【命题探究】2014版高考数学知识点讲座 考点29 数学归纳法（含解析）新人教A版

1 命题探究命题探究 2014 2014 版高考数学知识点讲座 考点版高考数学知识点讲座 考点 2929 数学归纳法 解析版 数学归纳法 解析版 加 加 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 一一 考纲目标考纲目标 数学归纳法 数学归纳法的证明思路 初始值的确定 二二 知识梳理知识梳理 1 数学归纳法的基本形式 设 P n 是关于自然数 n 的命题 若 1 P n0 成立 奠基 2 假设 P k 成立 k n0 可以推出 P k 1 成立 归纳 则 P n 对一切大于等于 n0的自然数 n 都 成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 数学归纳法的应用 具体常用数学归纳法证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 恒等式 不等式 数的整除性 几何中计算问题 数列的通项与和等 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 三 考点逐个突破三 考点逐个突破 1 1 数学归纳法原理数学归纳法原理 例 1 1 1 在用数学归纳法证明 2n n2对从 n0开始的所有正整数都成立 时 第一步验证的 n0等 于 A 1 B 3 C 5 D 7 答案 C 解析 n 的取值与 2n n2的取值如下表 n123456 2n248163264 n2149162536 由于 2n的增长速度要远大于 n2的增长速度 故当 n 4 时恒有 2n n2 2 2 2 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n n 3 条时 第一步检验第一个值 n0等于 1 2 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 因为凸 n 边形的边数最少为 3 故验证的第一个值 n0 3 3 3 若 f n 1 n N 则 f 1 为 1 2 1 3 1 4 1 6n 1 A 1 B C 1 D 非以上答案 1 5 1 2 1 3 1 4 1 5 答案 C 解析 注意 f n 的项的构成规律 各项分子都是 1 分母是从 1 到 6n 1 的自然数 故 f 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 2 2 用数学归纳法证明恒等式用数学归纳法证明恒等式 例 2 是否存在 a b c 使得等式 1 22 2 32 n n 1 2 12 1 nn an2 bn c 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 假设存在 a b c 使题设的等式成立 这时令 n 1 2 3 有 10 11 3 3970 24 2 1 22 6 1 4 c b a cba cba cba 于是 对 n 1 2 3 下面等式成立 1 22 2 32 n n 1 2 10113 12 1 2 nn nn 记 Sn 1 22 2 32 n n 1 2 设 n k 时上式成立 即 Sk 12 1 kk 3k2 11k 10 那么 Sk 1 Sk k 1 k 2 2 2 1 kk k 2 3k 5 k 1 k 2 2 12 2 1 kk 3k2 5k 12k 24 12 2 1 kk 3 k 1 2 11 k 1 10 也就是说 等式对 n k 1 也成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 综上所述 当 a 3 b 11 c 10 时 题设对一切自然数 n 均成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 3 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 例 3 试证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 不论正数 a b c 是等差数列还是等比数列 当 n 1 n N 且 a b c 互不相等 3 时 均有 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 an cn 2bn 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 命题意图 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 本题主要考查数学归纳法证明不等式 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 知识依托 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 等差数列 等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 错解分析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立 不应只证明一种情况 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 技巧与方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 本题中使用到结论 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ak ck a c 0 恒成立 a b c 为正数 从而 ak 1 ck 1 ak c ck a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 设 a b c 为等比数列 a q b c bq q 0 且 q 1 an cn n n q b bnqn bn n q 1 qn 2bn 2 设 a b c 为等差数列 则 2b a c 猜想 2 nn ca 2 ca n n 2 且 n N 下面用数学归纳法证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当 n 2 时 由 2 a2 c2 a c 2 2 22 2 2 caca 设 n k 时成立 即 2 2 k kk caca 则当 n k 1 时 4 1 2 11 kk ca ak 1 ck 1 ak 1 ck 1 4 1 ak 1 ck 1 ak c ck a 4 1 ak ck a c 2 ca k 2 ca 2 ca k 1 也就是说 等式对 n k 1 也成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由 知 an cn 2bn对一切自然数 n 均成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 用数学归纳法证明集合命题 例 4 已知点 Pn an bn 满足 an 1 an bn 1 bn 1 n N 且点 P1的坐标为 1 1 bn 1 4a2 n 1 求过点 P1 P2的直线 l 的方程 2 试用数学归纳法证明 对于 n N 点 Pn都在 1 中的直线 l 上 解析 1 由 P1的坐标为 1 1 知 a1 1 b1 1 b2 a2 a1 b2 b1 1 4a2 1 1 3 1 3 点 P2的坐标为 1 3 1 3 直线 l 的方程为