平均数与加权平均数--教学设计(一)

平均数与加权平均数平均数与加权平均数 教学设计 一 教学设计 一 教学设计思想教学设计思想 本节内容一共需要三个课时来学习 第一课通过比较两种小麦单位面积的产量 引入 平均数的概念 并介绍用计算器计算一组数据的平均数的方法 第二课时通过探究三次购 买的西红柿的平均价格 引入加权平均数的概念 并通过确定比赛名次的例题 让学生认 识到加权平均数在实际生活中的应用 第三课时安排的是学生的一次实践活动 通过让学 生估测黑板的宽度 使学生体会 用多次估测值的平均数做实际长度的估计值 可以减少 误差的道理 通过这三个课时的学习掌握这部分内容 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能 在实际情境中理解平均数的概念和意义 会计算一组数据的算术平均数 能利用计算器计算一组数据的平均数和加权平均数 在具体情境中理解加权平均数的概念 体会 权 的意义 知道算术平均数与加权平 均数的联系与区别 提高互相合作与交流的能力 过程与方法过程与方法 初步经历数据的收集 加工整理的过程 能利用平均数 加权平均数解决一些实际问 题 发展数学应用能力 情感态度价值观情感态度价值观 体会数学知识与现实生活的紧密联系 增强数学应用意识 教学重难点教学重难点 重点 平均数与加权平均数的概念和意义及其应用 难点 算数平均数与加权平均数的区别与联系 能利用平均数 加权平均数解决一些实际问题 解决办法 在实际情境中理解平均数与加权平均数的概念和意义 做到真正理解就有 助于理解两者的区别 也容易进一步应用 教学方法教学方法 启发式教学 小组讨论 教学用具教学用具 多媒体 课时安排课时安排 3 课时 教学过程设计教学过程设计 第一课时第一课时 平均成绩 平均年龄 平均收入 平均产量 打开报纸 翻开书本 平 均 一词随处可见 你知道平均的含义是什么吗 在实际问题中 怎样求平均数呢 一 观察与思考 一 观察与思考 将一块试验田分成面积相等的 8 块 每块 100m2 在地力 肥料 管理等相同的条件 下试种两个不同品种的小麦 产量如下表 1 从图 26 1 的两幅统计图中 能看出哪个品种小麦的产量更高些吗 2 用什么数代表 A B 两个小麦品种的单位面积 以 100m2为单位面积 的产量较合适 3 如果只考虑产量这个因素 哪个品种更适合本地种植 由于同一品种的小麦在四块试验田上的产量有差异 要比较两个品种中哪个产量高 通常情况下是比较它们的平均产量 品种 A 和品种 B 在四块试验田上的平均产量分别为 1 95858290 88 kg 4 1 85 100 105 110 100 kg 4 由此可知 品种 B 比品种 A 的平均产量高 品种 B 更适合本地种植 注 1 通过观察比较 品种 B 的产量更高 2 用小麦的平均产量代表较合适 3 品种 B 一般地 我们把 n 个数 x1 x2 xn 的和与 n 的比叫做这 n 个数的算术平均数 mean 简称平均数 记作 读作 x 拔 即x 12n 1 x xx x n 95 85 82 90 与其平均数 88 的差分别为 7 3 6 2 它们的和为 0 85 100 105 110 与其平均数 100 的差分别为 15 0 5 10 它们的和也为 0 由 此可以看出 平均数是将各数据之间的差异相互抵消的结果 它反映了数据的 一般水平 注 一组数据中的每个数据与这组数据平均数的差的和为 0 即 12n 12n xx xx xx xx x nxnxnx 0 二 做一做 二 做一做 某年级 20 名学生在一次数学竞赛中的成绩如下 单位 分 80 85 70 75 70 75 80 80 75 85 75 80 75 70 80 75 85 70 80 75 1 整理数据 填写统计表 成绩 分 70758085 频数 2 求这 20 名学生的平均分数 小明根据 做一做 第 1 题统计的结果 这样计算平均数 1 x 70 475 7 80 685 3 77 20 分 这样计算合理吗 请和同学交流你的看法 注 目的是使学生学会对数据进行整理 会用简便方法计算平均数 1 成绩 分 70758085 频数 4763 2 77 分 小明的计算方法合理 实际上 这是求平均数的简便算法 利用有统计功能的计算器 可以很方便地计算平均数 下面我们以 A 型计算器为例 说明求 20 名学生成绩的平均数的步骤 对其他型号的计算器 请参照使用说明书进行计 算 注 用不同型号的计算器求平均数时 按键的顺序可能有所不同 三 练习 三 练习 用举手示意的方法调查你们班全体同学的年龄 周岁 将结果填在下面的表格内 并 用计算器计算平均年龄 年龄 岁 1314151617 合计 名 人数 名 四 小结 四 小结 引导学生总结本节的主要知识点 五 板书设计 五 板书设计 平均数与加权平均数 观察与思考 做一做 练习 第二课时第二课时 一 一起探究 一 一起探究 假期里小红和小惠结伴去买菜 三次购买的西红柿价格和数量如下表 价格 元 千克 1 21 00 8 合计 kg 小红购买的数量 kg 2226 小惠购买的数量 kg 1236 1 从平均价格看 谁比较划算 2 思考小亮和小明的说法 你认为他俩谁说得对 小亮说 每次购买单价相同 三次购买总量也相同 平均价格应该也一样 都是 1 2 1 0 0 8 3 1 0 元 千克 小明说 三次购买的总量虽然相同 但花费的金额不等 所以平均价格是不一样的 注 一起探究目的是探究如何计算三次购买西红柿的平均价格 当每次购买的数量相 同时 平均价格是三次购买单价的算术平均数 当每次购买的数量不同时 则不能用算术 平均数计算平均价格 小亮的说法是不对的 小明的说法有道理 一般情况下 平均数是两个总量的比 如 总金额 平均价格 商品总量 总分数 平均分数 总人数 总产量 单位面积平均产量 总面积 行驶总路程 平均速度 行驶总时间 实际上 平均价格是花费总金额与购买西红柿总量的比 因此 1 2 2 1 0 2 0 8 2 1 0 22 x 2 小红 元千克 1 2 1 1 0 20 8 3 x0 93 123 小惠 元千克 小惠在三种不同单价下购买西红柿的质量不同 所以对三个单价不能同等看待 在 1 2 元 千克 1 0 元 千克 0 8 元 千克时 购买的西红柿的质量分别为 1kg 2kg 3kg 它们各占总质量的 所以平均价格为 1 2 3 6 6 6 123 x1 21 00 80 93 666 小惠 元千克 这样计算的平均数叫做加权平均数 其中分别叫做 1 2 1 0 0 8 的权重 1 2 3 6 6 6 简称为权 注 由于小惠三次购买的西红柿质量是分别占总质量的 所以应对三个单价 1 2 3 6 6 6 分配不同的系数求和 进而求得平均价格 小红在三种单价下购买的西红柿的质量占总质量的比重都相同 即三种单价的权相同 所以平均价格是三个单价的算术平均数 在不同权重下 平均价格也不同 加权平均数的另一种应用是 各项测试成绩的重要程度不同时 人为地确定一个各项 测试成绩在总成绩中所占的比例 这些比例则构成各项测试成绩的权重 不同的权重下求出的平均成绩可能不同 相应地 各选手的排名也会有所改变 二 例题 二 例题 例 1 某主持人大赛 要进行专业素质 综合素质 外语水平 临场应变四项测试 如果各项均采用 10 分制 三名选手的各项测试成绩如下表所示 测试项目专业素质综合素质外语水平临场应变 甲的成绩 分 9 08 57 58 8 乙的成绩 分 8 09 28 49 0 测 试 成 绩 丙的成绩 分 8 08 28 08 6 1 如果按照四项测试成绩的算术平均数排列名次 名次顺序是怎样的 2 如果规定按专业素质 综合素质 外语水平和临场应变四项测试的成绩各占 60 20 10 10 计算最后成绩 排名次序有什么变化 解 1 四项测试成绩的平均数及排名次序如下表 2 三名选手成绩的加权平均数及排名次序如下表 按算术平均数排名次 实际上是将四项测试成绩同等看待 而按加权平均数排名次 则是对每项成绩分配不同的权重 体现每项成绩的重要程度不同 如专业素质成绩的权重 为 60 说明专业素质对主持人最重要 当各数据的重要程度不同时 一般采用加权平均数作为数据的代表值 用计算器计算甲选手四项成绩的加权平均数按键顺序如下 选择一元统计模式 准备输入数据 保存数据 显示结果 用计算器计算另两名选手成绩的加权平均数可仿照进x8 73 行 注 用计算器计算加权平均数 可将权重按比例变为整数后作为频数进行计算 三 练习 三 练习 为推选一名同学参加学校演讲比赛 班里组织了一次选拔赛 由教师组成评委 对甲 乙 丙三名候选人分别从演讲内容 语言表达能力和感染力三方面打分 评委打分的结果 如下表 测试项目演讲内容语言表达能力感染力 甲的成绩 分 9 08 68 0 乙的成绩 分 8 09 28 2 丙的成绩 分 9 48 87 5 答案 仿照例 1 的解答过程 1 甲 乙 丙按三项得分的算术平均数分别是 x8 53 x8 47 x8 57 甲 乙 丙 分 分 分 比较算术平均数 丙是优胜者 2 甲 乙 丙按三项得分的加权平均数分别是 x 8 46 x 8 5 x 8 43 甲 乙 丙 分 分 分 比较加权平均数 乙是优胜者 四 小结 四 小结 引导学生总结本节的主要知识点 五 板书设计 五 板书设计 平均数与加权平均数 一起探究 例题 练习 第三课时第三课时 一 做一做 一 做一做 请全班同学目测黑板 20s 估测黑板的宽度 单位 cm 记录每人的估测结果 1 8 到 10 人一组 分组统计估测数据 并计算估测数据的平均数 2 汇总各组的人数和各组估测数据的平均数 计算全班同学估测数据的平均数 组别第 1 组第 2 组第 3 组第 4 组第 5 组第 6 组 人数 名 平均数 cm 3 实际测量黑板的宽度 单位 cm 将结果写在黑板上 4 将你估测的结果减去测量的结果 求估测的误差 用举手的方法统计估测误差 并填写统计表 估测误差 e cme 20 20 e 10 10 e 0 0 e 1010 e 20e 20 人数 名 注 1 根据本班总人数分组 确定每组人数 每组指派一人汇总本组每人的估测数 据并计算出本组估测的平均数 当各组人数不相同时 应按加权平均数来计算 2 计算全班的估测平均数时 应注意是所有数据的和除以总人数 3 至少找两名同学来实际测量黑板的宽度 4 由教师来统计学生的估测误差 并用举手方式确定每个区间的人数 二 大家谈谈 二 大家谈谈 1 你的估计结果 小组平均数 全班平均敷 哪个和测量结果更接近 2 估测误差的绝对值不超过 10cm 的同学占多大百分比 估测误差的绝对值超过 20cm 的 同学占多大百分比 3 用哪个数作为实际宽度的估计值较好 在实际生活中 我们经常要估测或测量物体的长度 估测时 误差是不可避免的 即 使用测量工具也会有误差 但用多次估测值或测量值的平均数作为实际长度的估计值可以 减少误差 注 l 一般地 所有数据的平均数比每小组的平均数可能更接近实际宽度 2 略 3 用所有数据的平均数作为实际宽度的估计值较好 三 例题 三 例题 例 2 某班 50 名同学用目测的方法 估计一本书的长度 单位 cm 将估测数据进行分 组整理 结果如下表 估测值 x cm 16 x 2020 x 2424 x 2828 x 32 合计 数据个数 61917850 利用这 50 个数据的平均数 估计这本书的长度 注 由于对数据整理后 损失了原始数据信息 此时求平均数只能采用近似方法 一 般给出平均数的一个范围即可 解 对于分组数据 在第一组 6 个数据中 每个数据不小于 16 小于 20 在第二组 19 个数据中 每个数据不小于 20 小于 24 所以 50 个数据的和不小于 16 6 20 19 24 17 28 8 1 108 同时 这 50 个数据的和小于 20 6 24 19 28 17 32 8 1 308 设这 50 个数据的平均数为 则x 11081308 x 5050 22 16x26 16 对于分组数据 一般得到的是这些数据平均数的一个范围 如果取分组区间的中间值 作为各组数据的代表值 则可以得到对平均数较精确的估计值 即 x 18 622 1926 1730 8 5024 16 所以这本书的长度约为 24 16cm 注 分组区间的中间值也叫组中值 可用区间上 下限的平