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考 试 时 间2010年7月 日装订线装订线玉林师范学院课程期未考试参考答案及评分标准（20092010学年度第二学期） 命题教师：龚国勇 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A ）课程名称：数学分析4 考试专业：数应（本）科 年级： 2008 班别： 学号： 姓名： 座位号：题 号一二三总 分应得分305218满分：100实得分评分： 评卷人签 名一、 填空题（每小题3分，共30分）1、； 2、； 3、3 ； 4、； 5、； 6、； 7、24; 8、； 9、； 10、0.二、计算题（1-4每小题7分，5-7每小题8分，共52分）1、应用斯托克斯公式计算，其中L为以为顶点的三角形沿ABCA的方向。解：应用斯托克斯公式，有 = 3分 =2（） 5分=2（）=3 7分2、应用格林公式计算，其中L为直线与轴所围成区域D的边界线，依逆时针方向。解：记P（x,y）=Q(x,y)= 1分易见，P、Q满足格林公式的条件，故有= 4分 6分1 7分3、计算二重积分，其中D是圆周所围成的区域。解：利用极坐标变换,则 2分 3分 4分 5分= 6分= 7分 4、计算其中体V由上半球面和圆锥面所围成。解：利用球坐标变换， 1分有 2分 5分 6分 7分5、计算其中S为球面被平面所截的顶部解：曲面S的方程为 1分定义域D为圆域： 2分由于 3分所以 5分 = 6分 = = 8分6、应用高斯公式计算：其中S是球面的上半部分并取外侧为正向。解：添加 ，取下侧 2分则 4分= 5分 6分 而 7分于是 = 8分7、求均匀密度的平面半椭圆薄板D：的重心。 解：由均匀薄板的对称性 1分半椭圆的面积为 3分 5分 6分= 7分故 8分六、证明题（每小题6分，共18分）1、证明：半径为的球面的表面积为。证：设球面的方程为 1分则由对称性，球面的表面积为 2分 其中 3分而 4分利用极坐标变换，可得 5分 = 6分2、证明：设D是单连通闭区域.若函数在D内连续，且具有一阶连续偏导数，如果沿D内任一按段光滑封闭曲线L，有，则对D中任一按段光滑曲线L，曲线积分与路线无关，只与L的起点及终点有关。证：设为D内联结点A，B的任意两条按段光滑曲线，由条件可推得 1分 2分 = 3分 = 4分 =0， 5分所以， 6分3、证明：若L为任一包含原点的闭区域的边界线，则。证：设C为绕原点一周的圆 C：其中充分小
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