小学数学解题方法解题技巧之最值问题

第一章 小学数学解题方法解题技巧之最值问题 最小值问题最小值问题 例 1 外宾由甲地经乙地 丙地去丁地参观 甲 乙 丙 丁四地和甲乙 乙丙 丙丁的中点 原来就各有一位民警值勤 为了保证安全 上级决定在沿途增加值勤 民警 并规定每相邻的两位民警 包括原有的民警 之间的距离都相等 现知甲乙 相距 5000 米 乙丙相距 8000 米 丙丁相距 4000 米 那么至少要增加 位民警 中华电力杯 少年数学竞赛决赛第一试试题 讲析 如图 5 91 现在甲 乙 丙 丁和甲乙 乙丙 丙丁各处中点各有一位 民警 共有 7 位民警 他们将上面的线段分为了 2 个 2500 米 2 个 4000 米 2 个 2000 米 现要在他们各自的中间插入若干名民警 要求每两人之间距离相等 这实 际上是要求将 2500 4000 2000 分成尽可能长的同样长的小路 由于 2500 4000 2000 的最大公约数是 500 所以 整段路最少需要的民警数 是 5000 8000 4000 500 1 35 名 例 2 在一个正方体表面上 三只蚂蚁分别处在 A B C 的位置上 如图 5 92 所示 它们爬行的速度相等 若要求它们同时出发会面 那么 应选择哪点会面最 省时 湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题 讲析 因为三只蚂蚁速度相等 要想从各自的地点出发会面最省时 必须三者 同时到达 即各自行的路程相等 我们可将正方体表面展开 如图 5 93 则 A B C 三点在同一平面上 这样 便将问题转化为在同一平面内找出一点 O 使 O 到这三点的距离相等且最短 所以 连接 A 和 C 它与正方体的一条棱交于 O 再连接 OB 不难得出 AO OC OB 故 O 点即为三只蚂蚁会面之处 最大值问题最大值问题 例 1 有三条线段 a b c 并且 a b c 判断 图 5 94 的三个梯形中 第几 个图形面积最大 全国第二届 华杯赛 初赛试题 讲析 三个图的面积分别是 三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积 不变量是 a b c 的和一 定 其问题实质上是把这个定值拆成两个数 求这两个数为何值时 乘积最大 由 等周长的长方形面积最大原理可知 a b c 这组数的值最接近 故图 3 的面积最大 例 2 某商店有一天 估计将进货单价为 90 元的某商品按 100 元售出后 能卖 出 500 个 已知这种商品每个涨价 1 元 其销售量就减少 10 个 为了使这一天能赚 得更多利润 售价应定为每个 元 台北市数学竞赛试题 讲析 因为按每个 100 元出售 能卖出 500 个 每个涨价 1 元 其销量减少 10 个 所以 这种商品按单价 90 元进货 共进了 600 个 现把 600 个商品按每份 10 个 可分成 60 份 因每个涨价 1 元 销量就减少 1 份 即 10 个 相反 每个减价 1 元 销量就增加 1 份 所以 每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的 为 60 根据等周长长方 形面积最大原理可知 当把 60 分为两个 30 时 即每个涨价 30 元 卖出 30 份 此 时有最大的利润 因此 每个售价应定为 90 30 120 元 时 这一天能获得最大利润 4242 最值规律 最值规律 积最大的规律积最大的规律 1 多个数的和一定 为一个不变的常数 当这几个数均相等时 它们的积 最大 用字母表示 就是 如果 a1 a2 an b b 为一常数 那么 当 a1 a2 an时 a1 a2 an有最大值 例如 a1 a2 10 1 9 10 1 9 9 2 8 10 2 8 16 3 7 10 3 7 21 4 6 10 4 6 24 4 5 5 5 10 4 5 5 5 24 75 5 5 10 5 5 25 5 5 4 5 10 5 5 4 5 24 75 9 1 10 9 1 9 由上可见 当 a1 a2两数的差越小时 它们的积就越大 只有当它们的差为 0 即 a1 a2时 它们的积就会变得最大 三个或三个以上的数也是一样的 由于篇幅所限 在此不一一举例 由 积最大规律 可以推出以下的结论 结论 1 所有周长相等的 n 边形 以正 n 边形 各角相等 各边也相等的 n 边形 的面积为最大 例如 当 n 4 时 周长相等的所有四边形中 以正方形的面积为最大 例题 用长为 24 厘米的铁丝 围成一个长方形 长宽如何分配时 它的面积为 最大 解 设长为 a 厘米 宽为 b 厘米 依题意得 a b 2 24 即 a b 12 由积最大规律 得 a b 6 厘米 时 面积最大为 6 6 36 平方厘米 注 正方形是特殊的矩形 即特殊的长方形 结论 2 在三度 长 宽 高 的和一定的长方体中 以正方体的体积为最大 例题 用 12 米长的铁丝焊接成一个长方体 长 宽 高如何分配 它的体积才 会最大 解 设长方体的长为 a 米 宽为 b 米 高为 c 米 依题意得 a b c 4 12 即 a b c 3 由积最大规律 得 a b c 1 米 时 长方体体积为最大 最大体积为 1 1 1 1 立方米 2 将给定的自然数 N 分拆成若干个 不定 的自然数的和 只有当这些自 然数全是 2 或 3 并且 2 至多为两个时 这些自然数的积最大 例如 将自然数 8 拆成若干个自然数的和 要使这些自然数的乘积为最大 怎 么办呢 我们可将各种拆法详述如下 分拆成 8 个数 则只能是 8 个 1 其积为 1 分拆成 7 个数 则只能是 6 个 1 1 个 2 其积为 2 分拆成 6 个数 可得两组数 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 2 它们的积分别是 3 和 4 分拆成 5 个数 可得三组数 1 1 1 1 4 1 1 1 2 3 1 1 2 2 2 它们的积分别为 4 6 8 分拆成 4 个数 可得 5 组数 1 1 1 5 1 1 2 4 1 1 3 3 1 2 2 3 2 2 2 2 它们的积分别为 5 8 9 12 16 分拆成 3 个数 可得 5 组数 1 1 6 1 2 5 1 3 4 2 2 4 2 3 3 它们的积分别为 6 10 12 16 18 分拆成 2 个数 可得 4 组数 1 7 2 6 3 5 4 4 它 们的积分别为 7 12 15 16 分拆成一个数 就是这个 8 从上面可以看出 积最大的是 18 3 3 2 可见 它符合上面所述规律 用同样的方法 将 6 7 14 25 分拆成若干个自然数的和 可发现 6 3 3 时 其积 3 3 9 为最大 7 3 2 2 时 其积 3 2 2 12 为最大 14 3 3 3 3 2 时 其积 3 3 3 3 2 162 为最大 由这些例子可知 上面所述的规律是正确的 和最小的规律和最小的规律 几个数的积一定 当这几个数相等时 它们的和相等 用字 母表达 就是如果 a1 a2 an c c 为常数 那么 当 a1 a2 an 时 a1 a2 an有最小值 例如 a1 a2 9 1 9 9 1 9 10 3 3 9 3 3 6 由上述各式可见 当两数差越小时 它们的和也就越小 当两数差为 0 时 它 们的和为最小 例题 用铁丝围成一个面积为 16 平方分米的长方形 如何下料 材料最省 解 设长方形长为 a 分米 宽为 b 分米 依题意得 a b 16 要使材料最省 则长方形周长应最小 即 a b 要最小 根据 和最小规律 取 a b 4 分米 时 即用 16 分米长的铁丝围成一个正方形 所用的材料为最省 推论 由 和最小规律 可以推出 在所有面积相等的封闭图形中 以圆的周长 为最小 例如 面积均为 4 平方分米的正方形和圆 正方形的周长为 8 分米 而 的周长小于正方形的周长 面积变化规律面积变化规律 在周长一定的正多边形中 边数越多 面积越大 为 0 433 6 2 598 平方分米 方形的面积 推论 由这一面积变化规律 可以推出下面的结论 在周长一定的所有封闭图形中 以圆的面积为最大 例如 周长为 4 分米的正方形面积为 1 平方分米 而周长为 4 分米的圆 于和它周长相等的正方形面积 体积变化规律体积变化规律 在表面积一定的正多面体 各面为正 n 边形 各面角和各二 面角相等的多面体 中 面数越多 体积越大 例如 表面积为 8 平方厘米的正四面体 S ABC 如图 1 30 它每一个面均为 正三角形 每个三角形面积为 2 平方厘米 它的体积约是 1 1697 立方厘米 而表面 积为 8 平方厘米 长约为 1 1546 厘米 体积约为 1 539 立方厘米 显然 正方体体积大于正四面体体 积 推论 由这一体积变化规律 可推出如下结论 在表面积相等的所有封闭体中 以球的体积为最大 例如 表面积为 8 平方厘米的正四面体 体积约为 1 1697 立方米 表面积为 8 平方厘米的正六面体 正方体 体积约为 1 539 立方厘米 而表面积是 8 平方厘 米的球 体积却约有 2 128 立方厘米 可见上面的结论是正确的 排序不等式排序不等式 对于两个有序数组 a1 a2 an 及 b1 b2 bn 则 a1b1 a2b2 anb 抇 n 同序 T a1b 抇 1 a2b 抇 2 anb 抇 n 乱序 a1b n a2bn 1 a nb1 倒序 其中 b 抇 1 b 抇 2 b 抇 n 为 b1 b2 bn的任意一种排列 顺序 倒序排列在外 当且仅当 a1 a2 an 或 b1 b2 bn时 式中等号成立 由这一不等式可知 同序积之和为最大 倒序积之和为最小 例题 设有 10 个人各拿一只水桶 同时到一个水龙头下接水 水龙头注满第一 第 二 九 十个人的桶 分别需要 1 2 3 9 10 分钟 问 如何安排这 10 个人的排队顺序 可使每个人所费时间的总和尽可能少 这个总费时至少是多少 分钟 解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为 1 2 3 9 10 打水时 等候的人数为第二个有序数组 等候时间最长的人数排前 这样组成 1 2 3 9 10 根据排序不等式 最小积的和为倒序 即 1 10 2 9 3 8 4 7 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 10 1 1 10 2 9 3 8 4 7 5 6 2 10 18 24 28 30 2 220 分钟 其排队顺序应为 根据注满一桶水所需时间的多少 按从少到多的排法 4343 最优方案与最佳策略 最优方案与最佳策略 最优方案最优方案 例 1 某工厂每天要生产甲 乙两种产品 按工艺规定 每件甲产品需分别在 A B C D 四台不同设备上加工 2 1 4 0 小时 每件乙产品需分别在 A B C D 四台不同设备上加工 2 2 0 4 小时 已知 A B C D 四台设备 每 天最多能转动的时间分别是 12 8 16 12 小时 生产一件甲产品该厂得利润 200 元 生产一件乙产品得利润 300 元 问 每天如何安排生产 才能得到最大利润 中国台北第一届小学数学竞赛试题 讲析 设每天生产甲产品 a 件 乙产品 b 件 由于设备 A 的转动时间每天最多 为 12 小时 则有 2a 2b 不超过 12 又 a 2b 不超过 8 4a 不超过 16 4b 不超过 12 由以上四个条件知 当 b 取 1 时 a 可取 1 2 3 4 当 b 取 2 时 a 可取 1 2 3 4 当 b 取 3 时 a 可取 1 2 这样 就是在以上情况下 求利润 200a 300b 的最大值 可列表如下 所以 每天安排生产 4 件甲产品 2 件乙产品时 能得到最大利润 1400 元 例 2 甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂 它们生产同一规格的成衣 每个厂的人 员和设备都能进行上衣和裤子生产 由于各厂的特点不同 甲厂每月 联合生产 尽量发挥各自的特长多生产成衣 那么现在比过去每月能多生产成 衣 套 1989 年全国小学数学奥林匹克初赛试题 的时 间生产上衣 所以 甲厂长于生产裤子 乙厂长于生产上衣 如果甲厂全月生产裤子 则可生产 如果乙厂全月生产上衣 则可生产 把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成 2100 套成衣 这时甲厂生产 150 条裤 子的时间可用来生产成套的成衣 故现在比过去每月可以多生产 60 套 最佳策略最佳策略 例 1 A B 二人从 A 开始 轮流在 1 2 3 1990 这 1990 个数中划去一 个数 直到最后剩下两个数互质 那么 B 胜 否则 A 胜 问 谁能必胜 制胜的策 略是什么 中华电力杯 少年数学竞赛试题 讲析 将这 1990 个数按每两个数分为一组 1 2 3 4 5 6 1989 1990 当 A 任意在括号中划去一个时 B 就在同一个括号中划去另一个数 这样 B 就 一定能获胜 例 2 桌上放有 1992 根火柴 甲乙两人轮流从中任取 每次取得根数为 1 根或 2 根 规定取得最后一根火柴者胜 问 谁可获胜 1992 年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题 讲析 因为两人轮流各取一次后 可以做到只取 3 根 谁要抢到第 1992 根 谁 就必须抢到第 1989 根 进而抢到第 1986 1983 1980 6 3 根 谁抢到第 3 根呢 自然是后取的人 即后取的可以获胜 后者获胜的策略是 当先取的人每取一次火柴梗时 他紧接着取一次 每次取 的根数与先取的加起来的和等于 3 例 3 有分别装球 73 个和 118 个的两个箱子 两人轮流在任一箱中任意取球 规定取得最后一球者为胜 问 若要先取者为获胜 应如何取 上海市数学竞赛试题 讲析 先取者应不断地让后者在取球之前 使两箱的球处于平衡状态 即每次 先取者取之后 使两箱球保持相等 这样 先取者一定获胜 4444 直接思路 直接思路 直接思路 是解题中的常规思路 它一般是通过分析 综合 归纳等方法 直接找到解题的途径 顺向综合思路顺向综合思路 从已知条件出发 根据数量关系先选择两个已知数量 提出 可以解决的问题 然后把所求出的数量作为新的已知条件 与其他的已知条件搭配 再提出可以解决的问题 这样逐步推导 直到求出所要求的解为止 这就是顺向综 合思路 运用这种思路解题的方法叫 综合法 例 1 兄弟俩骑车出外郊游 弟弟先出发 速度为每分钟 200 米 弟弟出发 5 分 钟后 哥哥带一条狗出发 以每分钟 250 米的速度追赶弟弟 而狗以每分钟 300 米 的速度向弟弟追去 追上弟弟后 立即返回 见到哥哥后又立即向弟弟追去 直到 哥哥追上弟弟 这时狗跑了多少千米 分析 按顺向综合思路探索 1 根据弟弟速度为每分钟 200 米 出发 5 分钟的条件 可以求什么 可以求出弟弟走了多少米 也就是哥哥追赶弟弟的距离 2 根据弟弟速度为每分钟 200 米 哥哥速度为每分钟 250 米 可以求什么 可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米 3 通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为 1000 米 每分钟可追上的距 离为 50 米 根据这两个条件 可以求什么 可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间 4 狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑 看起来很复杂 仔细想一想 狗跑的 时间与谁用的时间是一样的 狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的 5 已知狗以每分钟 300 米的速度 在哥哥与弟弟之间来回奔跑 直到哥哥追 上弟弟为止 和哥哥追上弟弟所需的时间 可以求什么 可以求出这时狗总共跑了多少距离 这个分析思路可以用下图 图 2 1 表示 例 2 下面图形 图 2 2 中有多少条线段 分析 仍可用综合思路考虑 我们知道 直线上两点间的一段叫做线段 如果我们把上面任意相邻两点间的 线段叫做基本线段 那么就可以这样来计数 1 左端点是 A 的线段有哪些 有 AB AC AD AE AF AG 共 6 条 2 左端点是 B 的线段有哪些 有 BC BD BE BF BG 共 5 条 3 左端点是 C 的线段有哪些 有 CD CE CF CG 共 4 条 4 左端点是 D 的线段有哪些 有 DE DF DG 共 3 条 5 左端点是 E 的线段有哪些 有 EF EG 共 2 条 6 左端点是 F 的线段有哪些 有 FG 共 1 条 然后把这些线段加起来就是所要求的线段 逆向分析思路逆向分析思路 从题目的问题入手 根据数量关系 找出解这个问题所需要 的两个条件 然后把其中的一个 或两个 未知的条件作为要解决的问题 再找出 解这一个 或两个 问题所需的条件 这样逐步逆推 直到所找的条件在题里都是 已知的为止 这就是逆向分析思路 运用这种思路解题的方法叫分析法 例 1 两只船分别从上游的 A 地和下游的 B 地同时相向而行 水的流速为每分钟 30 米 两船在静水中的速度都是每分钟 600 米 有一天 两船又分别从 A B 两地 同时相向而行 但这次水流速度为平时的 2 倍 所以两船相遇的地点比平时相遇点 相差 60 米 求 A B 两地间的距离 分析 用分析思路考虑 1 要求 A B 两地间的距离 根据题意需要什么条件 需要知道两船的速度和与两船相遇的时间 2 要求两船的速度和 必要什么条件 两船分别的速度各是多少 题中已告之在静水中两船都是每分钟 600 米 那么 不论其水速是否改变 其速度和均为 600 600 米 这是因为顺水船速为 船速 水速 逆水船速为 船速 水速 故顺水船速与逆水船速的和为 船速 水速 船速 水速 2 个船速 实为船在静水中的速度 3 要求相遇的时间 根据题意要什么条件 两次相遇的时间因为距离相同 速度和相同 所以应该是相等的 这就是说 尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了 30 米 仍不会改变相遇时间 只是改 变了相遇地点 偏离原相遇点 60 米 由此可知两船相遇的时间为 60 30 2 小时 此分析思路可以用下图 图 2 3 表示 例 2 五环图由内径为 4 外径为 5 的五个圆环组成 其中两两相交的小曲边四 边形 阴影部分 的面积都相等 如图 2 4 已知五个圆环盖住的总面积是 122 5 求每个小曲边四边形的面积 圆周率 取 3 14 分析 仍用逆向分析思路探索 1 要求每个小曲边四边形的面积 根据题意必须知道什么条件 曲边四边形的面积 没有公式可求 但若知道 8 个小曲边四边形的总面积 则 只要用 8 个曲边四边形总面积除以 8 就可以得到每个小曲边四边形的面积了 2 要求 8 个小曲边四边形的总面积 根据题意需要什么条件 8 个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分 因此只要把五个 圆环的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了 3 要求五个圆环的总面积 根据题意需要什么条件 求出一个圆环的面积 然后乘以 5 就是五个圆环的总面积 4 要求每个圆环的面积 需要什么条件 已知圆环的内径 4 和外径 5 然后按圆环面积公式求就是了 圆环面积公式为 S 圆环 R2 r2 R r R r 其思路可用下图 图 2 5 表示 一步倒推思路一步倒推思路 顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系 不可分割的 在 解题时 两种思路常常协同运用 一般根据问题先逆推第一步 再根据应用题的条 件顺推 使双方在中间接通 我们把这种思路叫 一步倒推思路 这种思路简明 实用 例 1 一只桶装满 10 千克水 另外有可装 3 千克和 7 千克水的两只空桶 利用 这三只桶 怎样才能把 10 千克水分为 5 千克的两份 分析 用一步倒推思路考虑 1 逆推第一步 把 10 千克水平分为 5 千克的两份 根据题意 关键是要找 到什么条件 因为有一只可装 3 千克水的桶 只要在另一只桶里剩 2 千克水 利用 3 2 5 就可以把水分成 5 千克一桶 所以关键是要先倒出一个 2 千克水 2 按条件顺推 第一次 10 千克水倒入 7 千克桶 10 千克水桶剩 3 千克水 7 千克水倒入 3 千克桶 7 千克水桶剩 4 千克水 3 千克水桶里有水 3 千克 第二次 3 千克桶的水倒入 10 千克水桶 这时 10 千克水桶里有水 6 千克 把 7 千克桶里的 4 千克水倒入 3 千克水桶里 这时 7 千克水桶里剩水 1 千克 3 千克水桶里有水 3 千 克 第三次 3 千克桶里的水倒入 10 千克桶里 这时 10 千克桶里有水 9 千克 7 千 克桶里的 1 千克水倒入 3 千克桶里 这时 7 千克桶里无水 3 千克桶里有水 1 千克 第四次 10 千克桶里的 9 千克水倒入 7 千克桶里 10 千克水桶里剩下 2 千克水 7 千克桶里的水倒入 3 千克桶里 原有 1 千克水 只倒出 2 千克水 7 千克桶里剩 水 5 千克 3 千克桶里有水 3 千克 然后把 3 千克桶里的 3 千克水倒 10 千克桶里 因为原有 2 千克水 这时也正好是 5 千克水了 其思路可用下图 图 2 6 和图 2 7 表示 问题 例 2 今有长度分别为 1 2 3 9 厘米的线段各一条 可用多少种不同的方 法 从中选用若干条线段组成正方形 分析 仍可用一步倒推思路来考虑 1 逆推第一步 要求能用多少种不同方法 从中选用若干条线段组成正方形 必须的条件是什么 根据题意 必须知道两个条件 一是确定正方形边长的长度范围 二是每一种 边长有几种组成方法 2 从条件顺推 因为九条线段的长度各不相同 所以用这些线段组成的正方形至少要 7 条 最多用了 9 条 这样就可以求出正方形边长的长度范围为 1 2 当边长为 7 厘米时 各边分别由 1 6 2 5 3 4 及 7 组成 只有一种组成方 法 当边长为 8 厘米时 各边分别由 1 7 2 6 3 5 及 8 组成 也只有一种组成 方法 当边长为 9 厘米时 各边分别由 1 8 2 7 3 6 及 9 1 8 2 7 4 5 及 9 2 7 3 6 4 5 及 9 1 8 3 6 4 5 及 9 1 8 2 7 3 6 及 4 5 共 5 种组成方法 当边长为 10 厘米时 各边分别由 1 9 2 8 3 7 及 4 6 组成 也只有一 种组成方法 当边长为 11 厘米时 各边分别由 2 9 3 8 4 7 及 5 6 组成 也只有一 种组成方法 将上述各种组成法相加 就是所求问题了 此题的思路图如下 图 2 8 问题 还原思路还原思路 从叙述事情的最后结果出发利用已知条件 一步步倒着推理 直 到解决问题 这种解题思路叫还原思路 解这类问题 从最后结果往回算 原来加 的用减 原来减的用加 原来乘的用除 原来除的用乘 运用还原思路解题的方法 叫 还原法 例 1 一个数加上 2 减去 3 乘以 4 除以 5 等于 12 你猜这个数是多少 分析 用还原思路考虑 从运算结果 12 逐步逆推 这个数没除以 5 时应等于多少 没乘以 4 时应等于多 少 不减去 3 时应等于多少 不加上 2 时又是多少 这里分别利用了加与减 乘与 除之间的逆运算关系 一步步倒推还原 直找到答案 其思路图如下 图 2 9 条件 例 2 李白街上走 提壶去打酒 遇店加一倍 见花喝一斗 三遇店和花 喝光 壶中酒 试问酒壶中 原有多少酒 分析 用还原思路探索 李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名算题 题意 是 李白提壶上街买酒 喝酒 每次遇到酒店 便将壶中的酒量增添 1 倍 而每次 见到香花 便饮酒作诗 喝酒 1 斗 这样他遇店 见花经过 3 次 便把所有的酒全 喝光了 问 李白的酒壶中原有酒多少 下面我们运用还原思路 从 三遇店和花 喝光壶中酒 开始推算 见花前 有 1 斗酒 第三次 见花后 壶中酒全喝光 第三次 遇店前 壶中有酒半斗 第一次 见花前 壶中有酒为第二次遇店前的再加 1 斗 遇店前 壶中有酒为第一次见花前的一半 其思路图如下 假设思路假设思路 在自然科学领域内 一些重要的定理 法则 公式等 常常是在 首先提出假设 猜想 然后再进行检验 证实 的过程中建立起来的 数学解题 中 也离不开假设思路 尤其是在解比较复杂的题目时 如能用 假设 的办法去 思考 往往比其他思路简捷 方便 我们把先提出假设 猜想 再进行检验 证实 的解题思路 叫假设思路 例 1 中山百货商店 委托运输队包运 1000 只花瓶 议定每只花瓶运费 0 4 元 如果损坏一只 不但不给运费 而且还要赔偿损失 5 1 元 结果运输队获得运费 382 5 元 问 损坏了花瓶多少只 分析 用假设思路考虑 1 假设在运输过程中没有损坏一个花瓶 那么所得的运费应该是多少 0 4 1000 400 元 2 而实际只有 383 5 元 这当中的差额 说明损坏了花瓶 而损坏一只花瓶 不但不给运费 而且还要赔偿损失 5 1 元 这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花 瓶的差额应该是多少元 0 4 5 1 5 5 元 3 总差额中含有一个 5 5 元 就损坏了一只花瓶 含有几个 5 5 元 就是损 坏了几只花瓶 由此便可求得本题的答案 例 2 有 100 名学生在车站准备乘车去离车站 600 米的烈士纪念馆搞活动 等最 后一人到达纪念馆 45 分钟以后 再去离纪念馆 900 米的公园搞活动 现在有中巴和 大巴各一辆 它们的速度分别是每分钟 300 米和 150 米 而中巴和大巴分别可乘坐 10 人和 25 人 问最后一批学生到达公园最少需要多少时间 分析 用假设思路思索 假设从车站直接经烈士纪念馆到公园 则路程为 600 900 米 把在最后 1 人到达纪念馆后停留 45 分钟 假设为在公园停留 45 分钟 则问题将大大简化 1 从车站经烈士纪念馆到达公园 中巴 大巴往返一次各要多少时间 中巴 600 900 300 2 10 分钟 大巴 600 900 150 2 20 分钟 2 中巴和大巴在 20 分钟内共可运多少人 中巴每次可坐 10 人 往返一次要 10 分钟 故 20 分钟可运 20 人 大巴每次可坐 25 人 往返一次要 20 分钟 故 20 分钟可运 25 人 所以在 20 分钟内中巴 大巴共运 45 人 3 中巴和大巴 20 分钟可运 45 人 那么 40 分钟就可运 45 2 90 人 100 人运走 90 人还剩下 10 人 还需中巴再花 10 分钟运一次就够了 4 最后可求出最后一批学生到达公园的时间 把运 90 人所需的时间 运 10 人所需的时间 和在纪念馆停留的时间相加即可 消去思路消去思路 对于要求两个或两个以上未知数的数学题 我们可以想办法将其 中一个未知数进行转化 进而消去一个未知数 使数量关系化繁为简 这种思路叫 消去思路 运用消去思路解题的方法叫消去法 二元一次方程组的解法 就是沿着 这条思路考虑的 例 1 师徒两人合做一批零件 徒弟做了 6 小时 师傅做了 8 小时 一共做了 312 个零件 徒弟 5 小时的工作量等于师傅 2 小时的工作量 师徒每小时各做多少 个零件 分析 用消去思路考虑 这里有师 徒每小时各做多少个零件两个未知量 如果以徒弟每小时工作量为 1 份 把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替 那么师傅 8 小时的工作量相当于这 样的几份呢 很明显 师傅 2 小时的工作量相当于徒弟 5 小时的工作量 那么 8 小 时里有几个 2 小时就是几个 5 小时工作量 这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工 作量 题目里就消去了师傅工作量这个未知数 然后再看 312 个零件里包含了多少 个徒弟单位时间里的工作量 就是徒弟应做多少个 求出了徒弟的工作量 根据题 中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系 也就能求出师傅的工作量了 例 2 小明买 2 本练习本 2 枝铅笔 2 块橡皮 共用 0 36 元 小军买 4 本练习 本 3 枝铅笔 2 块橡皮 共用去 0 60 元 小庆买 5 本练习本 4 枝铅笔 2 块橡皮 共用去 0 75 元 问练习本 铅笔 橡皮的单价各是多少钱 分析 用消去法思考 这里有三个未知数 即练习本 铅笔 橡皮的单价各是多少钱 我们要同时求 出三个未知数是有困难的 应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数 只留下一 个未知数就好了 如何消去一个未知数或两个未知数 一般能直接消去的就直接消去 不能直接 消去 就通过扩大或缩小若干倍 使它们之间有两个相同的数量 再用加减法即可 消去 本题把小明小军 小庆所购买的物品排列如下 小明 2 本 2 枝 2 块 0 36 元 小军 4 本 3 枝 2 块 0 60 元 小庆 5 本 4 枝 2 块 0 75 元 现在把小明的各数分别除以 2 可得到 1 本练习本 1 枝铅笔 1 块橡皮共 0 18 元 接着用小庆的各数减去小军的各数 得 1 本练习本 1 枝铅笔为 0 15 元 再把小明各数除以 2 所得的各数减去上数 就消去了练习本 铅笔两个未知数 得到 1 块橡皮 0 03 元 采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价 转化思路转化思路 解题时 如果用一般方法暂时解答不出来 就可以变换一种方式 去思考 或改变思考的角度 或转化为另外一种问题 这就是转化思路 运用转化 思路解题就叫转化法 各养兔多少只 分析 用转化思路思索 题中数量关系比较复杂 两个分率的标准量不同 为了简化数量关系 只呢 这时两人养的总只数该是多少只呢 假设后的数量关系 两人养的总只数应 是 100 16 3 52 只 分析 用转化思路分析 本题求和 题中每个分数的分子都是 1 分母是几个连续自然数的和 好像不 能把每个分数分成两个分数相减 然后相加抵消一些数 但是只要我们按等差数列 求和公式 求出分母就会发现 可将上面各分数的分母转化为两个连续自然数积的 形式 所以例题可以转化为 然后再相加 抵消中间的各个分数即可 类比思路类比思路 类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题 例如从等差数列 求和公式想到梯形面积公式 从矩形面积公式想到长方体体积公式等等 类比是一 个重要的思想方法 也是解题的一种重要思路 例 1 有一个挂钟 每小时敲一次钟 几点钟就敲几下 钟敲 6 下 5 秒钟敲完 钟敲 12 下 几秒敲完 分析 用类比思路探讨 有人会盲目地由倍数关系下结沦 误认为 10 秒钟敲完 那就完全错了 其实此 题只要运用类比思路 与植树问题联系起来想一想就通了 一条线路植树分成几段 株距 如果不包括两个端点 共需植 n 1 棵树 如果包括两个端点 共需植 树 n 1 棵 把钟点指数看作是一棵棵的树 把敲的时间看作棵距 此题就迎刃 而解了 例 2 从时针指向 4 点开始 再经过多少分钟 时针正好与分钟重合 分析 用类比思路讨论 本题可以与行程问题进行类比 如图 2 11 如果用时针 1 小时所走的一格作为 路程单位 那么本题可以重新叙述为 已知分针与时针相距 4 格 分 如果分针与时针同时同向出发 问 分针过多少分钟可追上时针 这样就与行程问 题中的追及问题相似了 4 为距离差 速度差为 重合的时间 就是追上的时间 分类思路分类思路 把一个复杂的问题 依照某种规律 分解成若干个较简单的问题 从而使问题得到解决 这就是分类思路 这种思路在解决数图形个数问题中经常用 到 例 1 如图 2 12 共有多少个三角形 分析 用分类思路考虑 这样的图直接去数有多少个三角形 要做到能不重复 又不遗漏 是比较困难 的 怎么办 可以把图中所有三角形按大小分成几类 然后分类去数 再相加就是 总数了 本题根据条件 可以分为五类 如图 2 13 例 2 如图 2 14 象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方 将 处 这小卒有多少种不同的走法 分析 运用分类思路分析 小卒过河后 首先到达 A 点 因此 题目实际上是问 从 A 点出发 沿最短路 径有多少种走法可以到达 将 处 所谓最短 是指不走回头路 因为 将 直接相通的是 P 点和 K 点 所以要求从 A 点到 将 处有多少种走 法 就必须是求出从 A 到 P 和从 A 到 K 各有多少种走法 分类 一种走法 A 到 B C D E F G 都是各有一种走法 二种走法 从 A 到 H 有两种走法 三种走法 从 A 到 M 及从 A 到 I 各有三种走法 其他各类的走法 因为从 A 到 M 到 I 各有 3 种走法 所以从 A 到 N 就有 3 3 6 种走法了 因为从 A 到 I 有 3 种走法 从 A 到 D 有 1 种走法 所以从 A 到 J 就有 3 1 4 种走法了 P 与 N J 相邻 而 A 到 N 有 6 种走法 A 到 J 有 4 种走法 所以从 A 到 P 就有 6 4 10 种走法了 同理 K 与 J E 相邻 而 A 到 J 有 4 种走法 到 E 有 1 种走法 所以 A 到 K 就有 4 1 5 种走法 再求从 A 到 将 处共