为等比数列 a1 q an Sn 又 Sn Sn II an bn log3a1 log3a2 log3an log33 2log33 nlog33 1 2 n 数列 bn 的通项公式为 bn 点评 本题主要考查等比数列的通项公式 前 n 项和以及对数函数的运算性质 24 已知等差数列 an 的前 n 项和为 sn pm2 2n q p q R n N I 求 q 的值 若 a3 8 数列 bn 满足 an 4log2bn 求数列 bn 的前 n 项和 考点 等比数列的前 n 项和 等差数列的性质 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 I 根据前 n 项和与通项间的关系 得到 an 2pn p 2 再根据 an 是等差数列 a1 满足an 列出方程 p 2 q 2p p 2 即可求解 由 I 知 an 4n 4 再根据 an 4log2bn 得 bn 2n 1 故 bn 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列 即 可求解 解答 解 I 当 n 1 时 a1 s1 p 2 q 当 n 2 时 an sn sn 1 pn2 2n q p n 1 2 2 n 1 q 2pn p 2 由 an 是等差数列 得 p 2 q 2p p 2 解得 q 0 由 a3 8 a3 6p p 2 于是 6p p 2 8 解得 p 2 所以 an 4n 4 又 an 4log2bn 得 bn 2n 1 故 bn 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列 所以数列 bn 的前 n 项和 Tn 点评 本题考查了数列的前 n 项和与通项间的关系及等比数列的求和问题 在解题中需注意前 n 项和与通项间的 关系是个分段函数的关系 但最后要验证 n 1 是否满足 n 2 时的情况 属于基础题 25 已知数列 an n N 是等比数列 且 an 0 a1 3 a3 27 1 求数列 an 的通项公式 an和前项和 Sn 2 设 bn 2log3an 1 求数列 bn 的前项和 Tn 考点 等比数列的前 n 项和 等差数列的前 n 项和 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 1 先根据 a3 a1 q2 27 求出 q2 然后根据 an 0 求出 q 的值 再由等比数列的公式求出数列 an 的通 项公式 an和前项和 Sn 2 由 1 得出数列 bn 是等差数列 然后根据等差数列的前 n 项和公式得出结果 解答 解 1 设公比为 q 则 a3 a1 q2 27 3q2 即 q2 9 an 0 2 由 1 可知 bn 2log33n 1 2n 1 b1 3 又 bn 1 bn 2 n 1 1 2n 1 2 故数列 bn 是以 3 为首项 2 为公差的等差数列 点评 本题考查了等差数列和等比数列的前 n 项和 此题比较容易 只要认真作答就可以保障正确 属于基础 题 26 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a2 9 S5 65 I 求 an 的通项公式 II 令 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 考点 等比数列的前 n 项和 等差数列的通项公式 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 I 利用等差数列的首项 a1及公差 d 表示已知条件 解出 a1 d 代入等差数列的通项公式可求 II 由 I 可求 从而可得数列 bn 是首项为 b1 32 公比 q 16 的等比数列 代入等 比数列的前 n 项和公式可求 解答 解 I 2 分 解得 4 分 所以 an 4n 1 6 分 II 由 I 知 7 分 因为 8 分 所以 bn 是首项为 b1 32 公比 q 16 的等比数列 9 分 所以 12 分 点评 在数列的基本量的求解中要求考生熟练掌握基本公式 具备一定的计算能力 本题属于基础试题 27 已知等比数列 an 满足 a2 2 且 2a3 a4 a5 an 0 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 1 n3an 2n 1 数列 bn 的前项和为 Tn 求 Tn 考点 等比数列的前 n 项和 数列的求和 菁优网版权所有 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 设等比数列 an 的首项为 a1 公比为 q 则 解方程可求 a1 q 结合等比数 列的通项公式即可求解 由 bn 1 n3an 2n 1 3 2 n 1 2n 1 利用分组求和 结合等比与等差数列的求和公式即可求 解 解答 本小题满分 12 分 解 设等比数列 an 的首项为 a1 公比为 q 则 2 分 整理得 q2 q 2 0 即 q 1 或 q 2 an 0 q 2 代入可得 a1 1 6 分 bn 1 n3an 2n 1 3 2 n 1 2n 1 9 分 Tn 3 1 2