2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.3.1 诱导公式二、三、四学案 新人教A版必修第一册

1 第第 1 1 课时课时 诱导公式二 三 四诱导公式二 三 四 1 了解三角函数的诱导公式的意义和作用 2 理解诱导公式的推导过程 3 能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值 化简和证明问题 1 诱导公式二 1 角 与角 的终边关于原点对称 如图所示 2 公式 sin sin cos cos tan tan 2 诱导公式三 1 角 与角 的终边关于x轴对称 如右图所示 2 公式 sin sin cos cos tan tan 2 3 诱导公式四 1 角 与角 的终边关于 y 轴对称 如右图所示 2 公式 sin sin cos cos tan tan 4 k 2 k z z 的三角函数值 等于 的同名函数值 前面加 上一个把 看成锐角时原函数值的符号 1 设 为锐角 则 180 180 360 分别是第几象限角 答案 分别为第二 三 四象限角 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 诱导公式中角 是任意角 2 公式 sin sin 是锐角才成立 3 公式 tan tan 中 不成立 2 4 在 abc中 sina sin b c 答案 1 2 3 4 题型一给角求值问题 典例 1 求下列三角函数值 1 sin 1200 2 tan945 3 cos 119 6 思路导引 利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角 一般为特殊角 的三角函 3 数 解 1 sin 1200 sin1200 sin 3 360 120 sin120 sin 180 60 sin60 3 2 2 tan945 tan 2 360 225 tan225 tan 180 45 tan45 1 3 cos cos 119 6 20 6 cos cos 6 6 3 2 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 针对训练 1 计算 1 tan tan tan tan 5 2 5 3 5 4 5 2 sin 60 cos225 tan135 解 1 原式 tan tan tan 5 2 5 2 5 tan tan tan tan tan 0 5 5 2 5 2 5 5 2 原式 sin60 cos 180 45 tan 180 45 cos45 3 2 tan45 1 3 2 2 2 2 3 2 2 题型二化简求值问题 4 典例 2 化简 1 cos tan 7 sin 2 sin 1440 cos 1080 cos 180 sin 180 思路导引 利用诱导公式一 四化简 解 1 cos tan 7 sin 1 cos tan sin cos tan sin sin sin 2 原式 sin 4 360 cos 3 360 cos 180 sin 180 1 sin cos cos sin cos cos 利用诱导公式一 四化简应注意的问题 1 利用诱导公式主要是进行角的转化 从而达到统一角的目的 2 化简时函数名没有改变 但一定要注意函数的符号有没有改变 3 同时有切 正切 与弦 正弦 余弦 的式子化简 一般采用切化弦 有时也将弦化 切 针对训练 2 化简下列各式 1 cos sin 2 sin cos 2 cos190 sin 210 cos 350 tan 585 解 1 原式 cos sin sin cos 1 cos sin sin cos 2 原式 cos 180 10 sin 180 30 cos 360 10 tan 360 225 5 cos10 sin30 cos10 tan 180 45 sin30 tan45 1 2 题型三给值 式 求值问题 典例 3 若 sin 则 tan 等于 1 2 2 0 a b 1 2 3 2 c d 3 3 3 思路导引 要寻找已知角与未知角之间的联系 然后采用诱导公式使未知角的三角 函数用已知角的三角函数表示 从而得出结论 解析 因为 sin sin 根据条件得 sin 1 2 又 cos 0 2 0 所以 cos 1 sin2 2 3 2 所以 tan sin cos 1 3 3 3 所以 tan tan 故选 d 3 3 答案 d 变式 1 若本例把条件变为 cos 2 且 则 tan 5 3 2 0 2 若本例改为已知 sin 则 sin的值为 4 3 2 5 4 解析 1 因为 cos 2 cos 所以 sin 5 3 2 0 1 cos2 2 3 则 tan tan sin cos 2 3 5 3 2 5 2 5 5 6 2 sin sin 5 4 4 sin 4 3 2 答案 1 2 2 5 5 3 2 解决条件求值问题的策略 1 解决条件求值问题 首先要仔细观察条件与所求式之间的角 函数名称及有关运算 之间的差异及联系 2 可以将已知式进行变形向所求式转化 或将所求式进行变形向已知式转化 针对训练 3 已知 为第二象限角 且 sin 则 tan 的值是 3 5 a b 4 3 3 4 c d 4 3 3 4 解析 因为 sin 且 为第二象限角 3 5 所以 cos 1 sin2 4 5 所以 tan 所以 tan tan 故选 d sin cos 3 4 3 4 答案 d 课堂归纳小结 1 四组诱导公式的记忆 四组诱导公式的记忆口诀是 函数名不变 符号看象限 其含义是诱导公式两边的函 数名称一致 符号则是将 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号 看成锐角 只是为了公式记忆的方便 实际上 可以是任意角 2 四组诱导公式的作用 公式一的作用 把不在 0 2 范围内的角化为 0 2 范 围内的角 7 公式二的作用 把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数 公式三的作用 把负角的三角函数化为正角的三角函数 公式四的作用 把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数 1 若 cos 则 cos 的值为 1 3 a b 1 3 1 3 c d 2 2 3 2 2 3 解析 cos cos 所以 cos 故选 a 1 3 答案 a 2 sin585 的值为 a b c d 2 2 2 2 3 2 3 2 解析 sin585 sin 360 180 45 sin45 故选 a 2 2 答案 a 3 以下四种化简过程 其中正确的有 sin 360 200 sin200 sin 180 200 sin200 sin 180 200 sin200 sin 200 sin200 a 0 个b 1 个 c 2 个d 3 个 解析 由诱导公式一知 正确 由诱导公式四知 错误 由诱导公式二知 错误 由诱导公式三知 错误 答案 b 4 已知 sin 且 是第四象限角 则 cos 2 的值是 4 5 a b c d 3 5 3 5 3 5 4 5 解析 sin sin sin 4 5 4 5 且 为第四象限角 cos 1 sin2 3 5 8 又 cos 2 cos 2 cos 选 b 3 5 答案 b 5 化简 tan 2 sin 2 cos 6 cos sin 5 解 原式 tan sin cos cos sin tan tan sin cos cos sin 课后作业 四十一 复习巩固 一 选择题 1 cos的值为 79 6 a b c d 1 2 1 2 3 2 3 2 解析 cos cos cos cos cos cos 79 6 12 7 6 7 6 7 6 6 故选 c 6 3 2 答案 c 2 sin2 cos cos 1 的值为 a 1 b 2sin2 c 0 d 2 解析 原式 sin2 cos cos 1 sin2 cos2 1 2 选 d 答案 d 3 若 cos 2 则 sin 2 等于 1 2 3 2 a b 1 2 3 2 c d 3 2 3 2 解析 由 cos 得 cos 故 sin 2 sin 1 2 1 2 9 为第四象限角 1 cos2 3 2 答案 d 4 已知a cos b sin 则a b的大小关系是 23 4 33 4 a abd 不能确定 解析 a cos cos cos 23 4 6 4 4 2 2 b sin sin sin 33 4 8 4 4 2 2 a b 答案 c 5 已知 和 的终边关于x轴对称 则下列各式中正确的是 a sin sin b sin 2 sin c cos cos d cos 2 cos 解析 由 和 的终边关于x轴对称 故 2k k z z 故 cos cos 答案 c 二 填空题 6 sin600 tan240 解析 sin600 tan240 sin 360 240 tan 180 60 sin240 tan60 sin 180 60 tan60 sin60 tan60 3 23 3 2 答案 3 2 7 化简 1 2sin 2 cos 2 解析 sin2 cos2 因 2 弧 1 2sin 2 cos 2 1 2sin2cos2 sin2 cos2 2 度在第二象限 故 sin2 0 cos2 所以原式 sin2 cos2 答案 sin2 cos2 8 已知 sin m 则 cos 5 7 2 7 解析 因为 sin sin 5 7 2 7 10 sin m 且 2 7 2 7 0 2 所以 cos 2 71 m2 答案 1 m2 三 解答题 9 计算下列各式的值 1 cos cos cos cos 5 2 5 3 5 4 5 2 sin420 cos330 sin 690 cos 660 解 1 原式 cos 5 cos4 5 cos 2 5 cos3 5 cos 5 cos 5 cos 2 5 cos 2 5 0 cos 5 cos 5 cos 2 5 cos2 5 2 原式 sin 360 60 cos 360 30 sin 2 360 30 cos 2 360 60 sin60 cos30 sin30 cos60 1 3 2 3 2 1 2 1 2 10 化简 1 sin 540 cos tan 180 2 cos 4 cos2 sin2 3 sin 4 sin 5 cos2 解 1 原式 cos sin 360 180 tan 180 cos2 sin 180 cos tan sin cos sin cos 2 原式 cos cos cos2 sin2 sin sin cos2 综合运用 11 已知 tan 则 tan等于 3 1 3 2 3 a b 1 3 1 3 c d 2 3 3 2 3 3 11 解析 因为 tan tan 2 3 3 tan 3 所以 tan 故选 b 2 3 1 3 答案 b 12 若 sin sin m 则 sin 3 2sin 2 等于 a mb m 2 3 3 2 c md m 2 3 3 2 解析 因为 sin sin 2sin m 所以 sin 则 sin 3 2sin 2 m 2 sin 2sin 3sin m 故选 b 3 2 答案 b 13 已知 cos 75 且 为第四象限角 则 sin 105 1 3 解析 因为a是第四象限角且 cos 75 0 1 3 所以 75 是第三象限角 所以 sin 75 2 2 3 所以 sin 105 sin 180 75 sin 75 2 2 3 答案 2 2 3 14 已知 tan 则 1 2 2cos 3sin 4cos 2 sin 4 解析 tan 则 tan 1 2 1 2 原式 2cos 3 sin 4cos sin 2cos 3sin 4cos sin 2 3tan 4 tan 12 2 3 1 2 4 1 2 7 9 答案 7 9 15 化简