计算机图形学基础教程习题课2(第二版)(孙家广-胡事民编著)

教案用纸 教 学 内 容 第 1 页 备 注 习题 3 1 参数曲线曲面有几种表示形式 1 代数形式 一条三次曲线的代数形式是 zzzz yyyy xxxx atatatatz tatatataty atatatatx 01 2 2 3 3 01 2 2 3 3 01 2 2 3 3 1 0 2 几何形式 描述参数曲线的条件有 端点位矢 端点切矢 曲率等 1 0 11001100 tPGPGPFPFtP 上式是三次 Hermite Ferguson 曲线的几何形式 F0 F1 G0 G1称为调和函数 或 混合函数 习题 3 2 设有控制顶点为 P0 0 0 P1 48 96 P2 120 120 P3 216 72 的三次 B zier 曲线 P t 试计算 P 0 4 的 x y 坐标 并写出 x t y t 的多项式表示 3 3 2 2 1 2 0 3 3 3 2 2 1 2 0 3 3 3 2 2 1 2 0 3 3 3 2 2 1 2 0 3 3 3 0 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 64 8012 69 72216064 0120120288 0 9648432 0 00216 0 4 0 4 0 8 1 6 0 2 1 6 0 4 0 1 3 1 3 1 ytyttyttytty xtxttxttxttx PPPPP PtPttPttPttBPtP ii i 习题 3 5 设一条三次 B zier 曲线的控制顶点为 P0 P1 P2 P3 对曲线上一点 P 0 5 及一个给定的目标点 T 给出一种调整 B zier 曲线形状的方法 使得 P 0 5 精确通过点 T 根据 B zier 曲线的递推算法 构造过程 教案用纸 教 学 内 容 第 2 页 备 注 T P3 P0 P2 P1 习题 3 6 计算以 30 0 60 10 80 30 90 60 90 90 为控制顶点的 4 次 B zier 曲线在 t 1 2 处的值 并画出 de Casteljau 三角形 90 90 4P 75 90 1 3P 60 5 87 2 2P 25 46 5 82 3 1P 375 34 75 4 0P 0 30 0P 10 60 1P 30 80 2P 60 90 3P 45 85 1 2P 20 70 1 1P 5 45 1 0P 5 32 5 77 2 1P 5 12 5 57 2 0P 5 22 5 67 3 0P 习题 3 8 用 de Boor 算法 求以 30 0 60 10 80 30 90 60 90 90 为控制顶 点 以 T 0 0 0 0 0 5 1 1 1 1 为节点向量的三次 B 样条曲线在 t 1 4 处的 值 k 4 n 4 k 1 j n 即 3 j 4 5 个控制顶点控制两段三次 B 样条曲线 分别在区间 t3 t4 和 t4 t5 t3 t 1 4 t4 P t 1 4 在第一段三次 B 样条曲线上 t t3 t4 该段曲线只与前四个顶点相关 由 de Boor 递推公式 jrkjrkjikr tP tt tt tP tt tt jkjkjirP tP r i irki rki r i irki i i r i 2 1 1 2 1 2 1 0 1 1 1 及 T 0 0 0 0 0 5 1 1 1 1 可得 教案用纸 教 学 内 容 第 3 页 备 注 4 1 3125 15 4375 43 2 1 2 1 2 1 22 625 20 875 46 4 3 4 1 1 10 40 2 1 2 1 2 1 22 5 37 5 82 4 3 4 1 1 15 35 4 3 4 1 1 5 45 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 34 4 2 3 34 3 3 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 35 5 1 3 35 3 2 3 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 24 4 1 2 24 2 2 2 23232 36 6 3 36 3 1 3 12121 25 5 2 25 2 1 2 01010 14 4 1 14 1 1 1 P PPPttPP tt tt P tt tt P PPPttPP tt tt P tt tt P PPPttPP tt tt P tt tt P PPPttPP tt tt P tt tt P PPPttPP tt tt P tt tt P PPPttPP tt tt P tt tt P 习题 3 11 Q Q1 Q2 S1 S2是平面上的 5 个点 请设计一条均匀三次 B 样条曲线 使曲线经过这 5 个点 且满足如下设计要求 1 在 Q1 Q2点与 Q Q1 Q Q2相切 2 分别在 Q Q1和 Q Q2间生成一段直线段 3 在 Q 是一尖点 答 首先了解均匀三次 B 样条曲线的端点性质 对于每一段曲线 已知 k 4 n 3 T 0 1 2 3 4 5 6 7 所以 k 1 j n 即 j 3 t t3 t4 起点 t 3 2100112 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 6 1 3 2 6 1 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 2 4 3 3 PPPPPPPPP P t P t PPtPtPP 教案用纸 教 学 内 容 第 4 页 备 注 同理 终点 t 4 321 1 2 1 3 2 3 2 2 2 3 3 3 6 1 3 2 6 1 2 1 2 1 4 3 4 PPP PPPPtPtPP 起点和终点的切线方向 2 1 4 2 1 3 13 02 PPP PPP 要求 1 为了使均匀三次 B 样条曲线和某一直线相切 则 P1