【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 9.4空间的角课时提能训练 理 新人教A版

1 温馨提示 温馨提示 全程复习方略全程复习方略 广西专用 广西专用 20132013 版高中数学版高中数学 9 49 4 空间的角课时空间的角课时 提能训练提能训练 理理 新人教新人教 A A 版版 45 45 分钟分钟 10100 0 分分 一 选择题一 选择题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 3636 分分 1 正方体 ABCD A1B1C1D1中 BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为 A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 2 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 AB 则 AC1与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 A B C D 2 2 15 5 6 4 6 3 3 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别为 AB DC 的中点 则直线 MC 与 D1N 所成角的余弦值为 A B C D 1 2 1 5 1 7 1 3 4 把等腰直角 ABC 沿斜边上的高 AD 折成直二面角 B AD C 则 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 A B C 1 D 2 2 2 3 3 5 预测题 如图 ABCD A1B1C1D1是正方体 E F 分别是 AD DD1的中点 则平面 EFC1B 和平面 BCC1所成 二面角的正切值等于 2 A 2 B C D 2357 6 2012 贺州模拟 已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等 A1在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心 则 AB1与底面 ABC 所 成角的正弦值等于 A B C D 1 3 2 3 3 3 2 3 二 填空题二 填空题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 1818 分分 7 如图 ABCD 为菱形 CEFB 为正方形 平面 ABCD 平面 CEFB CE 1 AED 30 则异面直线 BC 与 AE 所成角的大小为 8 2012 柳州模拟 如图 在四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 SA 底面 ABCD SA AB M 是 SD 的中点 则二面角 D AC M 的大小为 9 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长都相等 则直线 AC1与侧面 ABB1A1所成角的正弦值等于 三 解答题三 解答题 每小题每小题 1515 分 共分 共 3030 分分 10 易错题 如图 正方形 ADEF 所在平面和等腰梯形 ABCD 所在平面垂直 已知 BC 2AD 4 ABC 60 BF AC 1 求证 AC 平面 ABF 2 求异面直线 BE 与 AF 所成的角 11 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD 底面为直角梯形 BAD 90 BC AD 且 PA AB BC 1 AD 2 1 设 M 为 PD 的中点 求证 CM 平面 PAB 2 求侧面 PAB 与侧面 PCD 所成二面角的平面角的正切值 3 探究创新 16 分 已知在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形 PAD 是正三角形 平面 PAD 平面 ABCD E F G 分别是 PA PB BC 的中点 1 求证 EF 平面 PAD 2 求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小 3 若 M 为线段 AB 上靠近 A 的一个动点 问当 AM 长度等于多少时 直线 MF 与平面 EFG 所成角的正弦值 等于 15 5 答案解析答案解析 1 解析 选 D BB1 DD1 DD1与平面 ACD1所成的角即为 BB1与平面 ACD1所成的角 设其大小为 设正方体的棱长为 1 则点 D 到平面 ACD1的距离为 所以 sin 得 cos 故选 D 3 3 3 3 6 3 2 解析 选 C 取 BC 的中点 D 连结 AD C1D 如图 AD 平面 BB1C1C AC1D即为所求的角 设 AA1 AB 2 则 AD AC1 2 sinAC1D 故选 C 32 6 4 4 3 解题指南 先作出所求角 然后在三角形中求解 解析 选 B 连结 NA D1A 则 D1NA 为直线 MC 与 D1N 所成的角 设正方体的棱长为 2 在三角形 D1NA 中由余弦定理可求得 cosD1NA 1 5 4 解析 选 B 设等腰直角 ABC 的直角边长为 1 如图 在平面 ADC 中 过 D 作 DE AC 交 AC 于点 E 连结 BE 因为二面角 B AD C 为直二面角 所以 BD 平面 ADC 故 BD AC 又 DE BD D 因此 AC 平面 BDE 所以平面 BDE 平面 ABC 故 DBE 就是 BD 与平面 ABC 所成角 在 Rt DBE 中 易求 tanDBE 故选 B 2 2 5 解题指南 为了作出二面角 E BC1 C 的平面角 需在一个面内取一点 过该点向另一个面引垂线 这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤 从图形特点看 可过 E 作平面 BCC1的垂线 解析 选 A 过 E 作 EH BC 垂足为 H 过 H 作 HG BC1 垂足为 G 连结 EG 平面 ABCD 平面 BCC1 而 EH BC EH 平面 BCC1 EG 是平面 BCC1的斜线 HG 是斜线 EG 在平面 BCC1内的射影 HG BC1 EG BC1 EGH 是二面角 E BC1 C 的平面角 设正方体棱长为 1 在 Rt BCC1中 sinC1BC CC1 BC1 2 2 5 在 Rt BHG 中 sinC1BC HG BH HG 而 EH 1 2 2 1 2 2 4 在 Rt EHG 中 tanEGH 2 EH HG2 故二面角 E BC1 C 的正切值等于 2 2 6 解析 选 B 可设底面边长与侧棱长为 1 个单位长度 因为 A1 在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心 所以三棱锥 A1 ABC 为正四 面体 所以 A1到底面 ABC 的距离为 所以 B1到底面 ABC 的距离 6 3 也为 易知 ABB1 120 所以 AB1 所以 AB1与底面 ABC 6 33 所成角的正弦值为 故选 B 6 3 3 2 3 7 解析 由题意 正方形和菱形边长均为 1 又平面 ABCD 平面 CEFB 所以 CE 平面 ABCD 于是 CE CD 从而 DE 在 ADE 中 AD 1 DE 22 AED 30 由正弦定理得 AD sinAED DE sinDAE 所以 sinDAE DE sinAED AD 2 2 故 DAE 45 又 BC AD 故异面直线 BC 与 AE 所成角等于 DAE 答案 45 8 解析 取 AD 的中点 F 连结 MF 则 MF SA 作 FQ AC 于 Q 连结 MQ SA 底面 ABCD MF 底面 ABCD FQ 为 MQ 在平面 ABCD 内的射影 FQ AC MQ AC FQM 为二面角 D AC M 的平面角 设 SA AB a 在 Rt MFQ 中 MF SA FQ DE a 1 2 a 2 1 2 2 4 tanFQM 二面角 D AC M 的大小为 arctan a 2 2 4 a 22 答案 arctan 2 6 9 解题指南 先作出 AC1与平面 ABB1A1所成的角 然后在三角形 中求解 解析 取 A1B1的中点 D 连结 C1D AD 因为 ABC A1B1C1为正三棱柱 所以平面 A1B1C1 平面 ABB1A1 又 A1B1C1为正三角形 C1D A1B1 C1D 平面 ABB1A1 故 C1AD 为直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角 设侧棱与底面边长均为 a 则 AC1 a DC1 a 2 3 2 sinC1AD 3 2 a 2a 6 4 答案 6 4 变式备选 已知正三棱锥 S ABC 的侧棱长与底面边长都相等 E 是 SB 的中点 则 AE 与平面 SBC 所成 的角的余弦值为 解析 过 A 作 AO 垂直于平面 SBC 于 O 因为 S ABC 为正三棱锥 且侧棱长与底面边长相等 O 为正 SBC 的中心 连结 CO 并延长交 BS 于 E 点 AEO 即为 AE 与平面 SBC 所成的角 设三棱锥棱长为 a cosAEO OE AE 31 a 23 3 a 2 1 3 答案 1 3 10 解析 1 因为平面 ADEF 平面 ABCD AF AD AF 平面 ADEF 所以 AF 平面 ABCD 故 AF AC 又 BF AC AF BF F 所以 AC 平面 ABF 7 2 注意到 DE AF 所以 DE 与 BE 所成的角即为异面直线 BE 与 AF 所成的角 连结 BD 由 1 易知 DE BD 在 Rt BDE 中 DE 2 BD 2 3 tanBED BED 60 BD DE3 即异面直线 BE 与 AF 所成的角为 60 误区警示 求解异面直线所成的角时应注意的问题 作出的角可能是异面直线所成的角 也可能是它的补角 在直观图中无法判定 只有通过解三角形后 根据这个角的余弦的正 负值来判定这个角是锐角 也就是异面直线所成的角 或钝角 异面直线所成的角 的补角 或直角 最后作答时 这个角的余弦值必须为正 11 解析 1 取 PA 的中点 N 连结 BN NM 在 PAD 中 MN AD 且 MN AD 1 1 2 又 BC AD 且 BC AD 1 1 2 所以 MNBC 即四边形 BCMN 为平行四边形 CM BN 又 CM平面 PAB BN 平面 PAB 故 CM 平面 PAB 2 在平面 ABCD 中 AB 与 CD 不平行 延长 AB DC 交 于一点 设为 E 连结 PE 则 PE 为侧面 PAB 与侧面 PCD 所成二面角的棱 又由题设可知 DA 侧面 PAB 于 是过 A 作 AF PE 于 F 连结 DF 由三垂线定理可知 AFD 为侧面 PAB 与侧面 PCD 所成二面角的平面角 8 在 EAD 中 由 BC AD BC AD 知 B 为 AE 的中点 AE 2 在 Rt PAE 中 PA 1 AE 2 1 2 PE AF 故 tanAFD 即所求侧面 PAB 与侧面 PCD 所成二面角的平面角的正切值为 5 2 5 2 2 555 探究创新 解析 1 平面 PAD 平面 ABCD AB AD AB 平面 PAD E F 分别为 PA PB 的中点 EF AB EF 平面 PAD 2 过 G 作 GH AB 交 AD 于 H 连结 EH 则 EH PD EF AB AB HG EF HG HG 是所成二面角的棱 HG EF HG 平面 PAD DH HG EH HG EHA 是锐二面角的平面角 等于 60 3 过 M 作 MK 平面 EFG 于 K 连结 KF 则 KFM 即为 MF 与平面 EF