Matlab笔记——层次分析法020

20 层次分析法 一 概述一 概述 层次分析法 Analytic Hierarchy Process AHD 是将要决策的 问题及其有关因素分解成目标 准则 方案等层次 进而进行定性 和定量分析的决策方法 它的特征是合理地将定性与定量决策结合 起来 按照思维 心理的规律把决策过程细致化 层次化 数量化 层次分析法广泛地应用到处理复杂的决策问题 而决策是基于 该方法计算出的权重 所以也常用来确定指标的权重 层次分析法的基本思路与人们对一个决策问题的思维 判断过 程大体上是一样的 例如 选购一台笔记本电脑 假设有三种不同 品牌款式的笔记本电脑 A B C 供选择 我们一般会根据价格 外 观 重量 用途 功耗 品牌等一些准则去反复比较这个三个候选 首先 会确定这些准则在自己心目中各占多大比重 不同的人这种 比重会有很大差异 喜欢玩游戏的人看重硬件性能和散热 预算有 限的人看重价格等 其次 还会就每一个准则将 A B C 进行对 比 比如 A 最便宜 B 次之 C 性能最好 B 次之 C 的品牌最知 名等 最后 将这两个层次的比较判断进行综合 在 A B C 中确 定一台作为最符合自己需求的电脑 二 算法步骤二 算法步骤 1 将问题条理化 层次化 建立层次结构模型将问题条理化 层次化 建立层次结构模型 1 最高层 目标层 只有一个元素 决策目标 2 中间层 准则层 考虑的因素 决策的准则 子准则 3 最底层 方案层 决策时的备选方案 措施 层次分析法要解决的问题是 求出最底层对最高层的相对权重 以此对最底层的方案 措施进行排序 选择最优方案 注 1 为了避免两两比较判断过于复杂 每层次中各元素所支 配的元素一般不要超过 9 个 否则应划分为若干子层 注 2 层次分析法只考虑相邻两个层次间自上向下的支配作用 认为同一层次的元素间相互独立 若考虑进来需要网络分析法 ANP 例如前文提到的选购笔记本电脑的决策模型 可以建立如下的 层次结构 2 构造判断矩阵 成对比较矩阵 构造判断矩阵 成对比较矩阵 构造好层次模型后 针对某一层来讲 在比较第 i 个元素与第 j 个元素相对于上一层某个因素的重要性时 使用数量化的相对权重 aij来表示 假设共有 n 个元素参与比较 则矩阵 111 1 n ijn n nnn aa Aa aa 称为判断矩阵 或成对比较矩阵 Saaty 根据绝大多数人认知事物的心理习惯 建议用 1 9 及其倒 数作为标度来确定 aij的值 其中 2 4 6 8 分别介于 1 3 5 7 9 对应的重要程度之间 显然 A 中的元素满足 i aij 0 ii aji 1 aij iii aii 1 称为正互反矩阵 例如 选购笔记本电脑模型中 可以根据实际三台电脑的重量 得到电脑对准则层 B3的判断矩阵 aij可以取笔记本电脑 j 与 i 的重 量之比 重量越轻越好 3 11 31 5 313 5 55 31 BC A 3 层次单排序及判断矩阵的一致性检验层次单排序及判断矩阵的一致性检验 通常用特征根法从判断矩阵导出 单一准则下元素相对排序权 重 定义定义若 n 阶正互反矩阵 aij n n满足 aikakj aij 对应 aij wi wj 故需要 aikakj wi wk wk wj aij 则称 aij n n为一致性矩阵 特征根法的基本思想是 当正互反矩阵 aij n n为一致性矩阵时 对应于判断矩阵的最大特征根 max的特征向量 经归一化后 使向 量中各元素之和等于 1 即为排序权向量 记为 w w 的元素为同一 层次因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值 这一过程称 为层次单排序 能否进行层次单排序 就看判断矩阵是否为一致性矩阵 有如 下定理 定理定理 n 阶正互反矩阵 A 为一致性矩阵的充要条件是 A 的最大 特征值 max n 在实际操作中 由于客观事物的复杂性以及人们对事物判断比 较时的模糊性 很难构造出完全一致的判断矩阵 因此 Satty 在构 造层次分析法时 提出了一致性检验 所谓一致性检验是指判断矩 阵允许有一定不一致的范围 一致性检验步骤如下一致性检验步骤如下 1 计算判断矩阵 A 的最大特征值 max 2 求出一致性指标 Consistencey Index max C I 1 n n C I 0 表示完全一致 C I 越大越不一致 3 用随机模拟取平均的方法 求相应的平均随机一致性指标 R I 或者直接用 Satty 模拟 1000 次得到的 R I 表 4 计算一致性比率 C I C R R I 5 判断 当 C R 0 1 时 认为判断矩阵 A 有满意的一致性 若 C R 0 1 应考虑修正判断矩阵 A 4 计算各元素对目标层的合成权重 层次总排序 计算各元素对目标层的合成权重 层次总排序 为了实现层次分析法的最终目的 需要从上而下逐层进行各层 元素对目标合成权重的计算 设已计算出第 k 1 层 nk 1个元素相对于目标的合成权重为 1 1 111 12 k kkkkT n wwww 再设第 k 层的 nk个元素关于第 k 1 层第 j 个元素 j 1 nk 1 的单 一准则排序权重向量为 12 k kkkkT jjjn j uuuu 上式对 k 层的 nk个元素是完全的 若某些元素不受 k 1 层第 j 个元 素支配 相应位置用 0 补充 于是得到 nk nk 1阶矩阵 1 1 1 11121 21222 12 k k kkkk kkk n kkk nk kkk nnn n uuu uuu U uuu 从而可以得到第 k 层的 nk个元素关于目标层的合成权重向量 1 kkk wUw 按递归展开得 1 3 2 kkk wUUUw 写成分量形式为 1 1 1 1 k n kkk iijjk j wuwin 各层元素对目标层的合成排序权重向量是否可以满意接受 与 单一准则下的排序问题一样 需要进行综合一致性检验 当 C R k 0 1 时 则认为层次结构在第 k 层以上的判断具有整 体满意的一致性 注 实际应用中 整体一致性检验常不予进行 主要原因是 整体考虑十分困难 其次若每个单一准则下的判断矩阵具有满意的 一致性 而整体达不到满意的一致性时 调整起来非常困难 另外 整体一致性的背景也不如单一准则下的背景清晰 它的必要性有待 进一步研究 三 三 Matlab 实现实现 实现层次分析法的 Matlab 函数 ahp m function W ahpResult ahp C 层次分析法 C为n 1的元胞数组 存储整个层次模型结构 第2层对第1层 第3层对 第2层 第n 1层对第n层 假设第k层有m k个元素 从左到右依次编号1 m k C k 也是元胞数组 k 1 n C k 1 j 存储受第j元素支配的第k 1层各元素的判断矩阵 j 1 2 m k C k 2 j 存储第k 1层各元素是否受第k层第j元素支配的 m k 1 1的逻辑数组 1表示支配 0表示不受支配 W返回方案层对目标层的最终权重向量 ahpResult为n 1的元胞数组 存储层次分析过程各层的结果信息 ahpResult k 也是元胞数组 ahpResult k 1 j 返回第k 1层所有元素相对第k层j元素的权重向 量 第k 1层元素不受第k层j元素支配的权重为0 ahpResult k 2 j 返回第k 1层所有元素相对于第k层第j元素的判 断矩阵的最大特征值 ahpResult k 3 j 返回第k 1层所有元素相对于第k层第j元素的判 断矩阵的一致性比率C R RI 0 0 0 58 0 90 1 12 1 24 1 32 1 41 1 45 1 49 1 51 平均随机一致性指标 n length C 得到C的长度n 于是知道模型总层数为n 1 ahpResult cell n 1 存储各层结果信息 for k 1 n m k size C k 2 k层的元素个数 ahpResult k cell m k 1 forkk 1 m k 求第k 1层各元素对第k层kk元素的成对比较矩阵的特征值和特征向量 V D eig C k 1 kk maxD ind max diag D 求最大特征值和其位置 为存储第k 1层所有元素相对k层kk元素的权重预留出空间 长度应等于 C k 2 kk 的长度 ahpResult k 1 kk zeros length C k 2 kk 1 将相应正互反矩阵属于最大特征值的特征向量归一化后赋给 ahpResult k 1 kk 中相应位置 这些位置由逻辑数组C k 2 kk 决定 ahpResult k 1 kk C k 2 kk V ind sum V ind ahpResult k 2 kk maxD C k 1 kk 正互反矩阵的最 大特征值 nn size C k 1 kk 1 C k 1 kk 的阶数 ahpResult k 3 kk maxD nn nn 1 RI nn 相应的 一致性比率C R end end W ahpResult 1 1 1 for k 2 n cat 2 ahpResult k 1 把k 1层所有元素相对k层各个元素的 权重向量横向排在一起生成权重矩阵U k W cat 2 ahpResult k 1 W end 用该函数实现层次分析法的关键是 把整个层次结构存入嵌套 元胞数组 C 中 见程序注释 C k 存储第 k 1 层与第 k 层的结构 k 1 n 设第 k 层有 mk个元素 其中第 j 元素与第 k 1 层的结构关系存 储到 C k j 中 j 1 mk 需要存储的信息有 受第 j 元素支配的第 k 1 层各元素的判断矩阵 第 k 1 层各元素是否受第 k 层第 j 元素支配 即有没有连线 所以需要两个位置 即 C k 1 j 和 C k 2 j 例例 1 某工厂有一笔企业留成利润 需要决定如何分配使用 已经决 定有三种用途 奖金 集体福利措施 引进技术设备 考察准则也 有三个 是否能调动职工的积极性 是否有利于提高技术水平 考 虑改善职工生活条件 建立如下层次模型 经过工厂决策人员讨论 得到如下判断矩阵 1 第第 2 层对第层对第 1 层层 三个元素 C1 C2 C3都受 A 支配 判断矩阵 C 1 1 1 为 相应的逻辑数组 C 1 2 1 为 true truetrue 2 第第 3 层对第层对第 2 层层 1 第 3 层对第 2 层第 1 个元素 C1 受 C1支配的只有两个元素 P1和 P2 判断矩阵 C 2 1 1 为 相应的逻辑数组 C 2 2 1 为 true truefalse 2 第 3 层对第 2 层第 2 个元素 C2 受 C2支配的只有两个元素 P2和 P3 判断矩阵 C 2 1 2 为 相应的逻辑数组 C 2 2 2 为 false true true 3 第 3 层对第 2 层第 3 个元素 C3 受 C3支配的只有两个元素 P1和 P2 判断矩阵 C 2 1 3 为 相应的逻辑数组 C 2 2 3 为 true truefalse 3 有了上面的分析 层次模型的元胞数组表示有了上面的分析 层次模型的元胞数组表示 C 已经确定 调已经确定 调 用函数用函数 ahp m 即可即可 C cell 2 1 共n 1 3层 故n 2 C 1 1 1 1 1 5 1 3 5 1 3 3 1 3 1 第2层 C层 关于 第1层 目标层A 的判断矩阵 C 1 2 1 true truetrue 相应的逻辑数组 C 2 1 1 1 1 3 3 1 第3层 P层 关于第2层第1元素C1的 判断矩阵 C 2 2 1 true truefalse 相应的逻辑数组 C 2 1 2 1 1 5 5 1 第3层 P层 关于第2层第2元素C2的 判断矩阵 C 2 2 2 false true true 相应的逻辑数组 C 2 1 3 1 2 1 2 1 第3层 P层 关于第2层第3元素C3的 判断矩阵 C 2 2 3 true truefalse 相应的逻辑数组 W ahpResult ahp C 调用ahp求解 W 输出总排序的权重向量 运行结果 W 0 1984 0 2708 0 5308 W 就是方案层各个方案所占的比重 可见引进技术设备所占比 重最大 改善员工福利次之 体现在奖金分配上 即用全部留成利 润的 53 08 引进技术设备 27 08 改善员工福利 19 84 发奖金 例例 2 假设某人在制定食谱时有三类食品可选 肉 面包 蔬菜 这 三类食品所含营养成分及单价如下表所示 假设该人体重为 55kg 每天对各类营养的最小需求为 维生素 A 7500IU 维生素 B2 1 6338mg 热量 Q 8548 5kJ 问题是 应如何制定食谱使得在保证营养的前提下支出最小 单纯考虑问题条件 容易建立如下的线性规划模型 设选择肉 x1 面包 x2 蔬菜 x3 则有 用 Matlab 求解线性规划问题的函数 linprog 可以求出最优解 f 0 0275 0 006 0 007 A 0 3527 0 0005 25 0 0021 0 0006 0 002 11 93 11 51 1 04 b 7500 1 6338 8548 5 options optimset LargeScale off Simplex on x fval flag linprog f A b 0 0 0 infinfinf options 运行结果 x 0 687 5267 610 6420 fval 8 3997 flag 1 表示算法成功 求解出的结果是 每天不吃肉 吃面包 687 5267g 蔬菜 610 642g 最低支出为 8 40 元 但实际考虑的话 这个方案是难以让人接受的 只考虑了营养够 价格低 没有考虑到营养均衡 需要吃一定量的 肉 为此 我们先用层次分析法确定每天需要肉 面包 蔬菜的比 重 再重新线性规划 建立如下的层次模型 注意 由于第 2 层支出因素 D2直接支配第 4 层 需要在第 3 层 补上一个因素 补项 B 仍当作 支出 看待 它只受 D2支配 并且支配 D2的每个支配因素 第 4 层的肉 Me 面包 Br 蔬菜 Ve 有了上面的层次结构 再根据偏好建立判断矩阵 当然偏好因 人而异 1 第第 2 层对第层对第 1 层层 判断矩阵 13 1 31 1 1 1C 逻辑数组 C 1 2 1 true true 2 第第 3 层对第层对第 2 层层 1 第 3 层对第 2 层第 1 元素 D1 判断矩阵 112 112 1 2 2 1 1 1 21 C 逻辑数组 C 2 2 1 true truetrue false 2 第 3 层对第 2 层第 2 元素 D2 判断矩阵 C 2 1 2 1 逻辑数组 C 2 2 2 false falsefalseture 3 第第 4 层对第层对第 3 层层 1 第 4 层对第 3 层第 1 元素 A 判断矩阵 用数据直接做比得到 10 3527 0 00050 3527 25 0 0005 0 352710 0005 25 25 0 352725 0 001 3 1 1 05 C 逻辑数组 C 3 2 1 true true true 2 第 4 层对第 3 层第 2 元素 B2 判断矩阵 用数据直接做比得到 10 0021 0 00060 0021 0 002 0 0006 0 002110 0006 0 002 0 002 0 00210 002 0 00061 3 1 2C 逻辑数组 C 3 2 2 true true true 3 第 4 层对第 3 层第 3 元素 Q 判断矩阵 用数据直接做比得到 111 93 11 51 11 93 1 04 11 51 11 93111 51 1 04 1 04 11 931 04 11 1 3 1 3 51 C 逻辑数组 C 3 2 3 true true true 4 第 4 层对第 3 层第 4 元素 B 判断矩阵 用单价比的倒数 因为单价越高越不重要 10 006 0 02750 007 0 0275 0 0275 0 00610 007 0 006 0 0275 0 0070 006 0 3 1 4 0071 C 逻辑数组 C 3 2 4 true true true 4 有了上面的分析 层次模型的元胞数组表示有了上面的分析 层次模型的元胞数组表示 C 已经确定 调已经确定 调 用函数用函数 ahp m 即可即可 C cell 3 1 C 1 1 1 1 1 3 3 1 C 1 2 1 true 2 1 C 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 C 2 2 1 true truetrue false C 2 1 2 1 C 2 2 2 false false false true C 3 1 1 1 0 3527 0 0005 0 3527 25 0 0005 0 3527 1 0 0005 25 25 0 3 527 25 0 0005 1 C 3 2 1 true 3 1 C 3 1 2 1 0 0021 0 0006 0 0021 0 002 0 0006 0 0021 1 0 0006 0 00 2 0 002 0 0021 0 002 0 0006 1 C 3 2 2 true 3 1 C 3 1 3 1 11 93 11 51 11 93 1 04 11 51 11 93 1 11 51 1 04 1 04 1 1 93 1 04