等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析

等差数列及其前等差数列及其前 n n 项和项和 考纲说明考纲说明 1 理解等差数列的概念 学习等差数列的基本性质 2 探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 3 体会等差数列与一次函数的关系 4 本部分在高考中占 5 10 分左右 知识梳理知识梳理 一 等差数列的相关概念 1 等差数列的概念 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 则这 个数列称为等差数列 这个常数称为等差数列的公差 通常用字母 d 表示 2 等差中项 如果 成等差数列 那么叫做与的等差中项 即 或aAbAab 2 ba A baA 2 推广 1112 2 2 2 nnnnnn aaanaaa 3 等差数列通项公式 若等差数列的首项是 公差是 则 n a 1 ad 1 1 n aand 推广 从而 dmnaa mn mn aa d mn 4 等差数列的前项和公式 n 等差数列的前项和的公式 n 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n n Snad 5 等差数列的通项公式与前 n 项的和的关系 数列的前 n 项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa L 二 等差数列的性质 1 等差数列与函数的关系 当公差时 0d 1 等差数列的通项公式是关于的一次函数 斜率 11 1 n aanddnad n 为 d 2 前和是关于的二次函数且常数项n 2 11 1 222 n n ndd Snadnan n 为 0 2 等差数列的增减性 若公差 则为递增等差数列 若公差 则为递减等差数列 0d 0d 若公差 则为常数列 0d 3 通项的关系 当时 则有 mnpq qpnm aaaa 特别地 当时 则有 2mnp 2 mnp aaa 注 12132nnn aaaaaa 4 常见的等差数列 1 若 为等差数列 则都为等差数列 n a n b 12nnn abab 2 若 是公差为的等差数列 则 也成等差数列 n ad 232 kkkkk SSSSS 公差为 2 k d 3 数列为等差数列 每隔项取出一项 n a k kN 仍为等差数列 23 mm kmkmk aaaa 5 前 n 项和的性质 设数列是等差数列 为公差 是奇数项的和 是偶数项项的和 n ad 奇 S 偶 S 是前项的和 n Sn 当项数为偶数时 则n2 121 13521 2 n nn n aa Saaaana 奇 22 24621 2 n nn n aa Saaaana 偶 11nnnn SSnanan aa 偶奇 11 nn nn Snaa Snaa 奇 偶 当项数为奇数时 则12 n 21 21 1 1 n SSSnaSnaS n SSaSnaSn n 1n 1奇偶奇 奇 n 1n 1奇偶偶 偶 其中是项数为的等差数列的中间项 an 121n 6 求的最值 或求中正负分界项 n S n a 1 因等差数列前项是关于的二次函数 故可转化为求二次函数的最值 nn 但要注意数列的特殊性 nN 2 首正 的递减等差数列中 前 项和的最大值是所有非负项之和n 即当 由可得达到最大值时的值 1 00ad 0 0 1n n a a n Sn 首负 的递增等差数列中 前 项和的最小值是所有非正项之和 n 即当 由可得达到最小值时的值 1 00ad 0 0 1n n a a n Sn 三 等差数列的判定与证明 1 等差数列的判定方法 1 定义法 若或 常数 是等差daa nn 1 daa nn 1 Nn n a 数列 2 等差中项 数列是等差数列 n a 1112 2 2 2 nnnnnn aaanaaa 3 数列是等差数列 其中是常数 n a n aknb bk 4 数列是等差数列 其中 是常数 n a 2 n SAnBn AB 2 等差数列的证明方法 定义法 若或 常数 是等差数列 daa nn 1 daa nn 1 Nn n a 题型一 性质的应用题型一 性质的应用 例 1 1 是等差数列 若 n a 471045614 17 77aaaaaaa L 求13 k a k 2 是等差数列 是其前项和 若 求 n a n Sn 48 16aa 11 S 例 2 2010 山东 已知等差数列满足 的前项 n a7 3 a26 75 aa n an 和为 n S 求及 n a n S 令 求数列的前项和为 1 1 2 n n a b Nn n bn n T 题型二 求最值题型二 求最值 例 3是等差数列 是其前项和 若 求使得最大的的 n a n Sn 1617 0 0SS n Sn 值 例 4是等差数列 求的最小值 n a 11 33 2 nn aaan n a n 题型三 证明 例 5 已知数列 是其前项和 且满足 求证 n a n Sn n S 2 1 2 8 nn Sa 0 n a 是等差数列 n a 等比数列及其前等比数列及其前 n n 项和项和 重要知识点 1 定义 为数列的公比 1 2 n n a q n a q n a 2 等比中项 等比中项 若成等比数列 那么 A 叫做与的等比中项 提醒提醒 不是 a A bab 任何两数都有等比中项 只有同号两数才存在等比中项 且有两个 如ab 已知两个正数的等差中项为 A 等比中项为 B 则 A 与 B 的大小关系 a b ab 为 答 A B 3 等比数列的前等比数列的前项和公式 项和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna s n n n n 等比数列前项和公式有两种形式 为此在求等比数列前项和时 首先要判nn 断公比是否为 1 再由的情况选择求和公式的形式 当不能判断公比是否qqq 为 1 时 要对分和两种情形讨论求解 q1q 1q 4 等比数列的性质等比数列的性质 1 当时 则有 特别地 当时 则mnpq mnpq aaaa 2mnp 有 2 mnp a aa 2 一公比为的等比数列 其和成等比数列 公比为q 232 kkkkk SSSSS L k q 3 若 则为递增数列 若 则为递减数列 若 1 0 1aq n a 1 0 1aq n a 则为递减数列 若 则为递增数列 1 0 01aq n a 1 0 01aq n a 若 则为摆动数列 若 则为常数列 0q n a1q n a 4 当时 这里 但 1q baq q a q q a S nn n 11 11 0ab 0 0ab 这是等比数列前项和公式的一个特征 据此很容易根据 判断数列是n n S n a 否为等比数列 如如若是等比数列 且 则 n a3n n Sr r 答 1 5 如果数列既成等差数列又成等比数列 那么数列是非零常数数列 n a n a 4 等差数列的判定等差数列的判定 定义法 0 2 1 且为常数qnqaa nn 等比中项 11 2 nnn aaa 2 n 0 11 nnn aaa 注 i acb 是 a b c 成等比的双非条件 即 acb a b c 等比数列 ii acb ac 0 为 a b c 等比数列的充分不必要 iii acb 为 a b c 等比数列的必要不充分 iv acb 且0 ac 为 a b c 等比数列的充要 注意 任意两数 a c 不一定有等比中项 除非有 ac 0 则等比中 项一定有两个 5 一些常用公式一些常用公式 1 2 3 n 2 1 nn 222 1 21 12 6 n nn n L 注 熟悉常用通项 9 99 999 110 n n a 5 55 555 110 9 5 n n a 例 1 数列 n a中 n S 4 1n a 1 2n 且 1 a 1 若 nnn aab2 1 求证 数列 n b是等比数列 例 2等比 设 n a 1 1 0aq 2 log n a n b 135135 6 0bbbb b b 1 证明等差 n b 2 求的前 项和和的通项公式 n bn n a 等差 等比数列练习等差 等比数列练习 1 01 天津理 2 设 Sn是数列 an 的前 n 项和 且 Sn n2 则 an 是 A 等比数列 但不是等差数列B 等差数列 但不是等比数列 C 等差数列 而且也是等比数列D 既非等比数列又非等差数列 2 06 全国 I 设是公差为正数的等差数列 若 n a 123 15aaa 则 123 80a a a 111213 aaa A B C D 1201059075 3 06 全国 II 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 若 则 3 6 S S 1 3 6 12 S S A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 4 02 京 若一个等差数列前 3