高考二次求导

第 1 页 共 68 页 高考二次求导高考二次求导 一 解答题 共一 解答题 共 40 小题 小题 1 已知函数 f x ax2 lnx g x bx 其中 a b R 设 h x f x g x 1 若 f x 在 x 处取得极值 且 f 1 g 1 2 求函数 h x 的单 调区间 2 若 a 0 时 函数 h x 有两个不同的零点 x1 x2 求 b 的取值范围 求证 1 2 设 a b R 函数 g x ex e 为自然对数的底数 且函数 f x 的图象与函数 g x 的图象在 x 0 处有公共的切线 求 b 的值 讨论函数 f x 的单调性 若 g x f x 在区间 0 内恒成立 求 a 的取值范围 3 已知函数 1 若 y f x 在 0 恒单调递减 求 a 的取值范围 2 若函数 y f x 有两个极值点 x1 x2 x1 x2 求 a 的取值范围并证明 x1 x2 2 4 已知函数 1 设 G x 2f x g x 求 G x 的单调递增区间 2 证明 当 x 0 时 f x 1 g x 3 证明 k 1 时 存在 x0 1 当 x 1 x0 时 恒有 5 已知函数 当 a 0 时 求曲线 f x 在 x 1 处的切线方程 第 2 页 共 68 页 设函数 h x alnx x f x 求函数 h x 的极值 若 g x alnx x 在 1 e e 2 718 28 上存在一点 x0 使得 g x0 f x0 成立 求 a 的取值范围 6 设函数 f x eax lnx 其中 a 0 e 是自然对数的底数 若 f x 是 0 上的单调函数 求 的取值范围 若 0 证明 函数 f x 有两个极值点 7 已知函数 a 为常数 a 0 当 a 1 时 求函数 f x 在点 3 f 3 的切线方程 求 f x 的单调区间 若 f x 在 x0处取得极值 且 而 f x 0 在 e 2 e3 2 上恒成立 求实数 a 的取值范围 其中 e 为自然对数的底数 8 已知函数 1 若 g x 在点 1 g 1 处的切线方程为 8x 2y 3 0 求 a b 的值 2 若 b a 1 x1 x2是函数 g x 的两个极值点 试比较 4 与 g x1 g x2 的大小 9 已知函数 f x x alnx 1 其中 a 为实数 求函数 g x 的极值 设 a 0 若对任意的 x1 x2 3 4 x1 x2 恒成立 求实数 a 的最小值 10 已知函数 f x xlnx k x 1 1 求 f x 的单调区间 并证明 lnx 2 e 为自然对数的底数 恒成立 2 若函数 f x 的一个零点为 x1 x1 1 f x 的一个零点为 x0 是否存 在实数 k 使 k 若存在 求出所有满足条件的 k 的值 若不存在 说明理 第 3 页 共 68 页 由 11 已知函数 f x x 2 ex a x 1 2 讨论 f x 的单调性 若 f x 有两个零点 求 a 的取值范围 12 设函数 f x ax2 a lnx g x 其中 a R e 2 718 为自然对数的 底数 讨论 f x 的单调性 证明 当 x 1 时 g x 0 确定 a 的所有可能取值 使得 f x g x 在区间 1 内恒成 立 13 设函数 f x x 1 3 ax b x R 其中 a b R 1 求 f x 的单调区间 2 若 f x 存在极值点 x0 且 f x1 f x0 其中 x1 x0 求证 x1 2x0 3 3 设 a 0 函数 g x f x 求证 g x 在区间 0 2 上的最大值 不小于 14 设函数 f x acos2x a 1 cosx 1 其中 a 0 记 f x 的最大值 为 A 求 f x 求 A 证明 f x 2A 15 设函数 f x x3 ax b x R 其中 a b R 1 求 f x 的单调区间 2 若 f x 存在极值点 x0 且 f x1 f x0 其中 x1 x0 求证 x1 2x0 0 3 设 a 0 函数 g x f x 求证 g x 在区间 1 1 上的最大值 第 4 页 共 68 页 不小于 16 已知函数 f x x 2 ex a x 1 2有两个零点 求 a 的取值范围 设 x1 x2是 f x 的两个零点 证明 x1 x2 2 17 已知 f x a x lnx a R I 讨论 f x 的单调性 II 当 a 1 时 证明 f x f x 对于任意的 x 1 2 成立 18 已知函数 f x lnx x2 若函数 g x f x ax 在其定义域内为增函数 求实数 a 的取值范围 在 的条件下 若 a 1 h x e3x 3aexx 0 ln2 求 h x 的 极小值 设 F x 2f x 3x2 kx k R 若函数 F x 存在两个零点 m n 0 m n 且 2x0 m n 问 函数 F x 在点 x0 F x0 处的切线 能否平行于 x 轴 若能 求出该切线方程 若不能 请说明理由 19 g x 2lnx x2 mx x R 如果 g x 的图象与 x 轴交于 A x1 0 B x2 0 x1 x2 AB 中点为 C x0 0 求证 g x0 0 20 已知函数 f x alnx ax 3 a R 求函数 f x 的单调区间 若函数 y f x 的图象在点 2 f 2 处的切线的倾斜角为 45 对于 任意的 t 1 2 函数 g x x3 x2 f x 在区间 t 3 上总不是单 调函数 求 m 的取值范围 求证 n 2 n N 21 设函数 f x 1 x 2 2ln 1 x 1 若关于 x 的不等式 f x m 0 在 0 e 1 有实数解 求实数 m 的取值范 第 5 页 共 68 页 围 2 设 g x f x x2 1 若关于 x 的方程 g x p 至少有一个解 求 p 的 最小值 3 证明不等式 n N 22 已知函数 f x alnx ax 3 a R 1 当 a 1 时 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 y f x 的图象在点 2 f 2 处的切线的倾斜角为 45 问 m 在什么范围取值时 对于任意的 t 1 2 函数在 区间 t 3 上总存在极值 23 已知函数 f x x3 x2 ax b a b 为常数 其图象是曲线 C 1 当 a 2 时 求函数 f x 的单调减区间 2 设函数 f x 的导函数为 f x 若存在唯一的实数 x0 使得 f x0 x0 与 f x0 0 同时成立 求实数 b 的取值范围 3 已知点 A 为曲线 C 上的动点 在点 A 处作曲线 C 的切线 l1与曲线 C 交于 另一点 B 在点 B 处作曲线 C 的切线 l2 设切线 l1 l2的斜率分别为 k1 k2 问 是否存在常数 使得 k2 k1 若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由 24 已知函数 f x alnx ax 3 a 0 讨论 f x 的单调性 若 f x a 1 x 4 e 0 对任意 x e e2 恒成立 求实数 a 的取值范 围 e 为自然常数 求证 ln 22 1 ln 32 1 ln 42 1 ln n2 1 1 2lnn n 2 n N n 1 2 3 n 25 已知函数 f x lnx x lna a 为常数 1 若函数 f x 有两个零点 x1 x2 且 x1 x2 求 a 的取值范围 2 在 1 的条件下 证明 的值随 a 的值增大而增大 第 6 页 共 68 页 26 已知函数 f x e1 x a cosx a R 若函数 f x 存在单调减区间 求实数 a 的取值范围 若 a 0 证明 总有 f x 1 2f x cos x 1 0 27 已知函数 f x e 为自然对数的底数 1 若 a 求函数 f x 的单调区间 2 若 f 1 1 且方程 f x 1 在 0 1 内有解 求实数 a 的取值范 围 28 已知函数 f x g x ln x 1 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程是 5x 4y 1 0 1 求 a b 的值 2 若当 x 0 时 恒有 f x kg x 成立 求 k 的取值范围 3 若 22361 试估计 ln的值 精确到 0 001 29 设 a R 函数 f x lnx ax 求 f x 的单调递增区间 设 F x f x ax2 ax 问 F x 是否存在极值 若存在 请求出极 值 若不存在 请说明理由 设 A x1 y1 B x2 y2 是函数 g x f x ax 图象上任意不同的 两点 线段 AB 的中点为 C x0 y0 直线 AB 的斜率为为 k 证明 k g x0 30 已知函数 f x x3 1 a x2 a a 2 x a R f x 为 f x 的导数 当 a 3 时证明 y f x 在区间 1 1 上不是单调函数 设 是否存在实数 a 对于任意的 x1 1 1 存在 x2 0 2 使得 f x1 2ax1 g x2 成立 若存在求出 a 的取值范围 若不 存在说明理由 第 7 页 共 68 页 31 已知函数 f x x2 a 2 x alnx 其中常数 a 0 当 a 2 时 求函数 f x 的单调递增区间 设定义在 D 上的函数 y h x 在点 P x0 h x0 处的切线方程为 l y g x 若 0 在 D 内恒成立 则称 P 为函数 y h x 的 类对 称点 当 a 4 时 试问 y f x 是否存在 类对称点 若存在 请至少求出一 个 类对称点 的横坐标 若不存在 请说明理由 32 已知函数 f x 2ex 2ax a2 a R 1 当 a 1 时 求 f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数 f x 的单调区间 3 若 x 0 时 f x x2 3 恒成立 求实数 a 的取值范围 33 已知 a R 函数 f x ex a x 1 的图象与 x 轴相切 求 f x 的单调区间 若 x 0 时 f x mx2 求实数 m 的取值范围 34 已知函数 h x ax2 1 设 f x h x 2alnx g x ln2x 2a2 其中 x 0 a R 1 若 f x 在区间 2 上单调递增 求实数 a 的取值范围 2 记 F x f x g x 求证 F x 35 已知函数 f x lnx x 1 函数 g x axex 4x 其中 a 为大于零的常数 求函数 f x 的单调区间 求证 g x 2f x 2 lna ln2 36 已知 x 1 函数 f x ex 2ax a R 函数 g x lnx lnx 其中 e 为自然对数的底数 1 若 a 求函数 f x 的单调区间 2 证明 当 a 2 时 f x 1 g x a 第 8 页 共 68 页 37 已知函数 f x x2 mlnx x 1 求 f x 的单调区间 2 令 g x f x x2 试问过点 P 1 3 存在多少条直线与曲线 y g x 相切 并说明理由 38 已知函数 若 f x 在点 2 f 2 处的切线与直线 x 2y 1 0 垂直 求实数 a 的 值 求函数 f x 的单调区间 讨论函数 f x 在区间 1 e2 上零点的个数 39 已知函数 f x 2 a lnx 2ax a 0 1 当 a 0 时 求 f x 的极值 2 当 a 0 时 讨论 f x 的单调性 3 若对于任意的 x1 x2 1 3 a 2 都有 f x1 f x2 m ln3 a 2ln3 求实数 m 的取值范围 40 已知函数 f x lnx ax 若函数 f x 在 1 上单调递减 求实数 a 的取值范围 当 a 1 时 函数有两个零点 x1 x2 且 x1 x2 求 证 x1 x2 1 第 9 页 共 68 页 2017 年年 02 月月 13 日数学的高中数学组卷日数学的高中数学组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 40 小题 小题 1 2017 南京一模 已知函数 f x ax2 lnx g x bx 其中 a b R 设 h x f x g x 1 若 f x 在 x 处取得极值 且 f 1 g 1 2 求函数 h x 的单 调区间 2 若 a 0 时 函数 h x 有两个不同的零点 x1 x2 求 b 的取值范围 求证 1 解 1 由已知得 f x 0 所以 所以 a 2 由 f 1 g 1 2 得 a 1 b 2 所以 b 1 所以 h x x2 lnx x x 0 则 x 0 由 h x 0 得 0 x 1 h x 0 得 x 1 所以 h x 的减区间为 1 增区间为 0 1 2 由已知 h x lnx bx x 0 所以 h x 0 当 b 0 时 显然 h x 0 恒成立 此时函数 h x 在定义域内递增 第 10 页 共 68 页 h x 至多有一个零点 不合题意 当 b 0 时 令 h x 0 得 x 0 令 h x 0 得 令 h x 0 得 所以 h x 极大 h ln b 1 0 解得 且 x 0 时 lnx 0 x 时 lnx 0 所以当时 h x 有两个零点 证明 由题意得 即 得 因为 x1 x2 0 所以 b x1 x2 0 所以 因为 0 b 所以 e b 1 所以 x1x2 e2 所以 1 2 2017 四川模拟 设 a b R 函数 g x ex e 为 自然对数的底数 且函数 f x 的图象与函数 g x 的图象在 x 0 处有公共的 切线 求 b 的值 讨论函数 f x 的单调性 若 g x f x 在区间 0 内恒成立 求 a 的取值范围 f x x2 2ax b g x ex 第 11 页 共 68 页 由 f 0 b g 0 1 得 b 1 2 分 f x x2 2ax 1 x a 2 1 a2 当 a2 1 时 即 1 a 1 时 f x 0 从而函数 f x 在定义域内单调递增 当 a2 1 时 此时 若 f x 0 则函数 f x 单调递增 若 f x 0 则函数 f x 单调递减 若时 f x 0 则函数 f x 单调递增 6 分 令 h x g x f x ex x2 2ax 1 则 h 0 e0 1 0 h x ex 2x 2a 令 u x h x ex 2x 2a 则 u x ex 2 当 x 0 时 u x 0 从而 h x 单调递减 令 u 0 h 0 1 2a 0 得 先考虑的情况 此时 h 0 u 0 0 又当 x 0 时 h x 单调递减 所以 h x 0 故当 x 0 时 h x 单调递增 又因为 h 0 0 故当 x 0 时 h x 0 从而函数 g x f x 在区间 0 内单调递减 又因为 g 0 f 0 0 所以 g x f x 在区间 0 恒成立 接下来考虑的情况 此时 h 0 0 令 x a 则 h a e a 0 由零点存在定理 存在 x0 a 0 使得 h x0 0 当 x x0 0 时 由 h x 单调递减可知 h x 0 所以 h x 单调递减 又因为 h 0 0 故当 x x0 0 时 h x 0 第 12 页 共 68 页 从而函数 g x f x 在区间 x0 0 单调递增 又因为 g 0 f 0 0 所以当 x x0 0 g x f x 综上所述 若 g x f x 在区间 0 恒成立 则 a 的取值范围是 14 分 3 2017 达州模拟 已知函数 1 若 y f x 在 0 恒单调递减 求 a 的取值范围 2 若函数 y f x 有两个极值点 x1 x2 x1 x2 求 a 的取值范围并证明 x1 x2 2 解 1 因为 f x lnx ax 1 x 0 所以由 f x 0 在 0 上恒成立得 令 易知 g x 在 0 1 单调递增 1 单调 递减 所以 a g 1 1 即得 a 1 5 分 2 函数 y f x 有两个极值点 x1 x2 x1 x2 即 y f x 有两个不同的零点 且均为正 f x lnx ax 1 x 0 令 F x f x lnx ax 1 由可知 1 a 0 时 函数 y f x 在 0 上是增函数 不可能有两个零点 2 a 0 时 y F x 在是增函数在是减函数 此时为函数的极大值 也是最大值 当时 最多有一个零点 所以才可能有两个零点 得 0 a 1 7 分 此时又因为 第 13 页 共 68 页 令 a 在 0 1 上单调递增 所以 a 1 3 e2 即 综上 所以 a 的取值范围是 0 1 8 分 下面证明 x1 x2 2 由于 y F x 在是增函数在是减函数 可构造 出 构造函数 则 故 m x 在区间上单调 减 又由于 则 即有 m x1 0 在上恒成立 即有 成立 由于 y F x 在是减函数 所以 所以成立 12 分 4 2017 大理州一模 已知函数 1 设 G x 2f x g x 求 G x 的单调递增区间 2 证明 当 x 0 时 f x 1 g x 3 证明 k 1 时 存在 x0 1 当 x 1 x0 时 恒有 第 14 页 共 68 页 解 1 由题意知 1 分 从而 2 分 令 G x 0 得 0 x 2 3 分 所以函数 G x 的单调递增区间为 0 2 4 分 2 令 5 分 从而 6 分 因为 x 0 所以 H x 0 故 H x 在 0 上单调递增 7 分 所以 当 x 0 时 H x H 0 0 即 f x 1 g x 8 分 3 当 k 1 时 令 9 分 则有 10 分 由 F x 0 得 x2 1 k x 1 0 解之得 11 分 从而存在 x0 x2 1 当 x 1 x0 时 F x 0 故 F x 在 1 x0 上单调递增 从而当 x 1 x0 时 F x F 1 0 即 12 分 5 2017 茂名一模 已知函数 当 a 0 时 求曲线 f x 在 x 1 处的切线方程 设函数 h x alnx x f x 求函数 h x 的极值 若 g x alnx x 在 1 e e 2 718 28 上存在一点 x0 使得 g x0 第 15 页 共 68 页 f x0 成立 求 a 的取值范围 解 当 a 0 时 f x f 1 1 则切点为 1 1 1 分 切线的斜率为 k f 1 1 2 分 曲线 f x 在点 1 1 处的切线方程为 y 1 x 1 即 x y 2 0 3 分 依题意 定义域为 0 4 分 当 a 1 0 即 a 1 时 令 h x 0 x 0 0 x 1 a 此时 h x 在区间 0 a 1 上单调递增 令 h x 0 得 x 1 a 此时 h x 在区间 a 1 上单调递减 5 分 当 a 1 0 即 a 1 时 h x 0 恒成立 h x 在区间 0 上单 调递减 6 分 综上 当 a 1 时 h x 在 x 1 a 处取得极大值 h 1 a aln 1 a a 2 无 极小值 当 a 1 时 h x 在区间 0 上无极值 7 分 依题意知 在 1 e 上存在一点 x0 使得 g x0 f x0 成立 即在 1 e 上存在一点 x0 使得 h x0 0 故函数在 1 e 上 有 h x max 0 8 分 由 可知 当 a 1 e 即 a e 1 时 h x 在 1 e 上单调递增 9 分 第 16 页 共 68 页 当 0 a 1 1 或 a 1 即 a 0 时 h x 在 1 e 上单调递减 h x max h 1 1 1 a 0 a 2 10 分 当 1 a 1 e 即 0 a e 1 时 由 可知 h x 在 x 1 a 处取得极大值也是区间 0 上的最大值 即 h x max h 1 a aln 1 a a 2 a ln 1 a 1 2 0 ln a 1 1 h 1 a 0 在 1 e 上恒成立 此时不存在 x0使 h x0 0 成立 11 分 综上可得 所求 a 的取值范围是或 a 2 12 分 6 2017 佛山一模 设函数 f x eax lnx 其中 a 0 e 是自然对数的底数 若 f x 是 0 上的单调函数 求 的取值范围 若 0 证明 函数 f x 有两个极值点 解 f x aeax x 0 若 0 则 f x 0 则 f x 在 0 递减 若 0 令 g x axeax 其中 a 0 x 0 则 g x aeax 1 ax 令 g x 0 解得 x 故 x 0 时 g x 0 g x 递减 x 时 g x 0 g x 递增 故 x 时 g x 取极小值也是最小值 g 故 0 即 时 g x 0 此时 f x 0 f x 在 0 递增 综上 所求 的范围是 0 第 17 页 共 68 页 f x aeax x 0 令 g x axeax 其中 a 0 x 0 求导得 g x aeax 1 ax 令 g x 0 解得 x x 0 时 g x 0 g x 递减 x 时 g x 0 g x 递增 x 时 g x 取得极小值 也是最小值 g 0 g 0 又 g 0 0 g g 0 0 函数 f x 有两个极值点 7 2017 南充模拟 已知函数 a 为常数 a 0 当 a 1 时 求函数 f x 在点 3 f 3 的切线方程 求 f x 的单调区间 若 f x 在 x0处取得极值 且 而 f x 0 在 e 2 e3 2 上恒成立 求实数 a 的取值范围 其中 e 为自然对数的底数 解 x 2 当 a 1 时 f 3 2 所以 函数 f x 在点 3 f 3 处的切线方程为 即 4x 2y 3 0 3 分 因为 x 2 所以 x 2 0 当 a 0 时 x 1 2 a 1 x x 2 a 0 在 x 2 上成立 第 18 页 共 68 页 所以 f x 当 x 2 恒大于 0 故 f x 在 2 上是增函数 5 分 当 a 0 时 因为 x 2 所以 a x 2 0 当时 f x 0 f x 为减函数 当时 f x 0 f x 为增函数 7 分 综上 当 a 0 时 f x 在 2 上为增函数 当 a 0 时 f x 在上为增函数 在上为减函 数 8 分 由 知 x0处有极值 故 a 0 且 因为且 e 2 2 所以 f x 在 e 2 e3 2 上单调 10 分 当 e 2 e3 2 为增区间时 f x 0 恒成立 则有 当 e 2 e3 2 为减区间时 f x 0 恒成立 则有 解集为空集 综上 当 a e6 2e3时满足条件 12 分 8 2017 本溪模拟 已知函数 1 若 g x 在点 1 g 1 处的切线方程为 8x 2y 3 0 求 a b 的值 2 若 b a 1 x1 x2是函数 g x 的两个极值点 试比较 4 与 g x1 g x2 的大小 1 根据题意可求得切点 由题意可得 第 19 页 共 68 页 即 解得 a 1 b 1 3 分 2 证明 b a 1 则 根据题意可得 x2 ax a 0 在 0 上有两个不同的根 x1 x2 即 解得 a 4 且 x1 x2 a x1x2 a 5 分 6 分 令 则 f x lnx 1 x 1 lnx x 令 h x lnx x 则当 x 4 时 h x 在 4 上为减函数 即 h x h 4 ln4 4 0 f x 0 f x 在 4 上为减函数 即 f x f 4 8lnx 12 g x1 g x2 8ln2 12 10 分 又 即 g x1 g x2 4 12 分 9 2017 本溪模拟 已知函数 f x x alnx 1 其中 a 为实数 求函数 g x 的极值 设 a 0 若对任意的 x1 x2 3 4 x1 x2 恒成立 求实数 a 的最小值 解 令 g x 0 得 x 1 列表如下 第 20 页 共 68 页 x 1 1 1 g x 0 g x 极大值 当 x 1 时 g x 取得极大值 g 1 1 无极小值 4 分 当 m 1 时 a 0 时 f x x alnx 1 x 0 在 3 4 恒成立 f x 在 3 4 上为增函数 设 在 3 4 上恒成立 h x 在 3 4 上为增函数 不妨设 x2 x1 则等价于 f x2 f x1 h x2 h x1 即 f x2 h x2 f x1 h x1 6 分 设 则 u x 在 3 4 上为减函数 在 3 4 上恒成立 恒成立 x 3 4 8 分 设 v x 0 v x 为减函数 v x 在 3 4 上的最大值 a 的最小值为 12 分 10 2017 泸州模拟 已知函数 f x xlnx k x 1 第 21 页 共 68 页 1 求 f x 的单调区间 并证明 lnx 2 e 为自然对数的底数 恒成立 2 若函数 f x 的一个零点为 x1 x1 1 f x 的一个零点为 x0 是否存 在实数 k 使 k 若存在 求出所有满足条件的 k 的值 若不存在 说明理 由 解 1 f x lnx 1 k x 0 ek 1 时 f x 0 此时 h x 递减 x ek 1 时 f x 0 此时 h x 递增 令 k 2 则 f x xlnx 2 x 1 故 x e 时 f x 有最小值是 f e 故 f x xlnx 2 x 1 f e 2 e 即 lnx 2 恒成立 2 由题意得 x1lnx1 k x1 1 0 lnx0 1 k 0 假设存在 k 使得 k k 0 成立 消元得 ek 1lnk ek 1 1 0 设 m k ek 1lnk ek 1 1 则 m k ek 1 lnk 1 设 F k lnk 1 则 F x k 0 1 时 F x 0 即此时函数 F k 递减 k 1 时 F x 0 此时函数 F k 递增 F k F 1 0 第 22 页 共 68 页 m k 0 故函数 m k 在 0 递增 m 1 0 k 1 但 k 1 时 x1 ek1k 1 与已知 x1 1 矛盾 故 k 不存在 11 2016 新课标 已知函数 f x x 2 ex a x 1 2 讨论 f x 的单调性 若 f x 有两个零点 求 a 的取值范围 解 由 f x x 2 ex a x 1 2 可得 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 当 a 0 时 由 f x 0 可得 x 1 由 f x 0 可得 x 1 即有 f x 在 1 递减 在 1 递增 当 a 0 时 若 a 则 f x 0 恒成立 即有 f x 在 R 上递增 若 a 时 由 f x 0 可得 x 1 或 x ln 2a 由 f x 0 可得 1 x ln 2a 即有 f x 在 1 ln 2a 递增 在 1 ln 2a 递减 若 a 0 由 f x 0 可得 x ln 2a 或 x 1 由 f x 0 可得 ln 2a x 1 即有 f x 在 ln 2a 1 递增 在 ln 2a 1 递减 由 可得当 a 0 时 f x 在 1 递减 在 1 递增 第 23 页 共 68 页 且 f 1 e 0 x f x x f x f x 有两个 零点 当 a 0 时 f x x 2 ex 所以 f x 只有一个零点 x 2 当 a 0 时 若 a 时 f x 在 1 ln 2a 递减 在 1 ln 2a 递 增 又当 x 1 时 f x 0 所以 f x 不存在两个零点 当 a 时 f x 在 1 单调递增 又 x 1 时 f x 0 所以 f x 不存在两个零点 综上可得 f x 有两个零点时 a 的取值范围为 0 12 2016 四川 设函数 f x ax2 a lnx g x 其中 a R e 2 718 为自然对数的底数 讨论 f x 的单调性 证明 当 x 1 时 g x 0 确定 a 的所有可能取值 使得 f x g x 在区间 1 内恒成 立 解 由 f x ax2 a lnx 得 f x 2ax x 0 当 a 0 时 f x 0 在 0 成立 则 f x 为 0 上的减函数 当 a 0 时 由 f x 0 得 x 当 x 0 时 f x 0 当 x 时 f x 0 则 f x 在 0 上为减函数 在 上为增函数 综上 当 a 0 时 f x 为 0 上的减函数 当 a 0 时 f x 在 0 上为减函数 在 上为增函数 第 24 页 共 68 页 证明 要证 g x 0 x 1 即 0 即证 也就是证 令 h x 则 h x h x 在 1 上单调递增 则 h x min h 1 e 即当 x 1 时 h x e 当 x 1 时 g x 0 解 由 f x g x 得 设 t x 由题意知 t x 0 在 1 内恒成立 t 1 0 有 t x 2ax 0 在 1 内恒成 立 令 x 则 x 2a 当 x 2 时 x 0 令 h x h x 函数在 1 2 上单调递增 h x min h 1 1 又 2a 1 e1 x 0 1 x 2 x 0 综上所述 x 1 x 0 x 在区间 1 单调递增 t x t 1 0 即 t x 在区间 1 单调递增 a 第 25 页 共 68 页 13 2016 天津 设函数 f x x 1 3 ax b x R 其中 a b R 1 求 f x 的单调区间 2 若 f x 存在极值点 x0 且 f x1 f x0 其中 x1 x0 求证 x1 2x0 3 3 设 a 0 函数 g x f x 求证 g x 在区间 0 2 上的最大值 不小于 解 1 函数 f x x 1 3 ax b 的导数为 f x 3 x 1 2 a 当 a 0 时 f x 0 f x 在 R 上递增 当 a 0 时 当 x 1 或 x 1 时 f x 0 当 1 x 1 f x 0 可得 f x 的增区间为 1 1 减区间为 1 1 2 证明 f x0 0 可得 3 x0 1 2 a 由 f x0 x0 1 3 3x0 x0 1 2 b x0 1 2 2x0 1 b f 3 2x0 2 2x0 3 3 3 2x0 x0 1 2 b x0 1 2 8 8x0 9 6x0 b x0 1 2 2x0 1 b 即为 f 3 2x0 f x0 f x1 即有 3 2x0 x1 即为 x1 2x0 3 3 证明 要证 g x 在区间 0 2 上的最大值不小于 即证在 0 2 上存在 x1 x2 使得 f x1 f x2 当 a 3 时 f x 在 0 2 递减 f 2 1 2a b f 0 1 b f 0 f 2 2a 2 4 递减 成立 第 26 页 共 68 页 当 0 a 3 时 f 1 3 a 1 b a a b a b f 1 3 a 1 b a a b a b f 2 1 2a b f 0 1 b f 2 f 0 2 2a 若 0 a 时 f 2 f 0 2 2a 成立 若 a 时 f 1 f 1 成立 综上可得 g x 在区间 0 2 上的最大值不小于 14 2016 新课标 设函数 f x acos2x a 1 cosx 1 其中 a 0 记 f x 的最大值为 A 求 f x 求 A 证明 f x 2A I 解 f x 2asin2x a 1 sinx II 当 a 1 时 f x acos2x a 1 cosx 1 a cos2x a 1 cosx 1 a cos2x a 1 cosx 1 a 2 a 1 3a 2 f 0 因此 A 3a 2 当 0 a 1 时 f x 等价为 f x acos2x a 1 cosx 1 2acos2x a 1 cosx 1 令 g t 2at2 a 1 t 1 则 A 是 g t 在 1 1 上的最大值 g 1 a g 1 3a 2 第 27 页 共 68 页 且当 t 时 g t 取得极小值 极小值为 g 1 二次函数在对称轴处取得极值 令 1 1 得 a 舍 或 a 因此 A 3a 2 当 0 a 时 g t 在 1 1 内无极值点 g 1 a g 1 2 3a g 1 g 1 A 2 3a 当 a 1 时 由 g 1 g 1 2 1 a 0 得 g 1 g 1 g 又 g g 1 0 A g 综上 A III 证明 由 I 可得 f x 2asin2x a 1 sinx 2a a 1 当 0 a 时 f x 1 a 2 4a 2 2 3a 2A 当 a 1 时 A 1 f x 1 a 2A 当 a 1 时 f x 3a 1 6a 4 2A 综上 f x 2A 15 2016 天津 设函数 f x x3 ax b x R 其中 a b R 1 求 f x 的单调区间 第 28 页 共 68 页 2 若 f x 存在极值点 x0 且 f x1 f x0 其中 x1 x0 求证 x1 2x0 0 3 设 a 0 函数 g x f x 求证 g x 在区间 1 1 上的最大值 不小于 解 1 若 f x x3 ax b 则 f x 3x2 a 分两种情况讨论 当 a 0 时 有 f x 3x2 a 0 恒成立 此时 f x 的单调递增区间为 当 a 0 时 令 f x 3x2 a 0 解得 x 或 x 当 x 或 x 时 f x 3x2 a 0 f x 为增函数 当 x 时 f x 3x2 a 0 f x 为减函数 故 f x 的增区间为 减区间为 2 若 f x 存在极值点 x0 则必有 a 0 且 x0 0 由题意可得 f x 3x2 a 则 x02 进而 f x0 x03 ax0 b x0 b 又 f 2x0 8x03 2ax0 b x0 2ax0 b f x0 由题意及 可得 存在唯一的实数 x1 满足 f x1 f x0 其中 x1 x0 则有 x1 2x0 故有 x1 2x0 0 设 g x 在区间 1 1 上的最大值 M max x y 表示 x y 两个数的最 大值 下面分三种情况讨论 当 a 3 时 1 1 由 I 知 f x 在区间 1 1 上单调递减 所以 f x 在区间 1 1 上的取值范围是 f 1 f 1 第 29 页 共 68 页 因此 M max f 1 f 1 max 1 a b 1 a b max a 1 b a 1 b 所以 M a 1 b 2 当a 3 时 由 知 f 1 f f 1 所以 f x 在区间 1 1 上的取值范围是 f f 因此 M max f f max max 当 0 a 时 由 知 f 1 f f 1 所以 f x 在区间 1 1 上的取值范围是 f 1 f 1 因此 M max f 1 f 1 max 1 a b 1 a b max 1 a b 1 a b 1 a b 综上所述 当 a 0 时 g x 在区间 1 1 上的最大值不小于 16 2016 新课标 已知函数 f x x 2 ex a x 1 2有两个零点 求 a 的取值范围 设 x1 x2是 f x 的两个零点 证明 x1 x2 2 解 函数 f x x 2 ex a x 1 2 第 30 页 共 68 页 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 若 a 0 那么 f x 0 x 2 ex 0 x 2 函数 f x 只有唯一的零点 2 不合题意 若 a 0 那么 ex 2a 0 恒成立 当 x 1 时 f x 0 此时函数为减函数 当 x 1 时 f x 0 此时函数为增函数 此时当 x 1 时 函数 f x 取极小值 e 由 f 2 a 0 可得 函数 f x 在 x 1 存在一个零点 当 x 1 时 ex e x 2 1 0 f x x 2 ex a x 1 2 x 2 e a x 1 2 a x 1 2 e x 1 e 令 a x 1 2 e x 1 e 0 的两根为 t1 t2 且 t1 t2 则当 x t1 或 x t2时 f x a x 1 2 e x 1 e 0 故函数 f x 在 x 1 存在一个零点 即函数 f x 在 R 是存在两个零点 满足题意 若 a 0 则 ln 2a lne 1 当 x ln 2a 时 x 1 ln 2a 1 lne 1 0 ex 2a eln 2a 2a 0 即 f x x 1 ex 2a 0 恒成立 故 f x 单调递增 当 ln 2a x 1 时 x 1 0 ex 2a eln 2a 2a 0 即 f x x 1 ex 2a 0 恒成立 故 f x 单调递减 当 x 1 时 x 1 0 ex 2a eln 2a 2a 0 即 f x x 1 ex 2a 0 恒成立 故 f x 单调递增 故当 x ln 2a 时 函数取极大值 由 f ln 2a ln 2a 2 2a a ln 2a 1 2 a ln 2a 2 2 1 0 第 31 页 共 68 页 得 函数 f x 在 R 上至多存在一个零点 不合题意 若 a 则 ln 2a 1 当 x 1 ln 2a 时 x 1 0 ex 2a eln 2a 2a 0 即 f x x 1 ex 2a 0 恒成立 故 f x 单调递增 当 x 1 时 x 1 0 ex 2a eln 2a 2a 0 即 f x x 1 ex 2a 0 恒成立 故 f x 单调递增 故函数 f x 在 R 上单调递增 函数 f x 在 R 上至多存在一个零点 不合题意 若 a 则 ln 2a lne 1 当 x 1 时 x 1 0 ex 2a eln 2a 2a 0 即 f x x 1 ex 2a 0 恒成立 故 f x 单调递增 当 1 x ln 2a 时 x 1 0 ex 2a eln 2a 2a 0 即 f x x 1 ex 2a 0 恒成立 故 f x 单调递减 当 x ln 2a 时 x 1 0 ex 2a eln 2a 2a 0 即 f x x 1 ex 2a 0 恒成立 故 f x 单调递增 故当 x 1 时 函数取极大值 由 f 1 e 0 得 函数 f x 在 R 上至多存在一个零点 不合题意 综上所述 a 的取值范围为 0 证明 x1 x2是 f x 的两个零点 f x1 f x2 0 且 x1 1 且 x2 1 a 第 32 页 共 68 页 令 g x 则 g x1 g x2 a g x 当 x 1 时 g x 0 g x 单调递减 当 x 1 时 g x 0 g x 单调递增 设 m 0 则 g 1 m g 1 m 设 h m m 0 则 h m 0 恒成立 即 h m 在 0 上为增函数 h m h 0 0 恒成立 即 g 1 m g 1 m 恒成立 令 m 1 x1 0 则 g 1 1 x1 g 1 1 x1 g 2 x1 g x1 g x2 2 x1 x2 即 x1 x2 2 17 2016 山东 已知 f x a x lnx a R I 讨论 f x 的单调性 II 当 a 1 时 证明 f x f x 对于任意的 x 1 2 成立 解 由 f x a x lnx 第 33 页 共 68 页 得 f x a 1 x 0 若 a 0 则 ax2 2 0 恒成立 当 x 0 1 时 f x 0 f x 为增函数 当 x 1 时 f x 0 f x 为减函数 当 a 0 若 0 a 2 当 x 0 1 和 时 f x 0 f x 为增函数 当 x 1 时 f x 0 f x 为减函数 若 a 2 f x 0 恒成立 f x 在 0 上为增函数 若 a 2 当 x 0 和 1 时 f x 0 f x 为增函数 当 x 1 时 f x 0 f x 为减函数 解 a 1 令 F x f x f x x lnx 1 x lnx 令 g x x lnx h x 则 F x f x f x g x h x 由 可得 g x g 1 1 当且仅当 x 1 时取等号 又 设 x 3x2 2x 6 则 x 在 1 2 上单调递减 且 1 1 2 10 在 1 2 上存在 x0 使得 x 1 x0 时 x0 0 x x0 2 时 x0 0 函数 h x 在 1 x0 上单调递增 在 x0 2 上单调递减 第 34 页 共 68 页 由于 h 1 1 h 2 因此 h x h 2 当且仅当 x 2 取等号 f x f x g x h x g 1 h 2 F x 恒成立 即 f x f x 对于任意的 x 1 2 成立 18 2016 离石区二模 已知函数 f x lnx x2 若函数 g x f x ax 在其定义域内为增函数 求实数 a 的取值范围 在 的条件下 若 a 1 h x e3x 3aexx 0 ln2 求 h x 的 极小值 设 F x 2f x 3x2 kx k R 若函数 F x 存在两个零点 m n 0 m n 且 2x0 m n 问 函数 F x 在点 x0 F x0 处的切线 能否平行于 x 轴 若能 求出该切线方程 若不能 请说明理由 解 g x f x ax lnx x2 ax 由题意知 g x 0 对任意的 x 0 恒成立 即 又 x 0 当且仅当时等号成立 可得 由 知 令 t ex 则 t 1 2 则 h t t3 3at 由 h t 0 得或 舍去 若 则 h t 0 h t 单调递减 若 则 h t 0 h t 单调递增 当时 h t 取得极小值 极小值为 设 F x 在 x0 F x0 的切线平行于 x 轴 其中 F x 2lnx x2 kx 第 35 页 共 68 页 结合题意 有 得 所以 由 得 所以 设 式变为 设 所以函数在 0 1 上单调递增 因此 y y u 1 0 即 也就是此式与 矛 盾 所以 F x 在 x0 F x0 的切线不能平行于 x 轴 19 2016 衡水模拟 g x 2lnx x2 mx x R 如果 g x 的图象与 x 轴交于 A x1 0 B x2 0 x1 x2 AB 中点为 C x0 0 求证 g x0 0 解 根据题意 得 得 2ln x2 x1 x2 x1 m x2 x1 0 第 36 页 共 68 页 2ln x2 x1 x2 x1 m 整理式子 向题意靠拢 假设 g x0 0 即 g x0 x1 x2 m 0 中点坐标公式 2x0 x1 x2 x1 x2 m 上下同除以 x 另 t 1 lnt t 1 令 g t lnt 在 g t 0 g t g 1 0 lnt 即 g x0 0 20 2016 商丘三模 已知函数 f x alnx ax 3 a R 求函数 f x 的单调区间 若函数 y f x 的图象在点 2 f 2 处的切线的倾斜角为 45 对于 任意的 t 1 2 函数 g x x3 x2 f x 在区间 t 3 上总不是单 调函数 求 m 的取值范围 求证 n 2 n N 解 2 分 当 a 0 时 f x 的单调增区间为 0 1 减区间为 1 当 a 0 时 f x 的单调增区间为 1 减区间为 0 1 第 37 页 共 68 页 当 a 0 时 f x 不是单调函数 4 分 得 a 2 f x 2lnx 2x 3 g x 3x2 m 4 x 2 6 分 g x 在区间 t 3 上总不是单调函数 且 g 0 2 由题意知 对于任意的 t 1 2 g t 0 恒成立 所以有 10 分 令 a 1 此时 f x lnx x 3 所以 f 1 2 由 知 f x lnx x 3 在 1 上单调递增 当 x 1 时 f x f 1 即 lnx x 1 0 lnx x 1