2017新浙教版九年级上册知识点

1 九年级上册九年级上册 第第 1 章章 二次函数二次函数 一 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函 2 yaxbxc abc 0a 数 叫做二次函数 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项 系数 而可以为零 二次函数的定义域是全体实数 0a bc 2 二次函数的结构特征 2 yaxbxc 等号左边是函数 右边是关于自变量 的二次式 的最高次数是 2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 abc abc 二 二次函数的基本形式 1 二次函数基本形式 的性质 2 yax a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 的性质 2 yaxc 上加下减 3 的性质 2 ya xh 左加右减 的符号a 开口 方向 顶点坐 标 对称轴性质 0a 向上 00 轴 y 时 随 的增大而增大 时 0 x yx0 x 随 的增大而减小 时 有最小yx0 x y 值 0 0a 向下 00 轴 y 时 随 的增大而减小 时 0 x yx0 x 随 的增大而增大 时 有最大yx0 x y 值 0 的符号a 开口 方向 顶点坐 标 对称轴性质 0a 向上 0c 轴 y 时 随 的增大而增大 时 0 x yx0 x 随 的增大而减小 时 有最小yx0 x y 值 c 0a 向下 0c 轴 y 时 随 的增大而减小 时 0 x yx0 x 随 的增大而增大 时 有最大yx0 x y 值 c 的符号a 开口 方向 顶点坐 标 对称轴性质 0a 向上 0h X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh 随 的增大而减小 时 有最小yxxh y 值 0 0a 向下 0h X h 时 随 的增大而减小 时 xh yxxh 随 的增大而增大 时 有最大yxxh y 值 0 2 4 的性质 2 ya xhk 三 二次函数图象的平移 1 平移步骤 方法一 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2 ya xhk hk 保持抛物线的形状不变 将其顶点平移到处 具体平移方法如 2 yax hk 下 h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 左加右减 上加下减 方法二 沿轴平移 向上 下 平移个单位 变成cbxaxy 2 ymcbxaxy 2 或 mcbxaxy 2 mcbxaxy 2 沿轴平移 向左 右 平移个单位 变成cbxaxy 2 mcbxaxy 2 或 cmxbmxay 2 cmxbmxay 2 四 二次函数与的比较 2 ya xhk 2 yaxbxc 从解析式上看 与是两种不同的表达形式 后 2 ya xhk 2 yaxbxc 者通过配方可以得到前者 即 其 2 2 4 24 bacb ya x aa 中 2 4 24 bacb hk aa 五 二次函数图象的画法 2 yaxbxc 的符号a 开口 方向 顶点坐 标 对称轴性质 0a 向上 hk X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh 随 的增大而减小 时 有最小yxxh y 值 k 0a 向下 hk X h 时 随 的增大而减小 时 xh yxxh 随 的增大而增大 时 有最大yxxh y 值 k 3 五点绘图法 利用配方法将二次函数化为顶点式 2 yaxbxc 确定其开口方向 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 2 ya xhk 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶点 与轴的交点 y 0c 以及关于对称轴对称的点 与 轴的交点 若 0c 2hc x 1 0 x 2 0 x 与 轴没有交点 则取两组关于对称轴对称的点 x 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与 轴的交点 与x 轴的交点 y 六 二次函数的性质 2 yaxbxc 1 当时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 当时 随 的增大而减小 当时 随 的增大而增大 2 b x a yx 2 b x a yx 当时 有最小值 2 b x a y 2 4 4 acb a 2 当时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为0a 2 b x a 当时 随 的增大而增大 当时 随 的增 2 4 24 bacb aa 2 b x a yx 2 b x a yx 大而减小 当时 有最大值 2 b x a y 2 4 4 acb a 七 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 2 yaxbxc abc0a 2 顶点式 为常数 2 ya xhk ahk0a 3 两根式 是抛物线与 轴两交点的横坐标 12 ya xxxx 0a 1 x 2 xx 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次 函数都可以写成交点式 只有抛物线与 轴有交点 即时 抛x 2 40bac 物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析式的这三种形式可以 互化 八 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数a 二次函数中 作为二次项系数 显然 2 yaxbxc a0a 当时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 反之 的值越小 0a aa 开口越大 当时 抛物线开口向下 的值越小 开口越小 反之 的值越大 0a aa 开口越大 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 aa 的大小决定开口的大小 a 2 一次项系数b 在二次项系数 确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 4 在的前提下 0a 当时 即抛物线的对称轴在轴左侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的右侧 0b 0 2 b a y 在的前提下 结论刚好与上述相反 即0a 当时 即抛物线的对称轴在轴右侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的左侧 0b 0 2 b a y 总结起来 在 确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 ab 的符号的判定 对称轴在轴左边则 在轴的右侧则ab a b x 2 y0 aby 概括的说就是 左同右异 0 ab 3 常数项c 当时 抛物线与轴的交点在 轴上方 即抛物线与轴交点的纵0c yxy 坐标为正 当时 抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴交点的0c yy 纵坐标为 0 当时 抛物线与轴的交点在 轴下方 即抛物线与轴交点的纵0c yxy 坐标为负 总结起来 决定了抛物线与轴交点的位置 cy 总之 只要都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 abc 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法 求二次函数的解析式必须根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简 便 一般来说 有如下几种情况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 x 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 九 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与 轴交点情况 x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊 2 0axbxc 2 yaxbxc 0y 情况 图象与 轴的交点个数 x 当时 图象与 轴交于两点 其中 2 40bac x 12 00A xB x 12 xx 的是一元二次方程的两根 这两点间的距离 12 xx 2 00axbxca 2 21 4bac ABxx a 当时 图象与 轴只有一个交点 0 x 5 当时 图象与 轴没有交点 0 x 当时 图象落在 轴的上方 无论 为任何实数 都有 1 0a xx0y 当 时 图象落在 轴的下方 无论 为任何实数 都有 2 0a xx0y 2 抛物线的图象与轴一定相交 交点坐标为 2 yaxbxc y 0 c 3 二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与 轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 x 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式 根据图象的位置判断二次函数中 的符号 或由二次 2 yaxbxc abc 函数中 的符号判断图象的位置 要数形结合 abc 二次函数的图象关于对称轴对称 可利用这一性质 求和已知一点对称的 点坐标 或已知与 轴的一个交点坐标 可由对称性求出另一个交点坐标 x 与二次函数有关的还有二次三项式 二次三项式本身就是 2 0 axbxc a 所含字母 的二次函数 下面以时为例 揭示二次函数 二次三项式和x0a 一元二次方程之间的内在联系 第第 2 章章 简单事件的概率简单事件的概率 一 可能性一 可能性 1 必然事件 有些事件我们能确定它一定会发生 这些事件称为必然事 件 2 不可能事件 有些事件我们能肯定它一定不会发生 这些事件称为不可 能事件 3 确定事件 必然事件和不可能事件都是确定的 4 不确定事件 有很多事件我们无法肯定它会不会发生 这些事件称为不 确定事件 5 一般来说 不确定事件发生的可能性是有大小的 二 简单事件的概率二 简单事件的概率 1 概率的意义 表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事件的概 率 2 必然事件发生的概率为 1 记作 P 必然事件 1 不可能事件发生的概 率为 0 记作 P 不可能事件 0 如果 A 为不确定事件 那么 0 P A r 点 P 在 O 外 d r 点 P 在 O 上 d r 点 P 在 O 内 5 三角形的外接圆 外心 三角形的外心 是三角形三边垂直平分线的交点 它是三角形外接圆的圆 心 知识点 锐角三角形外心在三角形内部 直角三角形的外心是斜边中点 钝角三角形外心在三角形外部 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等 相关知识 三角形重心 是三角形三边中线的交点 在三角形内部 二 圆的性质二 圆的性质 1 旋转不变性 圆是旋转对称图形 绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合 2 圆是中心对称图形 对称中心是圆心 性质 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦 两个弦心距 中有一对量相等 那么它们所对应的其余各对量也分别相等 3 轴对称 圆是轴对称图形 经过圆心的任一直线都是它的对称轴 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 在同圆或等圆中 两条平行弦所夹的弧相等 即 是直径 弧弧 ABABCD CEDE BC BD 弧弧中 任意 2 个条件推出其他 3 个结论 AC AD 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 即 在 中 OABCD 弧弧AC BD 4 与圆有关的角 圆心角 顶点在圆心的角叫圆心角 圆心角的性质 圆心角的度数等于它所对的弧的度数 圆周角 顶点在圆上 两边都和圆相交的角叫做圆周角 圆周角的性质 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对 的弧相等 90 的圆周角所对的弦为直径 半圆或直径所对的圆周角为直角 三 弧 扇形 圆锥侧面的计算三 弧 扇形 圆锥侧面的计算 圆的面积 周长 2 RS RC 2 O E DC B A 8 圆心角为 n 半径为 R 的弧长 180 Rn l 圆心角为 n 半径为 R 弧长为 l 的扇形的面积 或 360 2 Rn S lRS 2 1 知识点 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和 差来计算 圆锥的侧面展开图为扇形 底面半径为 R 母线长为 l 高为 h 的圆锥的侧面积为 全面积为RlS 母线长 圆锥高 底面圆的半径之间有 2 RRlS 222 hRl 四 作图四 作图 平分已知弧 作三角形的外接圆 五 辅助线五 辅助线 圆中常见的辅助线 1 作半径 利用同圆或等圆的半径相等 2 作弦心距 利用垂径定理进行证明或计算 3 作半径和弦心距 构造由 半径 半弦和弦心距 组成的直角三角形进行计算 4 作弦构造同弧或等弧所对的圆周角 5 作弦 直径等构造直径所对的圆周角 直角 6 遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点 第第 4 章章 相似三角形相似三角形 知识点知识点1 1 相似图形相似图形 形状相同的图形叫相似图形 在相似多边形中 最简单的是相似三角形 知识点知识点 2 比例线段的相关概念比例线段的相关概念 如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为 那么就说这两条线ba nm 段的比是 或写成 n m b a nmba 注意 在求线段比时 线段单位要统一 单位不统一应先化成同一单位 在四条线段中 如果的比等于的比 那么这四条线段dcba ba和dc和 叫做成比例线段 简称比例线段 dcba 注意 1 当两个比例式的每一项都对应相同 两个比例式才是同一比例式 2 比例线段是有顺序的 如果说是的第四比例项 那么应得比例adcb 式为 a d c b 知识点知识点 3 比例的性质比例的性质 基本性质 1 bcaddcba 2 bacbcca 2 注意 9 ab cd acdc bdba db ca 交换内项 交换外项 同时交换内外项 由一个比例式只可化成一个等积式 而一个等积式共可化成八个比例式 如 除bcad 了可化为 还可化为 dcba dbca badc cadb cdab bdac abcd acbd 更比性质 交换比例的内项或外项 反比性质 把比的前项 后项交换 c d a b d c b a 合比性质 d dc b ba d c b a 注意 实际上 比例的合比性质可扩展为 比例式中等号左右两个比的前 项 后项之间 发生同样和差变化比例仍成立 如 等等 dc dc ba ba c cd a ab d c b a 等比性质 等比性质 如果 那 0 nfdb n m f e d c b a 么 b a nfdb meca 注意 1 此性质的证明运用了 设法 这种方法是有关比例计算 k 变形中一种常用方法 2 应用等比性质时 要考虑到分母是否为零 3 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数 再 利用等比性质也成立 如 其中 b a fdb eca f e d c b a f e d c b a 32 32 3 3 2 2 032 fdb 知识点知识点 4 比例线段的有关定理比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 推论 1 平行于三角形一边的直线截其它两边 或两边的延长线 所得的对应线段 成比例 2 平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线 所截得的三角形的三边 与原三角形三边对应成比例 定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成 比例 那么这条直线平行于三角形第三边 知识点知识点 5 黄金分割黄金分割 10 把线段分成两条线段 且使是的比例中AB BCACBCAC ACBCAB和 项 叫做把线段黄金分割 点叫做线段的黄金分割点 其中ABCAB 0 618 ABAC 2 15 AB 知识点知识点 6 相似三角形的概念相似三角形的概念 对应角相等 对应边成比例的三角形 叫做相似三角形 相似用符号 表示 读作 相似于 相似三角形对应边的比叫做相似比 或相似系数 相似三角形对应角相等 对应边成比例 注意 对应性 即两个三角形相似时 通常把表示对应顶点的字母写在对应位 置上 这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 顺序性 相似三角形的相似比是有顺序的 两个三角形形状一样 但大小不一定一样 全等三角形是相似比为 1 的相似三角形 二者的区别在于全等要求对应 边相等 而相似要求对应边成比例 知识点知识点 7 相似三角形的基本定理相似三角形的基本定理 定理 平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边延长线 相交 所构成 的三角形与原 三角形相似 定理的基本图形 用数学语言表述是 BCDE ADE ABC 知识点知识点 8 相似三角形的等价关系相似三角形的等价关系 1 反身性 对于任一有 ABC ABC ABC 2 对称性 若 则 ABC CBA CBA ABC 3 传递性 若 且 则 ABC CBA CBA CBA ABC CBA 知识点知识点 9 三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法 1 定义法 对应角相等 对应边成比例的两个三角形相似 2 平行法 平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角 形与原三角形相似 3 判定定理 1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相 等 那么这两 个三角形相似 简述为 两角对应相等 两三角形相似 4 判定定理 2 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成 比例 并且夹 角相等 那么这两个三角形相似 简述为 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 5 判定定理 3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成 比例 那么这 11 E A D C B E A D CB AD C B 两个三角形相似 简述为 三边对应成比例 两三角形相似 6 判定直角三角形相似的方法 1 以上各种判定均适用 2 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形