高一数学必修一,必修二概念

1 AAAAABBA AAAAAABBA 必修一必修一 1 集合中元素的性集合中元素的性质质 1 确定性确定性 集合中的元素必须是确定的 即任何一个对象 都能判断它是或者不是某个集合的元素 二 者必居其一 2 互异性互异性 集合中的任意两个元素都是不同的 即同一个元素在一个集合里不能同时出现 3 无序性无序性 集合中的元素没有顺序性 2 元素与集合的关系元素与集合的关系 1 如果是集合的元素 就说属于集合 记作 aAaAaA 2 如果不是集合的元素 就说不属于集合 记作 aAaAaA 3 集合的表示方法集合的表示方法 1 列举法 列举法是把集合中元素一一列举出来的方法 2 描述法 描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法 3 图示法 指文氏图法 4 集合的分集合的分类类 1 有限集 含有有限个元素的集合 2 无限集 含有无限个元素的集合 5 集合与集合的关系 集合与集合的关系 有 包含 和 不包含 两种情形 6 集合相等集合相等 若且 则AB BA AB 7 子集的性子集的性质质 1 A A 2 A B B C A C 3 A B B A A B 4 A 的所有子集的个数为 n aaaa 321 n 2 8 空集空集 1 空集是任何集合的子集 记作 A 2 空集是任何非空集合的真子集 记作 A A 9 补补集集 1 补集的意义 U C Ax xUxA 且 2 补集的特性 UUUU C UCUCC AA 10 交集 交集 A B x x A 且且 x B 并集 并集 A B x x A 或或 x B 11 交集 并集的性 交集 并集的性质质 12 ABABAABABB 13 BCACBAC UUU BCACBAC UUU 14 最基本最基本绝对值绝对值不等式不等式 x x 0 的解的解aa a 1 x x 0 的解aa a 一般地 不等式 x 0 的解集 x x a aaa 不等式 x 0 的解集是 x x 或 x a aaa 2 2 x x 0 解的几何意义aaa 不等式 x x 0 在数轴上分别表示到原点的距离小于 大于的点 如下图所示 aaaa 15 x b c x b c c 0 型不等式的解法型不等式的解法aa 1 x b c x b c c 0 型不等式的解法aa x b c c 0 型不等式的解法是 先化为不等式组 c x b c 再由不等式的性质求出原不等式的aa 解集 x b c c 0 型不等式的解法是 先化为x b c 或x b c 再进一步利用不等式性质求出原不aaa 等式的解集 16 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 17 复合命复合命题题的三种表的三种表现现形式形式 pq 或或pq pq 且且pq p 非非p 真真真真真真真真真假假 真假真真真假假假假真真 假真真真假真假假 假假假假假假假假 18 常用的正面叙述的常用的正面叙述的词语词语及它的否定列及它的否定列举举如下如下 正面正面词语词语至多有一个至多有一个至少有一个至少有一个任意的任意的所有的所有的至多有至多有 n 个个任意两个任意两个 否否 定定至少有两个一个也没有某个某些至少有 n 1 个某两个 正面正面词语词语等等 于于大于大于 小于小于 是是都是都是 一定一定 否否 定定不等于不大于 不小 不是不都是 不一定 19 四种命四种命题题 1 用和分别表示原命题的条件和结论 用和分别表示和的否定 则四种命题的形式为 pqp q pq 原命题 若则 逆命题 若则pqqp 否命题 若则 逆否命题 若则p q q p 2 四种命题的关系 互否 互否 互逆 原命题 若则 pq逆命题 若则 qp 互逆 否命题若 则 p q 逆否命题 若则 q p 3 注 一个命题它的逆否命题 当一个命题的真假不易判断时 可转而判断它的逆否命题 20 数量命数量命题题中中 特称命题的否定是全称命题 全称命题的否定是特称命题 21 命命题题的否定与否命的否定与否命题题 命题 T 若 则pq 命题 T 的否定 若 则 命题 T 的否命题 若 则pq p q 22 若若 则则是是的充分条件 若的充分条件 若 则则是是的必要条件 的必要条件 pq pqpq pq 若若 且 且 则则是是的充要条件的充要条件pq pq pq 23 若若是是的充分条件的充分条件 则则是是的必要条件的必要条件pqp q 24 证证明明是是的充要条件的步的充要条件的步骤骤pq 充分性 把当作已知条件 结合命题的前提条件 推出pq 必要性 把当作已知条件 结合命题的前提条件 推出qp 第二章第二章 函数 函数 导导数及其数及其应应用用 1 映射有如下三个特征映射有如下三个特征 A 到到 B 1 A中的任一元素在B中都有象 且象唯一 2 A中不同的元素在B中可以有相同的象 3 并不要求B中所有元素在A中都有原象 2 A B 从 到 可以建立 从 到 可以建立个不同的映射 个不同的映射 123 n a a aa 123 m b b bb n m 3 函数的表示方法函数的表示方法 常用的有解析法 列表法 图象法三种 4 函数定函数定义义域的求法 列方程 域的求法 列方程 组组 解方程 解方程 组组 与实际问题有关的函数 其定义域是使函数解析式有意义且 使实际问题有意义的自变量的范围 5 函数函数值值域的求法域的求法 1 单调性法 ykxb 2 配方法 2 ya f xbf xc 4 反表示法 单调性法 dcx bax y 5 判别式法 单调性法 0 21 22 2 2 11 2 1 aa cxbxa cxbxa y 6 判别式法 均值不等式法 1 xf xfy 7 换元法 单调性法 yaxbmpxq 8 y sinx b y cosx b 有界性 aa 6 函数关系函数关系 1 已知 求的方法 直接把中的换成即可 xf xuf xfx xu 2 已知 求的方法 xuf xf 换元法 设 反解 代入即可求得 xut tx xf 4 配凑法 在中凑出 直接将换成 xuf xu xux 7 反函数反函数 把它写成y f x 注注 1 1 一个函数在其整个定义域内不一定存在反函数 但在某一个区间上有反函数 2 反函数的定义域与值域分别是原函数的值域与定义域 3 反函数有下面两条性质 在同一坐标系中 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y x 对称 反之 如果两个函数的图象关于 直线 y x 对称 那么这两个函数是互为反函数 函数与其反函数在各自的定义域上有相同的单调性 单调递增函数与其反函数图象的交点必在直线 y x 上 4 求反函数的一般步骤是 由已知函数 y f x 解出 x f y 1 把 x f y 中的 x 与 y 对调 得 y f x 1 1 写出定义域 即原来函数的值域 8 奇偶函数的定奇偶函数的定义义 若的定义域 I 关于原点对称 即则 且 或 则函数 xf Ix Ix xfxf xfxf 叫偶函数 或奇函数 xf 9 奇偶函数的的性奇偶函数的的性质质 是奇函数的图象关于原点对称 xf xf 是偶函数的图象关于轴对称 xf xfy 奇函数在其对称区间上具有相同的单调性 偶函数在其对称区间上具有相反的单调性 10 判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性的方法 定义法 定义域关于原点对称与 结合起来判断 xfxf xfxf 或定义域关于原点对称与是偶函数 是奇函数 0 fxf xf x 0 fxf xf x 结合起来判断 图象法 利用图象的对称性判断 11 有关函数奇偶性的重要有关函数奇偶性的重要结论结论 若是偶函数 则 xf f xfxfxfx 若是奇函数 且在处有定义 则 f 0 0 xf0 x 若且的定义域关于原点对称 则既是奇函数又是偶函数 0 xf xf xf 12 单调单调函数的定函数的定义义 设是定义域内的一个区间 对于任意的 A xf 21 x xA 若时 有 则在上为增函数 21 xx 21 xfxf xfA 5 若时 有 则在上为减函数 21 xx 21 xfxf xfA 13 单调单调性的判定方法性的判定方法 定义法 任取两变量 作差 变形 定号 结论 14 复合函数复合函数单调单调性性 同增异减原则 15 有关函数有关函数单调单调性的重要性的重要结论结论 若都为增 或减 函数 则为增 或减 函数 xgxf xgxf 若为增函数 为减函数 则为增函数 xf xg xgxf 若为减函数 为增函数 则为减函数 xf xg xgxf 奇函数在其对称的区间上单调性相同 偶函数在其对称的区间上单调性相反 互为反函数的两个函数有相同的单调性 16 图图象的象的变换变换 对称变换 xfy 轴对称关于x xfy xfy 轴对称关于y xfy xfy 关于原点对称 xfy xfy xfy xxx 轴上方到轴下方的图象对称的翻轴上方的图象保留 将将 xfy xfy yyy 轴左边的图象轴对称图象 去掉关于轴右边的图象 并作保留 xfy xfy xy1 关于直线 平移变换 xfy hxfy hh 左移 右移 00 xfy kxfy kk 下移 上移 00 17 幂幂的有关概念的有关概念 正整数指数幂 Nnaaaaa n 零指数幂 01 0 aa 负整数指数幂 Npa a a p p 0 1 正分数指数幂 1 0 nNnmaaa nm n m 且 负分数指数幂 1 0 1 nNnma a a n m n m 且 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 18 有理指数有理指数幂幂的性的性质质 n 个 6 Qsraaaa srsr 0 Qsraaa rssr 0 Qrbabaab rr r 00 19 指数与指数与对对数数 中的重要公式中的重要公式 NbNa a b log 01log a 1log a a a b b c c a log log log 1log log ab ba logab ab 7 b m n b a n am loglog NMMN aaa logloglog MN M N aaa logloglog MnM a n a loglog M n M a n a log 1 log 15lg2lg 20 指数函数的指数函数的图图象及性象及性质质 解析式 1 aay x 10 aay x 图 象 定义域 值 域 0 0 单调性在上是增函数 在上是减函数 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 对的xy 影响 当时 0 x10 y 当时 0 x 1 y 当时 0 x 1 y 当时 0 x1 y 当时 0 x1 y 当时 0 x10 y 21 对对数函数的数函数的图图象及性象及性质质 解析式 1log axy a 10log axy a 图 象 1 y xo 1 y x o 1 y x o 1 y x o 7 定义域 0 0 值 域 单调性在上是增函数 0在上是减函数 0 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 对的xy 影响 当时 10 x 0 y 当时 1 x0 y 当时 1 x0 y 当时 10 x 0 y 当时 1 x0 y 当时 1 x 0 y 22 幂幂函数函数 的的图图像及性像及性质质 几种特殊 几种特殊幂幂函数的性函数的性质质 幂幂函数的性函数的性质总结质总结yx R 图象分布 幂函数图象分布在第一 二 三象限 第四象限无图象 幂函数是偶函数时 图象分布在第一 二象限 图象关于轴对称 是奇函数时 图象分布在第一 三象限 图象关于原点对称 是非奇非偶函数时 y 图象只分布在第一象限 过定点 所有的幂函数在都有定义 并且图象都通过点 0 1 1 单调性 如果 则幂函数的图象过原点 并且在上为增函数 如果 则幂函数的图象0 0 0 在上为减函数 在第一象限内 图象无限接近轴与轴 0 xy 奇偶性 当为奇数时 幂函数为奇函数 当为偶数时 幂函数为偶函数 当 其中互质 q p p q 和 若为奇数为奇数时 则是奇函数 若为奇数为偶数时 则是偶函数 pqZ pq q p yx pq q p yx 若为偶数为奇数时 则是非奇非偶函数 pq q p yx 图象特征 幂函数 当时 若 其图象在直线下方 若 其 0 yxx 1 01x yx 1x 图象在直线上方 当时 若 其图象在直线上方 若 其图象在直线yx 1 01x yx 1x 下方 yx 23 二次函数二次函数 1 二次函数解析式的三种形式 一般式 2 0 f xaxbxc a 顶点式 2 0 f xa xhk a 两根式 12 0 f xa xxxxa 2 求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时 宜用一般式 已知抛物线顶点坐标或与对称轴有关或与最大 小 值有关时 常使用顶点式 已知抛物线与轴有两个交点 且横线坐标已知时 选用两根式求更方便 x f x 3 二次函数图象的性质 8 二次函数的图象是一条抛物线 对称轴方程为顶点坐标是 2 0 f xaxbxc a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 当时 抛物线开口向上 函数在上递减 在上递增 当时 0a 2 b a 2 b a 2 b x a 2 min 4 4 acb fx a 当时 抛物线开口向下 函数在上递增 在上递减 当时 0a 2 b a 2 b a 2 b x a 2 max 4 4 acb fx a 对于二次函数 当时 图象与轴有两个交点 2 0 f xaxbxc a 2 40bac x 11221212 0 0 M xMxM Mxx a 4 二次函数在闭区间上的最值 可根据抛物线的对称轴与区间的关系 利 2 0 f xaxbxc a p q 用图像法求值域 一般可分为四种情况 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 轴动区间动 5 利用二次函数及一元二次方程求解一元二次不等式如下表 判别式acb4 2 0 0 0 二次函数 图象 0 2 acbxaxy 一元二次方程 根 0 2 cbxax 0 a 两相异根 2 1 2 4 2 bbac x a 两等根 a b xx 2 21 无实数根 0 2 cbxax 的解集 0 a 21 xxxxx 或 a b xx 2 R 0 2 cbxax 的解集 0 a 21 xxxx 24 指数方程的解法 指数方程的解法 bxfba a xf log xgxfaa xgxf bxgxfba a xgxf log xx ataf 令0 o y x o y xo y x 9 f x ag x 图 25 对对数方程的解法数方程的解法 2 b a axfbxf log0 log log xgxfxgxf aa 3 令 4 图象法 0 log xf a tx a log logxgxf a 26 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点 1 函数零点的概念 对于函数 把使成立的实数叫做函数 Dxxfy 0 xfx 的零点 Dxxfy 2 函数零点的意义 函数的零点就是方程实数根 亦即函数的图象 xfy 0 xf xfy 与轴交点的横坐标 即 x 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 0 xf xfy x xfy 3 函数零点的求法 xfy 代数法 求方程的实数根 1 0 xf 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数的图象联系起来 并利用函数 2 xfy 的性质找出零点 零点存在定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 xfy a b 那么函数在区间内有零点 即存在 使得这个也就 0f af b xfy a b ca b 0f c c 是方程的根 0f x 注意 若函数在上有零点 不一定有 xfy a b 0f af b 二分法 对于在区间上连续不断且的函数 通过不断地把函数的 a b 0f af b xfy f x 零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法 32 三种增三种增长长型函数增型函数增长长速度的比速度的比较较 在区间上 函数 都是增函数 但它们的增长速度 0 1 x yaa log 1 a yx a 0 n yxn 不同 随着的增大 的增长速度越来越快 会超过并远远大于的增长速度 而x 1 x yaa 0 n yxn 的增长速度则会越来越慢 图象逐渐表现为与轴趋于平行 因此 总会存在一个 当log 1 a yx a x 0 x 时 就有 0 xx log nx a xxa 必修二必修二 立体几何立体几何 1 有且只有有且只有 命命题题的的证证明明 须先证存在性 再证唯一性 2 证证明直明直线线在平面内的方法 在平面内的方法 只需证明直线上有两点在平面内 3 证证明点共明点共线线的方法 的方法 只需证明这些点是两个不重合平面的公共点 4 证证明明线线共面的方法共面的方法 先由其中两条平行直线或两条相交直线确定一个平面 再证明其余直线都在这个平 面内 5 两条直线垂直的判定 10 定 理 文字语言 图 形 语 言符 号 语 言 一直线垂直于一个平面 则这直线垂直于这个平面 内的任意一条直线 ab a b 平面内的一条直线 如果 和这平面的一条斜线的射 影垂直 那么它也和这斜 线垂直 三垂线定理 ACb b bBC AB 在平面内的一条直线 如 果和这平面的一条斜线垂 直 那么它也和这斜线的 射影垂直 三垂线逆定理 BCb b bAC AB 如果一条直线和两条平行 线中的一条直线垂直 那 么也和另一条垂直 不一 定相交 bl al ba 6 两条直线平行的判定 定 理 文字语言 图 形 语 言符 号 语 言 平行于同一条直线的两条 直线平行 平行公理 ba cb ca 垂直于同一平面的两条直 线平行 ba b a 一条直线平行于一个平面 则过这条直线的平面与原 平面的交线必平行于这条 直线 ab b a a 如果两个平行平面和第三 个平面相交 它们的两条 交线互相平行 ba b a 7 直线与平面垂直的判定 定 理 文字语言 图 形 语 言符 号 语 言 一条直线和平面内的两条 相交直线都垂直 那么这 直线和这平面垂直 bcac Aba b a c a b a c b a a b b C B A b C B A b a l a b a b b c 11 两条平行线中的一条垂直 于一个平面 那么另一条 直线也垂直于这个平面 ba a a 一条直线垂直于两个平行 平面中的一个平面 则这 条直线也垂直于另一个平 面 b b 如果两个相交平面都垂直 于第三个平面 那么它们 的交线也必垂直于第三个 平面 l l 两个平面互相垂直 那么 在一个平面内垂直于它们 交线的直线 垂直于另一 平面 a a a b 8 直线和平面平行 定 理 文字语言 图 形 语 言符 号 语 言 平面外的一条直线如果和 这个平面内的一条直线平 行 则这条直线平行于这 个平面 b ba b a 两个平面互相平行 那么其 中一个平面内的任何一条 直线都平行于另一个平面 b b 若平面外的两条平行直线 中有一条和平面平行 则另 一条也和这个平面平行 b b ba a 9 两平面平行的判定 定 理 文字语言 图 形 语 言符 号 语 言 垂直于同一条直线的两个 平面平行 b b 如果一个平面内的两相交 直线都平行于另一个平面 则这两个平面平行 n m Anm n m b a a b b l b a b b a b n m 12 如果一个平面内的两相交 直线分别平行于另一个平 面内的两条相交直线 则这 两个平面平行 hn gm Bhg h g Anm n m 平行于同一个平面的两个 平面平行 10 两平面垂直的判定 定 理 文字语言 图 形 语 言符 号 语 言 一个平面经过另一个平面 的一条垂线 那么这两个平 面互相垂直 b b 如果两个平面所成的二面 角是直二面角 则这两个平 面垂直 是 c 2 一个平面垂直于两个平行 平面中的一个 也必垂直于 另一个 11 从空间一点 O 出发的三条射线 OA OB OC 若则点 A 在平面 BOC 上的射影在 AOCAOB 的平分线上 BOC AB 和平面所成的角为 AD 在平面内 AD 和 AB 的射影 AC 所成的角为 则 1 2 BAD 21 coscoscos 12 空间两点间的距离公式 设 则 222111 zyxBzyxA 2 21 2 21 2 21 zzyyxxAB 13 向量的模 设 则 zyxa 222 zyxa 14 点对称 点关于轴的对称点 zyxP x zyxP 1 点关于轴的对称点 zyxP y zyxP 2 点关于轴的对称点 zyxP z zyxP 3 h g n m b c a b 13 点关于原点的对称点 zyxP zyxP 4 点关于坐标平面的对称点 zyxP XOY zyxP 5 点关于坐标平面的对称点 zyxP ZOY zyxP 6 点关于坐标平面的对称点 zyxP XOZ zyxP 7 解析几何解析几何 1 直 直线倾线倾斜程度的表示斜程度的表示 倾斜角 斜率 非直角的倾斜角的正切值 0 斜率与倾斜角的计算 2 tgk 已知两点 则斜率 222111 yxPyxP 21 21 21 xx xx yy k 若 则直线的斜率不存在 此时直线的倾斜角为 21 xx 21P P 90 2 直 直线线方程的各种形式方程的各种形式 斜率不存在 方程为为直线在轴上的截距 00 x xx x 斜率存在 方程可列表如下 3 与直线 BACByAx 0 不同时为 0 平行的直线 方程的一般 形式为 0mcmByAx 4 与直线 BACByAx 0 不同时为 0 垂直的直线方程的一般形式为0 mAyBx 5 两直两直线线的位置关系的位置关系 若 111 bxkyl 222 bxkyl 与重合 1 l 2 l 2121 bbkk 1 l 2 l 2121 bbkk 形式方程适用范围 点 斜 式 00 xxkyy 90 斜 截 式bkxy 90 两 点 式 12 1 12 1 yy yy xx xx 90 0 截 距 式1 b y a x 直线不过原点 0 90 一般式 不BACByAx 0 同时为 0 适用于所有直线 14 与相交 特殊地 1 l 2 l 21 kk 21 ll 1 21 kk 若 0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 当时 0 2121 BBAA 21 ll 当时 且 0 1221 BABA 1221 CBCB 1 l 2 l 6 点点到直到直线线的距离的距离为为 00 yxp0 CByAx 22 00 BA CByAx d 7 与间的距离为0 11 CByAxl0 22 CByAxl 22 21 BA CC d 8 圆圆的方程的方程 标准方程一般方程 222 rbyax 配方 展开 0 22 FEyDxyx 圆心 半径 圆心半径 bar 2 2 ED FED4 2 1 22 9 二元二次方程表示一个圆的充要条件为0 22 FEyDxCyBxyAx 0 CA0 B04 22 AFED 10 以为直径的圆的方程为 21p p0 2121 yyyyxxxx 其中 222111 yxpyxp 11 点点与与圆圆的位置关系的位置关系 00 yxp0 22 FEyDxyx 点在圆外 00 yxp0 00 2 0 2 0 FEyDxyx 点在圆上 00 yxp0 00 2 0 2 0 FEyDxyx 点在圆内 00 yxp0 00 2 0 2 0 FEyDxyx 12 直直线线与与圆圆的位置关系的位置关系 设圆心到直线的距离为 圆