毕业论文---数学系---因式分解

1 学号 学号 20090410472009041047 华南师范大学华南师范大学 学士学位论文学士学位论文 题题 目目 浅析因式分解浅析因式分解 学学 生生 指导教师指导教师 年年 级级 专专 业业 数学与应用数学数学与应用数学 系系 别别 数学系数学系 学学 院院 数学科学学院数学科学学院 2 华南华南 师师 范范 大大 学学 学士学位论文开题报告学士学位论文开题报告 论文题目 学生姓名 指导教师 年 级 专 业 2012 年 11 月 3 课题来源 教师提供 课题研究的目的和意义 中学代数式的问题 可以概括为四大类 计算 求值 化简 论证 解代数 式问题的关键是通过代数运算 把代数作恒等变形 代数式恒等变形的重要手 段之一是因式分解 它贯穿 渗透在各种代数式问题之中 因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的 它为以后学习分 式运算 解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础 所以因式分解是中学代数教材的一个重要内容 它具有广泛的基础知识的功能 由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识 并且因式分 解的途径多 技巧性强 逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度 所以因式 分解又是发展学生智能 培养能力 深化学生逆向思维的良好载体 正因为因 式分解具有良好的培养能力和思维的功能 所以因式分解又是中学代数教材的 一个难点 4 国内外同类课题研究现状及发展趋势 现查阅到的国内参考文献 1 11 中作者对因式分解都有一些思考和归纳总 结 但都没有进行深入的研究 没有比较全面系统的探讨 在所查到的国外参考文献中 对因式分解都做了介绍 也给出了相关的例题 说明 但未作深入系统的研究 课题研究的主要内容和方法 研究过程中的主要问题和解决办法 本课题主要分为五部分 第一部分是因式分解的概念 第二部分是因式分解的方法 第三部分是因式分解在解题中的应用 第四部分是因式分解所涉及到的思想方法 第四部分是关于因式分解的错误分析 具体的研究方法 充分利用网络资源及校图书馆的资料 并对材料归纳总结 还要结合自己的 见解 如果在写的过程中遇到不懂的问题 将会和指导老师研究 直到问题解 决 研究过程中遇到的困难和问题 以及解决的办法 1 查找资料困难 去图书馆或者上网寻找 2 本课题理论性比较强 查找资料 客观判断问题 3 遇到自己无法解决的问题 找指导老师指导 5 课题研究起止时间和进度安排 2012 年 10 月 15 日 2012 年 11 月 15 日 确定论文题目 查找资料 完成毕业 论文开题报告 2013 年 1 月 31 日 2013 年 2 月 5 日 查阅 收集和整理资料 对其进行综 述 2013 年 2 月 13 日 2013 年 3 月 1 日 中期检查 情况汇报 2013 年 3 月 8 日 2013 年 4 月 1 日 完成总结 整理全文 完成论文初稿的撰 写 交指导老师审阅 2013 年 3 月 9 日 2013 年 4 月 25 日 按指导老师意见 完成论文的修改以及 论文答 指导教师审查意见 指导教师 签字 年 月 6 教研室 研究室 评审意见 教研室 研究室 主任 签字 年 月 院 系 审查意见 院 系 主任 签字 年 月 学学 士士 学学 位位 论论 文文 题题 目目 浅析因式分解浅析因式分解 学学 生生 潘雅清潘雅清 7 指导教师指导教师 王洪杰王洪杰 讲师讲师 年年 级级 2009 级级 专专 业业 数学与应用数学数学与应用数学 系系 别别 数学系数学系 学学 院院 数学与科学学院数学与科学学院 哈尔滨师范大学 2013 年 4 月 0 因式分解浅析因式分解浅析 潘雅清 摘摘 要要 因式分解是数学中恒等变形的一种重要的方法 它在初等数学乃至高等数学中 都有广泛的应用 本论文首先运用类比和大量的举例对因式分解概念作了说明 其次给出 了因式分解的一些方法以及应用过程 然后对因式分解中所涉及到的数学思想作了归纳和 总结 最后通过调查分析了解了学生在学习因式分解中常出错的地方 并给出了应对方法 因为本论文主要从理论上阐述了因式分解中的一些重要内容及方法 因此对于一般因式 数域 公因式等的定义都没有另行叙述而直接采用 关键词 关键词 因式分解 概念 方法 思想 错误分析 一一 因式分解概念 因式分解概念 在算术中 我们已掌握了整数分解质因数的概念 如 在此基础上 由数5315 向式过渡 我们得到因式分解的一般定义 通常把一个多项式分解为几个不能再分的因式的乘积 称作多项式的因式分解 对于一个多项式能否因式分解 不能孤立的来考虑 在不同的数域内有不同的结论 为了说清楚这个问题 我们必须引进几个概念 1 所谓多项式在给定的数集内讨论 是指多项式中的一切系数 以及自变量所取的值 都要属于这个数集 例 1 分解的因式4 4 x 在有理数域中 它的分解式是 分解到这里就不能再继续分解 2 2 22 xx 不然的话 分解式的系数将超出有理数的范围 在实数域中 它的分解式是 分解到这里 就不能再继续分解 在复数域中 它的分解式 2 2 2 2 xxx 由此可见 对多项式的分解 必须先明确系数的数 2 2 2 2 ixixxx 域 再理解其不能再分的含义 2 当然因子和非当然因子 在给定的数集内 任一多项式总能被该数集内的一个非零 数整除 而且所除得的商与原多项式只差一个非零数值因子 例 2 在有理数集内分解 116 4 1 4 1 414 222 xxx 这种和原多项式只差一个非零数值因子的多项式叫做原多项式的当然因子 一切其他 因子叫做原多项式的非当然因子 如上例中 等是4 4 1 4 1 2 x 416 2 x 的当然因子 而 是它的非当然因子 因此 我们研究多项式的14 2 x 12 x 12 x 因式分解 只是从它能否表示成非当然因子的积来考虑的 3 可约多项式和不可约多项式 在某个数域上次数的多项式 如果他不能1 n xp 表示成这个数域上两个次数比的次数低的多项式的乘积 我们称多项式为这个 xp xp 1 数 域上的不可约多项式 按照定义 一个多项式是否可约 是依赖于它的系数域的 xp 当系数域改变后 它的可约与否就可能改变 如在指定的数集内多项式有非当然因子 那 么这个多项式在这个数集内是可约的 否则就叫做不可约 关于因式分解中不能再分问题 有几个重要命题 1 在复数域 推论 1 多项式总可以在复数域中分解 0 01 1 1 n n n n n aaxaxaxaxp 成个一次式的积 n 推论 2 在复数域上 只有一次式是不可约的 任何大于 的多项式都是可约多项式 1 定理 1 如果实系数次多项式 1 nn 有一个虚数根 其中 为 0 01 1 1 n n n n n aaxaxaxaxf bia ab 实数 那么也是的根 0 bbia xf 例 3 在复数域上分解下列各式 2 2 2 2 2 2 12 12 2 1 1 222224 xixxxxxxxx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ixixi 1 110 n n xxxx 其中 n k i n k k 2 sin 2 cos 0 k11 n 2 在实数域 定理 2 在实数域中只存在一次和二次不可约多项式 任何次数的多项式总是3 n 可约的 在实数集内 一个二次三项式是不可约的充要条件是 0 2 acbxax 04 2 acb 例 4 在实数域上分解下列各式 74 2 6156 8 14156 22323 xxxxxxxxx 的 在实数域上不能再分 74 2 xx 0 74 2 xx 33 3 9 3 3 93 3 27 222222426 xxxxxxxxxx 33 2 xx 因为在实数域上最多有二次不可约多项式 像上面的一定可以再分 93 24 xx 2 这一点往往会被忽略 3 在有理数域 除一次式不可约外 次数高于一次的多项式 都可能会是不可约的 有理系数多项式 可以归结为整系数多项式来讨论 设是有理系数多项式 选取适当的整数乘以 01 1 axaxaxaxf n in n n c 总可以使是整系数多项式 如果的各项系数有公因式 可以提出来 xf xcf xcfd 即 其中是各项系数互质的整系数多项式 xdgxcf xg c d xf xg 例 5 这里 6155 15 2 5 2 2 3 2 2424 xxxxxf 6155 24 xxxg 关于整系数多项式的因式分解 有以下定理 定理 3 艾森坦因判别法 设Eisenstein 是一个整系数多项式 如果有一个素数使 0 01 1 1 n n n n n aaxaxaxaxf p 得 那么在有理数域上不可约 xf 1 例 6 证明下列各式在有理数域上不可约 2128 234 xxx 证 取 因为能整除 1 4 a8 3 a12 2 a0 1 a2 0 a2 p28 不能整除 不能整除 由艾氏判别法知 原式在有理数上不可约 120221 2 22 2 3 xxf 证 因为 取素数 那么不能整除 不能1 3 a0 12 aa2 0 a2 p21 2 2 整除 能整除 故由艾氏判别法知 在有理数域上不可约 2202 3 x 在中学课本中 一方面以 把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做多项式的因式 分解 来替代本文开头的严格定义 另一方面又加了几个注意 分解因式必须分解到每 一个因式都不能分解为止 而在中学范围内 学生所掌握的数还只限于有理数 因此 分解到每一个因式都不能分解为止 是指所分得因式的系数为有理数 随着学生接触的 数的范围不断扩大 这句话就有了新的意义 有些本来认为不能再分解了 而这时还可以 3 继续分解 因此交代这个 注意 时不要把话说死了 而要留有余地 二二 因式分解的一般解法因式分解的一般解法 一元多项式的因式分解 1 根据多项式的有理根 要是的根则就是的因式 根据多项式a xf ax xf 的有理根可知 要是得根必须是的形式 其中 是多项式最高次项系数 xf v u 1 vuv 的约数 是多项数常数项的约数 给出所有的的值再逐一的验证 实际问题u 2 xf v u 中的根往往是整数 所以我们可以优先验证整数 在具体的题里我们可以优先验证那些相 对小的整数 2 根据多项式的标准分解式 在理论上已经证明任意一个次数大于 0 的多项式都可以 分解成为不可约多项式乘积的形式 即都可以分解成 xf t k t kk xpxpxapxf 21 21 则其中每个都不能整除 21 2 2 1 1 xgxpxpxapxf tk t kk t xpi xg 由于 tk t kk t xpxpxapxfxf 21 2 2 1 1 存在使 21 xpxpxapxq t xqxfxfxf 由此可见和具有完全相同的形式 差别只是中的因式的重数为 所 xq xf xq1 以求的因式就可以转化成求的因式 例 1 求多项式的标准分解式 4152010 235 xxxxxf 解 由 得1540305 24 xxxxf133 23 xxxxfxf 所以得不可约因式为 但是43 2 xxxfxfxfxq xq1 4 xx 又由重因式定理 是的重因式 所以 3 1 xxfxf1 x xf4 4 1 4 xxxf 二元一次多项式的因式分解 1 提取公因式 找多项式每项的公因式 提公因式 注意问题 每个括号多不能提 每个括号的第一项不能提数 数字的最大约数不一定为 1 4 nn xyyx 22 1212 nn xyyx baba 分解后答案不能有多重括号 每个括号都要化简 数字和单个字母要写在最前面 能变相同的要写相同因式 求代数的值 先因式分解在求值 2 公式法 平方差公式 2 2 4 2 aaa 注意 分解的结果不能为根号 完全平方公式 222 2 bababa 注意 必须是三项式 有两个 项 的平方 有两个 项 的符号相同 有这两 项 的倍或倍 22 3 分组分解法 如果整式是 项 分组方法有 分 分 必须是完全平方 42 213 项 分组分解是 分 523 项 分组分解是 分 分 分 62 2 23213 3 例 2 分解因式 byyabxxa 解法一 分2 2 byyabxxa byyabxxa baybax yxba 解法二 分13 byyabxxa bybxyaxa yxbyxa yxba 4 十字相乘法 定义 常数项是正数时 它分解成两个同号的因数 它们与一次项系数符号相同 常数项是负数时 它分解成两个异号的因数 其中绝对值较大的因数与一次 系数符号相同 5 例 3 分解因式 107 2 xx 分析 752 1052 111 解 107 2 xx 5 2 xx 例 4 分解因式 43 2 xx 分析 314 441 111 解 43 2 xx 1 4 xx 二元二次多项式的因式分解 二元二次多项式 feydxcybxyaxyxF 22 的因式分解 与二元二次方程租的求解及二次曲线的讨论都有密切的关系 对 的因 式分解 一般都是采用待定系数法 3 假设能分解为两个一次因式和的乘积 即 yxFnmylx nymxl nymxlnmylxyxF 2 2 nnynmmnxlnnlymmxymllmxll 与 比较 应有 22 ymxlmylxcybxyax 2 nxlnlxfdxax 2 nxlnlxfdxax 反之如果存在实数使 三个式子同时成立 则必可 nmlnml yxF 以分解成为两个一次因式和的乘积 由此可知 如果nmylx nymxl 和至少有一个不能分解 或者不存在 22 cybxyax fdxax 2 fdxax 2 使 三个式子同时满足 的实数 则就不可以分lmn l m n yxF 解成为两个一次因式的乘积 在解题的时候 我们可以先求出 中任意两个分解 6 式 再验证另外一个式子是否成立 例 5 判断下列两个多项式是否可以分解成为两个一次因式的乘积 若能分解 求出其 分解式 33562 22 yxyxyx296 22 yxyxyx 解 因为 2 32 62 22 yxyxyxyx 1 32 352 2 xxxx 12 33 336 2 yyyy 所以 原式可以分解为两个一次因式的1 2 1 3 3 2 nmlnml 乘积 12 332 33562 22 yxyxyxyxyx 显然 在实数范围内不能分解 所以原式不能分解成为两个一次因2 2 xx 式的乘积 对于系数比较简单的情形 我们可以不写出分解式 而只要利用十字相乘 法便可以得到结果 三三 因式分解的特殊解法 因式分解的特殊解法 1 拆项法 它是指把多项式的某一项分裂成为两项 利用分组来分解因式的方法 它常适用于双 二次三项式 二次三项式 三次四项式 四次二项式 四次三项式等多项式的因式分解 例 1 分解因式 1213 3 xx 分析 把常数项分解为12131 解 1213 3 xx 13113 3 xx 1313 1 3 xx 1 13 1 1 2 xxxx 13 1 1 2 xxx 12 1 2 xxx 4 3 1 xxx 例 2 在有理数范围内分解因式 111 24 xx 7 分析 把二次项分解为两项 2 11x 22 92xx 解 111 24 xx 192 224 xxx 224 9 12 xxx 222 3 1 xx 3 1 3 1 22 xxxx 13 13 22 xxxx 2 添项法 它是指在多项式中添加某一辅助项 利用分组来分解因式的方法 它也常适用于双二 次三项式 二次三项式 三次四项式 四次二项式 四次三项式等多项式的因式分解 例 3 在有理数范围内分解因式 524 3 xx 分析 添加辅助项 2 5x 解 524 3 xx 223 55524xxxx 5245 5 223 xxxx 5 15 5 2 xxxx 15 5 2 xxx 15 5 2 xxx 3 待定系数法 它是指形如二次二项式 在指定数域内能分解成FEyDxCyBxyAx 22 为 通过恒等的性质 确定 待定分解因式的 feydxcbyax abcd 方法 它适用于有二次齐次项的多项式的因式分解 以及某些缺项的高次多项式的因式分 解 例 4 分解因式 529372 22 yxyxyx 解 由 3 2 372 22 yxyxyxyx 8 设原式 3 2 fyxcyx cfyfcxcfyxyx 3 2 37 22 与原式比较对应项系数 得 92 cf 23 fc 5 cf 解得5 1 fc 故 53 12 529372 22 yxyxyxyxyx 4 对称法 它是指形如二元二次式形式的多项式的因式分解 222 yxzxzyzyx 的方法 他通常有一般的解法和特殊的解法两种 一般说来 在初中阶段应重点掌握特殊 解法 例 5 分解因式 222 yxzxzyzyx 分析 当时原式 故可断定是原式的一个因子 同理 yx 0 yx zy 也是原式的因子xz 解 设原式 令 把他们代入等式的 yxxzzym 2 1 0 zyx 两边 得 02 21 10 10 2 02 1 21 0 222 m 化简整理 得 解得 故m22 1 m 222 xzzyyxyxzxzyzyx 5 综合除法法 它是指根据多项式的除法原理 找出多项式的有理因式 再寻求因式分解的方法 它 常适用于高次多项式的因式分解 例 6 分解因式 8147 22 xyx 分析 设 则可知 故可断定原8147 22 xyxxf0 1 f0 2 f 式有因子或 通过综合除法 可找出其余的因子 1 x 2 x 解 由经验得 均为的根 可知原式有或1 x2 x0 xf 1 x 9 两个因子 根据多项式除法 得 2 x 86 1 8147 222 xxxxyx 4 2 1 xxx 四四 因式分解在解题中的运用 因式分解在解题中的运用 1 在求值问题中的运用 例 1 已知求的值 014642 222 zyxzyxzyx 解 由 014642 222 zyxzyx 对分别配方 得zyx 0 3 2 1 222 zyx 因为 所以0 1 2 x0 2 2 y0 3 2 z 03 02 01 zyx 于是得到故 3 2 1 zyx2 zyx 本题是利用配方法将已知等式化成的形式 从而得出0 222 CBA 0 0 0 CBA 例 2 已知为任意实数 试求的最小值 x22 2 xx 解 因为 由于 且仅1 1 1 12 22 222 xxxxx0 1 2 x 当时 故 且仅当时 因此得1 x0 1 2 x11 1 2 x1 x11 1 2 x 到最小值是 仅当时 22 2 xx11 x122 2 xx 由以上两例的求解过程可以看出 利用配方法变形代数式以达到问题的解决是一种常 用的方法 2 在分式运算中的运用 例 3 化简 22 22 22 2 22 xyyx yxyx xyyx yxx 解 22 22 22 2 22 xyyx yxyx xyyx yxx 10 22 yxxy yx yxxy yx xy yx xy yx xyxy 1111 x 2 例 4 计算 3 32 1 41 2 22 a aa aaa a 解 3 32 1 41 2 22 a aa aaa a 1 3 3 1 1 41 2 aa a aaaa a 1 1 1 1 4 1 2 aaaa aa 1 1 1 1 1 2 aaaa a aa 2 1 对分式的运算 通常应先化简 因而应将因式的分子 分母分解因式后约分 然后再 计算 当然 在运算过程中亦应注意简化 3 在二次根式计算中的运用 例 5 满足等式的正整数对2003200320032003 xyyxyxyx 的个数是 yx A B C D 1234 解 由等式 2003200320032003 xyyxyxyx 得出 0 2003 200320032003 2 xyyxyxyx 11 此式重新组项 得 0 2003 20032003 2003 2 yxxyyxyx 分别提取共因式 得出 0 2003 2003 2003 yxyxxy 进而得到 0 2003 2003 yxxy 由于 所以 从而得出2003 yx002003 x 又因为整数是质数 必然有2003 xy2003 或 2003 1 y x 1 2003 y x 故应选择答案B 4 在等式恒等式中的运用 例 6 设 n 为正整数 且 cbacba 1111 求证 121212121212 1111 nnnnnn cbacba 证明 式去分母 移项得 0 abccbaacbcab 上式中 时等式成立 又由上式左端的对称性可知 当 时 ba cb ac 等式亦成立 注意到 式左端三次多项式 因而它可分解因式为 accbbakabccbaacbcab 其中 是一待定常数 令即可得出 k1 cba1 k 这样 式变形为 0 accbba 故 已知条件 式等价于且 中至少有一个等于 0 abcba cb ac 0 若 由此有 分别代入求证式的左 右两端 得到0 baba 121212121212 1111 nnnnnn cbbcba 12 1 n c 12 121212121212 1111 nnnnnn cbbcba 12 1 n c 故 当时求证式成立 0 ba 类似可证当时求证式亦成立 因此在条件之下求证式成立 此例中 已知式的变形 特别是其左端的因式分解 是解题的关键 五五 因式分解中涉及的数学思想 因式分解中涉及的数学思想 1 类比思想 利用数形性结合的方法 类比揭示因式分解是一种代数式的恒等变形 例 1 观察图 1 和图 2 求阴影部分的面积 我们可求出图 1 1 中阴影部分的面积是 图 1 2 中阴影部分的面积是 22 ba ba 同时观察图 1 1 和图 1 2 的结构可知图 1 2 是由图 1 1 的部分旋转 平移 ba B 后得到的 这两种图形变换不改变图形的面积 因此 从而可 22 bababa 认识到因式分解是一种式的恒等变形 2 通过对比 加深学生对因式分解的理解 学习因式分解 首先要明确因式分解与整式乘法的联系与区别 即整式乘法是把几个 整式相乘并展开为一个多项式 而因式分解是把一个多项式化成几个因式相乘 而且必须 把每个因式分解到不能再分解为止 对此 我们总结出以下表格 表 1 1 整式乘法 名称 整式乘法因式分解 因式分解 名称 特点 单项式乘 以多项式 mcmbma cbam cbam mcmbma 提取公因 式法 提出各项公有的 因式 13 平方差公 式 22 ba baba 22 baba ba 平方差 仅二项 都为完 全平方项且为减 法 完全平方 公式 22 2 2 baba ba 2 22 2 ba baba 完全平 方 二次三项式中 二项是完全平方 式且为同号 另 一项是两数积的 2 倍 立方和或 立方差公 式 33 22 ba bababa 22 33 bababa ba 立方和 或立方 差 公 式 法 二项和或差 且 每项都为某数的 立方 bnanbmam nmba nmba banbam dmcmbmam 分组分解 法 四项 分组后能 直接提公因式 abxbax bxax 2 abq bap bxax qpxx 其中 2 二次三项式 二 次项系数为 1 且不为完全平方 公式 多项式乘 以多项式 21 1221 2 21 2211 cc xcacaxaa cxacxa 21 1221 21 2211 2 ccc cacab aaa cxacxa cbxax 其中 十 字 相 乘 法 二次三项式 二 次项系数不为 1 且不为完全平 方公式 通过列表 把整式乘法同因式分解对应起来 学生通过对比分析 就可以明确因式分 解和整式乘法相互间的联系与区别 2 转化思想 转化思想就是对于不能直接分解的某些多项式 若通过转化 如添项拆项等变形 则 可以因式分解 例 2 在复数域分解因式 4224 yyxx 解 这个式子可以配乘积项 利用平方差共公式分解 4224 yyxx 224224 2yxyyxx 222 yxyxyxyx 22222 yxyx 2 31 2 31 y i xy i x 14 例 3 在有理数域分解因式 224 12aaxxx 分析 这是一个五项式 没有公因式可提 也不能用公式法或分组分解 但其中有三 项式 如果把拆成 则可得平方差公式 1 24 xx 2 x 22 2xx 解 224 12aaxxx 1 1 1 2 12 122 22 222 224 2224 axxaxx axx aaxxxx aaxxxx 3 换元思想 将多项式的某些项用其它字母代换 通过换元可以将复杂的多项式转变成简单的多项 式 将陌生的形式转变成熟悉的形式 再分解因式 例 4 分解 124 222 xxxx 解 设 则把原始化为 这是个二次三项式 它的分解xxy 2 124 2 yy 式是 再把带回原式 则 2 6 124 2 yyyyxxy 2 124 222 xxxx 2 2 3 2 6 2 22 xxxx xxxx 例 5 分解 2 3 12 10 6 5 4xxxxx 解 2 3 12 10 6 5 4xxxxx 2222 22222 222 2 1085 60 132 60 4 31088 60 132 60 4 3 6016 6017 4 3 10 6 12 5 4 xxx xxxxx xxxxx xxxxx 设 则上式为60 2 xy 312 352 10851324 22 xyxyxxyy 原式为 311202 351202 222 xxxx 15 4 26535 2 26535 2 152 8 120352 152 8 2 xxxx xxxx 4 整体思想 用整体思想分解因式 是指将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解 六六 错误分析 错误分析 现列出平时书面检测中 有关因式分解的问题 指出哪些是因式分解 那些不是因式分解 1 mzmymxzyxm 2 1 1 4144 223 xxxxxx 3 33333 3 27yaxyxa 4 1 4444 22 xxxx 经过调查发现正确指出 题是因式分解的学生占 90 正确指出 不是因式分解的学生各占 81 68 68 两题等号右边有一部分和因式分解 相似 答对的人数明显降低 这是因为学生对定义中 几个整式的积的形式 作了片面的 理解 当他们看见等式右边的一部分式子具有 积的形式 与因式分解相似 就把它与因 式分解等同起来 因此 指出错误的题目就要比指出正确的题目要困难些 经过类似的调查和分析 我们知道了学生在因式分解中出错的主要原因是 1 混淆了乘法运算和因式分解 如 分25 5 5 25 2 xxxx 解后又作乘法 2 只 分解 多项式的某几项 如 9 6 96 2 aaaa 3 不知分解到何时为止 尤其把 不会 与 不能 混淆 以为不会就是不能 4 不正确的按字母按顺序分 如 39 24 3924 22222222 ccabbaccabba 5 不能正确地改变符号 如 2 5 10 5 10 5 22333 yxyxyxyxxyyx 针对以上情况 应采取以下措施 类比质因式数提出分解多项式的问题 并且指出多项式因式分解是把一个多项式 分成几个整式的积的形式 再对比说明 乘法运算是把几个整式 乘出来 要用实例让学生了解 尚能分解时 还要继续分解下去 直到不能再分解为止 要让学生注意字母型形象和各项顺序对因式分解的影响 并且要使学生充分掌握符号 法则和基本顺序 16 参考文献 参考文献 1 牛继武 张羽 张寅 因式分解及其应用 天津市数学会 中学数学丛书 1998 1 2 李颖 一元多项式因式分解的方法 大庆师范学院学报 2006 4 3 霍思琼 二元二次式因式分解的简便方法 昭通师范高等专科学校学报 2001 9 AUTHOR FACTORING Pan Abstract Factoring is identical deformation of a kind of important method in mathematics in elementary mathematics and higher mathematics it has a wide range of applications First this thesis applies analogy and a large number of example explains the factoring concept Secondly gives some methods and factoring in the application process and then involved in factoring are introduced and summarizes the mathematical thought Finally through the investigation and analysis to understand the students in factoring often make mistakes and gives a method to deal with Because factoring is mainly from the theory proposed in this paper some important content and method thus for the factor the average number field the definition of a common factor such as no directly by using separately Key words Factoring concept method error analysis 17 论文评阅人意见 论文 设计 题目论文 设计 题目 浅析因式分解浅析因式分解 论文 设计 题目论文 设计 题目浅析因式分解浅析因式分解 作作 者者 评阅人评阅人陶玉娟陶玉娟评阅人职称评阅人职称 副教授副教授 意意 见见 该论文以一阶微分方程为主题 先介绍了微分方程及该论文以一阶微分方程为主题 先介绍了微分方程及 一阶微分方程的几种初等解法类型 总结了这些不同类一阶微分方程的几种初等解法类型 总结了这些不同类 型方程可借助变量分离法 猜测检验法 常数变易法或型方程可借助变量分离法 猜测检验法 常数变易法或 积分因子法化为变量分离方程 从而归纳了微分方程求积分因子法化为变量分离方程 从而归纳了微分方程求 解问题 然后把微分方程求解问题转化为积分问题 应解问题 然后把微分方程求解问题转化为积分问题 应 用到生活实际中 选题基本符合专业培养目标 论文写用到生活实际中 选题基本符合专业培养目标 论文写 作态度认真负责 论文内容较充分 参考的相关资料比作态度认真负责 论文内容较充分 参考的相关资料比 较全面 格式正确 书写规范 条理清晰 语言流畅 较全面 格式正确 书写规范 条理清晰 语言流畅 文章篇幅完全符合学院毕业论文的相关规定 内容整洁 文章篇幅完全符合学院毕业论文的相关规定 内容整洁 层次结构安排科学 主要观点突出 逻辑关系清楚 有层次结构安排科学 主要观点突出 逻辑关系清楚 有 一定的个人见解 一定的个人见解