重庆大学线性代数期末考试试卷及答案2011年12月

1 线性代数线性代数 11A201106 试卷答案试卷答案 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 3 分 共分 共 18 分 分 1 设互不相同 行列式 则的充要条件是 x y z 222 xyz Dxyz yzzxxy 0D 第 1 行加到第 3 行 提取公因式 可变为范得蒙行列式 0 xyz 2 设是阶方阵 且 则 A B50 2ABR A R B 3 3 已知 方阵满足 则 21 12 A B23BABE B 9 4 设三阶矩阵 如果与线性相关 则 122 212 1 3041 x A A x 1 5 设是非齐线性方程的三个解向量 如果是该方程的 123 Axb 1 12233 kkk 解 则满足条件 123 k k k 123 1kkk 6 若三阶方阵满足 则有一个特征值为 A2 20AAE A 1 二 单项选择题 每小题 分 共二 单项选择题 每小题 分 共 18 分 分 1 设均为阶方阵 则必有 C A Bn A B C D ABAB ABBA ABBA 111 ABAB 2 以下结论正确的是 A 若 则 B 若 则或 0A 0A 0AB 0A 0B 若 则 D 若为对称阵 则为对称阵 2 0A 0A A 2 A 3 设均为阶方阵 则必有 A A Bn R AR B A 等价于 B 与有相同的解空间 AB0Ax 0Bx C 相似于 D 合同于 ABAB 4 设为阶方阵 则必有 C A B CnABC A B C D R AR B R BR C R CR A R CR B 2 5 齐次线性方阵有非零解的充要条件是 B 0Ax A 的行向量组线性相关 B 的列向量组线性相关 AA C 的行向量组线性无关 D 的列向量组线性无关 AA 6 设方阵有相同的特征值 则必有 n A B A B C 相似于 D AB R AR B T A T BAEBE 3 三 计算题 一 三 计算题 一 每小题 每小题 8 分 共分 共 24 分 分 1 计算行列式的值 2132 3332 3112 3131 D 解 70D 2 已知向量组 1234 1 1 2 0 1 2 3 2 2 2 4 4 2 1 5 6 5 4 1 9 14 说明线性无关 求该向量组的秩及一个最大无关组 1 13 2 解 1 因对应分量不成比例 13 2 12345 1122411224 1221101011 23459004412 02461400000 所以秩为 最大无关组为或其它 123 3 设矩阵 矩阵满足 011100 101 110 110111 AB XAXABXBBXAAXBE 求 X 解 AXABXBBXAAXBEAB XAAB XBE 且 AB X ABE 可逆 111 011 001 AB 1 112 011 001 AB 故 11 125 012 001 XABAB 4 四 计算题 二 四 计算题 二 每小题 每小题 12 分 共分 共 24 分 分 1 当取何值时 线性方程组有唯一解 无解 有无穷解 1234 134 134 1234 0 221 3 2 231 xxxx xxx xxx xxxx 并在有无穷多解时求其通解 解 1111011110 1022101 111 103200101 231100010 A 1 当时 方程组有唯一解 1 4R AR A 2 当时 方程组无解 1 1 2 3R AR A 3 当时 方程组有无穷解 此时1 1 24R AR A 1111010221 01 11101111 0000000000 0000000000 A 通解为 12 122 111 010 001 xkk 2 已知三阶方阵有三个线性无关的特征向量 是的二重特征 111 4 335 Axy 2 A 根 求可逆方阵使为对角阵 P 1 P AP 解 A 有三个线性无关的特征向量 且是的二重特征根 则必有2 A 2 1R AE 而 故 111111 22 202 333000 AExyxy 2 2xy 另一特征根为 2 111 242 2 6 335 AAE 6 所对应的特征向量为 12 2 12 1 1 0 1 0 1 TT pp 5 所对应的特征向量为 3 6 3 1 2 3 Tp 记 则为对角阵 123 Pp pp 1 P AP 五 综合题 每小题五 综合题 每小题 8 分分 共共 16 分 分 1 设均为阶方阵 满足 证明可逆 且 A BnABAB AE ABBA 证明 ABABA BEBA BEEBEAE BEE 故可逆 AE AE BEEBEAEEAE BEBEAE 故ABBA 2 设为阶方阵 是维列向量 且 如果An 123 3 n n 3 0 证明向量组线性无关 11222333 AAA 123 证明 设满足 123 k k k 112233 0kkk 由已知 12233