2009年全国高考北京卷理科数学试题答案

2009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数数 学 理工农医类 学 理工农医类 北京卷 北京卷 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 I 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 9 页 共 150 分 考试时间 120 分钟 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 I 卷卷 选择题 共 40 分 注意事项 1 答第 I 卷前 考生务必将答题卡上的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔填写 用 2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑 2 每小题选出答案后 将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑 黑度以盖住框内字 母为准 修改时用橡皮擦除干净 在试卷上作答无效 一 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 w w w k s 5 u c o m 1 在复平面内 复数对应的点位于 12 zii A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案答案 B 解析解析 本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系 属于基础知识的考查 复数所对应的点为 故选 B 12 22ziiiii z 2 1 2 已知向量 a b 不共线 cabR dab 如果 cd 那么 k k A 且 c 与 d 同向 B 且 c 与 d 反向1k 1k C 且 c 与 d 同向 D 且 c 与 d 反向1k 1k 答案答案 D 解析解析 本题主要考查向量的共线 平行 向量的加减法 属于基础知识 基本运算的考 查 取 a b 若 则 cab dab 1 0 0 1 1k 1 1 1 1 显然 a 与 b 不平行 排除 A B 若 则 cab dab 1k 1 1 1 1 即 cd 且 c 与 d 反向 排除 C 故选 D 3 为了得到函数的图像 只需把函数的图像上所有的点 3 lg 10 x y lgyx A 向左平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 B 向右平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 C 向左平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 D 向右平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 答案答案 C 解析解析 本题主要考查函数图象的平移变换 属于基础知识 基本运算的考查 w w w k s 5 u c o m A lg31lg103yxx B lg31lg103yxx C 3 lg31lg 10 x yx D 3 lg31lg 10 x yx 故应选 C 4 若正四棱柱的底面边长为 1 与底面成 60 角 则 1111 ABCDABC D 1 ABABCD 11 AC 到底面的距离为 ABCD A B 1 3 3 C D 23 答案答案 D 解析解析 本题主要考查正四棱柱的概念 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念 第 4 题解答图 属于基础知识 基本运算的考查 依题意 如图 1 60B AB 故选 D 1 1 tan603BB 5 是 的 2 6 kkZ 1 cos2 2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 A 解析解析 本题主要考查三角函数的基本概念 简易逻辑中充要条件的判断 属于基础知识 基本运算的考查 当时 w w w k s 5 u c o m 2 6 kkZ 1 cos2cos 4cos 332 k 反之 当时 有 1 cos2 2 22 36 kkkZ 或 故应选 A 22 36 kkkZ 6 若为有理数 则 w w w k s 5 u c o m 5 12 2 aba b ab A 45 B 55 C 70 D 80 答案答案 C 解析解析 本题主要考查二项式定理及其展开式 属于基础知识 基本运算的考查 5012345 012345 555555 12222222CCCCCC w w w k s 5 u c o m 1 5 22020 2204 24129 2 由已知 得 故选 C 4129 22ab 412970ab 7 用 0 到 9 这 10 个数字 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A 324 B 328 C 360 D 648 答案答案 B 解析解析 本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识 属于基础知 识 基本运算的考查 首先应考虑 0 是特殊元素 当 0 排在末位时 有 个 2 9 9 872A 当 0 不排在末位时 有 个 111 488 4 8 8256AAA 于是由分类计数原理 得符合题意的偶数共有 个 故选 B 72256328 8 点在直线上 若存在过的直线交抛物线于两点 且P 1l yx P 2 yx A B 则称点为 点 那么下列结论中正确的是 PAAB P A 直线 上的所有点都是 点 l B 直线 上仅有有限个点是 点 l C 直线 上的所有点都不是 点 l D 直线 上有无穷多个点 点不是所有的点 是 点 l 答案答案 A 解析解析 本题主要考查阅读与理解 信息迁移以及学生的学习潜力 考查学生分析问题和解 决问题的能力 属于创新题型 本题采作数形结合法易于求解 如图 设 1A m nP x x 则 2 22Bmxnx 2 A Byx 在上 2 2 21 2 nm nxmx 第 8 题解答图 消去 n 整理得关于 x 的方程 1 22 41 210 xmxm 恒成立 222 41 4 21 8850mmmm 方程 1 恒有实数解 应选 A 2009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数数 学 理工农医类 学 理工农医类 北京卷 北京卷 第第 卷 共卷 共 110 分 分 注意事项 1 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2 答卷前将密封线内的项目填写清楚 三 题号二 151617181920 总分 分数 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在题中横线上 9 1 lim 1 x x xx x W 答案答案 1 2 解析解析 本题主要考极限的基本运算 其中重点考查如何约去 零因子 属于基础知识 基本运算的考查 故应填 2 1111 1 1 limlimlimlim 121 11 1 xxxx xx x xxx xxx xx xx x 1 2 10 若实数满足则的最小值为 x y 20 4 5 xy x y syx 答案答案 6 解析解析 本题主要考查线性规划方面 的基础知 属于基础知识 基本运算 的考查 如图 当时 4 2xy 为最小值 246syx 故应填 6 第 10 题解答图 11 设是偶函数 若曲线在点处的切线的斜率为 1 则该曲线在 f x yf x 1 1 f 处的切线的斜率为 1 1 f 答案答案 1 解析解析 本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念 属于基础知识 基本运 算 的考查 取 如图 采用数形结合法 2 f xx 易得该曲线在处的切线的斜率为 1 1 f 1 故应填 1 12 椭圆的焦点为 点在 22 1 92 xy 12 F FP 椭圆上 若 则 1 4PF 2 PF 的小大为 第 11 题解答图 12 FPF 答案答案 2 120 解析解析 本题主要考查椭圆的定义 焦点 长轴 短轴 焦距之间的关系以及余弦定理 属 于基础知识 基本运算的考查 22 9 3ab 22 927cab 12 2 7FF 又 第 12 题解答图 112 4 26PFPFPFa 2 2PF 又由余弦定理 得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 FPF 故应填 w w w k s 5 u c o m 12 120FPF 2 120 13 若函数 则不等式的解集为 1 0 1 0 3 x x x f x x 1 3 f x 答案答案 3 1 解析解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法 属于基础知识 基本运算的 考查 1 由 0 1 30 11 3 3 x f xx x 2 由 0 0 1 01 1111 3 3333 x x x x f xx 不等式的解集为 应填 1 3 f x 31xx 3 1 14 已知数列满足 则 n a 43412 1 0 N nnnn aaaa n 2009 a 2014 a 答案答案 1 0 解析解析 本题主要考查周期数列等基础知识 属于创新题型 依题意 得 20094 503 3 1aa 20142 100710074 252 1 0aaaa 应填 1 0 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 13 分 在中 角的对边分别为 w w w k s 5 u c o m ABC A B C 3 a b c B 4 cos 3 5 Ab 求的值 sinC 求的面积 ABC 解析解析 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值 诱导公式 三角形的面积公式等 基础知识 主要考查基本运算能力 A B C 为 ABC 的内角 且 4 cos 35 BA 23 sin 35 CAA 23134 3 sinsincossin 32210 CAAA 由 知 w w w k s 5 u c o m 334 3 sin sin 510 AC 又 在 ABC 中 由正弦定理 得 3 3 Bb sin6 sin5 bA a B ABC 的面积 11634 3369 3 sin3 2251050 SabC w w w k s 5 u c o m 16 本小题共 14 分 如图 在三棱锥中 底面 PABC PA 60 90ABC PAABABCBCA 点 分别在棱上 且 w w w k s 5 u c o m DE PB PC DEBC 求证 平面 BC PAC 当为的中点时 求与平面所成的角的大小 DPBADPAC 是否存在点使得二面角为直二面角 并说明理由 EADEP 解法解法 1 1 本题主要考查直线和平面垂直 直线与平面所成的角 二面角等基础知识 考 查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 PA 底面 ABC PA BC 又 AC BC 90BCA BC 平面 PAC D 为 PB 的中点 DE BC 1 2 DEBC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 PA 底面 ABC PA AB 又 PA AB ABP 为等腰直角三角形 1 2 ADAB 在 Rt ABC 中 60ABC 1 2 BCAB 在 Rt ADE 中 2 sin 24 DEBC DAE ADAD 与平面所成的角的大小 ADPAC 2 arcsin 4 DE BC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 又 AE平面 PAC PE平面 PAC DE AE DE PE AEP 为二面角的平面角 ADEP PA 底面 ABC PA AC w w w k s 5 u c o m 90PAC 在棱 PC 上存在一点 E 使得 AE PC 这时 90AEP 故存在点 E 使得二面角是直二面角 ADEP 解法解法 2 2 如图 以 A 为原煤点建立空间直角坐标系 Axyz 设 由已知可得PAa 133 0 0 0 0 0 0 0 0 222 ABaaCaPa w w w k s 5 u c o m 1 0 0 0 0 2 APaBCa BC AP 0BC AP 又 BC AC BC 平面 PAC 90BCA D 为 PB 的中点 DE BC E 为 PC 的中点 13131 0 44242 DaaaEaa 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 13131 0 44242 ADaaaAEaa 14 cos 4 AD AE DAE ADAE 与平面所成的角的大小 ADPAC 14 arccos 4 同解法 1 17 本小题共 13 分 某学生在上学路上要经过 4 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇到 红灯的概率都是 遇到红灯时停留的时间都是 2min 1 3 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 w w w k s 5 u c o m 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望 解析解析 本题主要考查随机事件 互斥事件 相互独立事件等概率知识 考查离散型 随机变量的分布列和期望等基础知识 考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A 因为事件 A 等 于事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红灯 所以事件 A 的概率为 1114 11 33327 P A 由题意 可得可能取的值为 0 2 4 6 8 单位 min w w w k s 5 u c o m 事件 等价于事件 该学生在路上遇到次红灯 2k k 0 1 2 3 4 k w w w k s 5 u c o m 4 4 12 20 1 2 3 4 33 kk k PkCk 即的分布列是 02468 P16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 的期望是 16328818 02468 81812781813 E 18 本小题共 13 分 设函数 0 kx f xxek 求曲线在点处的切线方程 yf x 0 0 f 求函数的单调区间 w w w k s 5 u c o m f x 若函数在区间内单调递增 求的取值范围 f x 1 1 k w w w k s 5 u c o m 解析解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值 解不等式等基础知识 考查 综合分析和解决问题的能力 1 01 00 kx fxkx eff 曲线在点处的切线方程为 yf x 0 0 fyx 由 得 10 kx fxkx e 1 0 xk k 若 则当时 函数单调递减 0k 1 x k 0fx f x 当时 函数单调递增 w w w k s 5 u c o m 1 x k 0fx f x 若 则当时 函数单调递增 0k 1 x k 0fx f x 当时 函数单调递减 w w w k s 5 u c o m 1 x k 0fx f x 由 知 若 则当且仅当 0k 1 1 k 即时 函数内单调递增 1k f x 1 1 若 则当且仅当 0k 1 1 k 即时 函数内单调递增 w w w k s 5 u c o m 1k f x 1 1 综上可知 函数内单调递增时 的取值范围是 f x 1 1 k 1 00 1 19 本小题共 14 分 已知双曲线的离心率为 右准线方程为 22 22 1 0 0 xy Cab ab 3 3 3 x 求双曲线的方程 C 设直线 是圆上动点处的切线 与双曲线l 22 2O xy 0000 0 P xyx y l 交C 于不同的两点 证明的大小为定值 w k s 5 u c o m A BAOB 解法解法 1 1 本题主要考查双曲线的标准方程 圆的切线方程等基础知识 考查曲线和 方程 的关系等解析几何的基本思想方法 考查推理 运算能力 由题意 得 解得 w w w k s 5 u c o m 2 3 3 3 a c c a 1 3ac 所求双曲线的方程为 222 2bca C 2 2 1 2 y x 点在圆上 w w w k s 5 u c o m 0000 0P xyx y 22 2xy 圆在点处的切线方程为 00 P xy 0 00 0 x yyxx y 化简得 w w w k s 5 u c o m 00 2x xy y 由及得 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 22 00 2xy 222 000 344820 xxx xx 切线 与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且 l 2 0 02x 且 w w w k s 5 u c o m 2 0 340 x 222 000 164 34820 xxx 设 A B 两点的坐标分别为 1122 x yxy 则 w w w k s 5 u c o m 2 00 1212 22 00 482 3434 xx xxx x xx 且cos OA OB AOB OA OB 1212120102 2 0 1 22OA OBx xy yx xx xx x y w w w k s 5 u c o m 2 12012012 2 0 1 42 2 x xxxxx x x x 22 22 00 00 2222 0000 82 8281 4 3423434 xx xx xxxx 22 00 22 00 8282 0 3434 xx xx 的大小为 w k s 5 u c o m AOB 90 解法解法 2 2 同解法 1 点在圆上 w w w k s 5 u c o m 0000 0P xyx y 22 2xy 圆在点处的切线方程为 00 P xy 0 00 0 x yyxx y 化简得 由及得w w w k s 5 u c o m 00 2x xy y 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 22 00 2xy 222 000 344820 xxx xx 222 000 348820 xyy xx 切线 与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且 l 2 0 02x 设 A B 两点的坐标分别为 2 0 340 x 1122 x yxy 则 w w w k s 5 u c o m 22 00 1212 22 00 8228 3434 xx x xy y xx 的大小为 w k s 5 u c o m 1212 0OA OBx xy y AOB 90 且 从而当时 方程 22 00 2xy 00 0 x y 22 00 02 02xy 2 0 340 x 和方程 的判别式均大于零 20 本小题共 13 分 已知数集具有性质 对任意的 1212 1 2 nn Aa aaaaa n P 与两数中至少有一个属于 w w w k s 5 u c o m 1i jijn ij a a j i a a A 分别判断数集与是否具有性质 并说明理由 1 3 4 1 2 3 6P 证明 且 1 1a 12 111 12 n n n aaa a aaa 证明 当