一元一次方程应用题

一元一次方程应用题分类讲评 一元一次方程应用题是初一数学学习的重点 也是一个难点 主要困难体现在两个方 面 一是难以从实际问题中找出相等关系 列出相应的方程 二是对数量关系稍复杂的方 程 常常理不清楚基本量 也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关 系 导致解题时无从下手 事实上 方程就是一个含未知数的等式 列方程解应用题 就是要将实际问题中的一 些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来 而在这种等式中的每个式子又都有 自身的实际意义 它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系 由此 解方 程应用题的关键就是要 抓住基本量 找出相等关系 下面就一元一次方程中常见的几类应用题作逐一讲评 供同学们学习时参考 1 1 行程问题行程问题 行程问题中有三个基本量 路程 时间 速度 关系式为 路程 速度 时间 速 度 时间 可寻找的相等关系有 路程关系 时间关系 速度关系 在不同的问题中 相等关系 是灵活多变的 如相遇问题中多以路程作相等关系 而对有先后顺序的问题却通常以时间 作相等关系 在航行问题中很多时候还用速度作相等关系 航行问题是行程问题中的一种特殊情况 其速度在不同的条件下会发生变化 顺水 风 速度 静水 无风 速度 水流速度 风速 逆水 风 速度 静水 无风 速度 水流速度 风速 由此可得到航行问题中一个重要等量关系 顺水 风 速度 水流顺水 风 速度 水流 速度 风速 逆水 风 速度速度 风速 逆水 风 速度 水流速度 风速 水流速度 风速 静水 无风 速度 例 某队伍 450 米长 以每分钟 90 米速度前进 某人从排尾到排头取东西后 立即 返回排尾 速度为 3 米 秒 问往返共需多少时间 讲评 这一问题实际上分为两个过程 从排尾到排头的过程是一个追及过程 相当 于最后一个人追上最前面的人 从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程 相当于从排 头走到与排尾的人相遇 在追及过程中 设追及的时间为 x 秒 队伍行进 即排头 速度为 90 米 分 1 5 米 秒 则排头行驶的路程为 1 5x 米 追及者的速度为 3 米 秒 则追及者行驶的路程为 3x 米 由追及问题中的相等关系 追赶者的路程 被追者的路程 原来相隔的路程 有 3x 1 5x 450 x 300 在相遇过程中 设相遇的时间为 y 秒 队伍和返回的人速度未变 故排尾人行驶的路程为 1 5y 米 返回者行驶的路程为 3y 米 由相遇问题中的相等关系 甲行驶的路程 乙行驶的 路程 总路程 有 3y 1 5y 450 y 100 故往返共需的时间为 x y 300 100 400 秒 例 2 汽车从 A 地到 B 地 若每小时行驶 40km 就要晚到半小时 若每小时行驶 45km 就可以早到半小时 求 A B 两地的距离 讲评 先出发后到 后出发先到 快者要早到慢者要晚到等问题 我们通常都称其为 先后问题 在这类问题中主要考虑时间量 考察两者的时间关系 从相隔的时间上找 出相等关系 本题中 设 A B 两地的路程为 x km 速度为 40 km 小时 则时间为小 时 速度为 45 km 小时 则时间为小时 又早到与晚到之间相隔 1 小时 故有 1 x 360 例 3 一艘轮船在甲 乙两地之间行驶 顺流航行需 6 小时 逆流航行需 8 小时 已知 水流速度每小时 2 km 求甲 乙两地之间的距离 讲评 设甲 乙两地之间的距离为 x km 则顺流速度为km 小时 逆流速度为km 小时 由航行问题中的重要等量关系有 2 x 96 2 2 工程问题工程问题 工程问题的基本量有 工作量 工作效率 工作时间 关系式为 工作量 工作效率 工作时间 工作时间 工作效率 工程问题中 一般常将全部工作量看作整体 1 如果完成全部工作的时间为 t 则工作 效率为 常见的相等关系有两种 如果以工作量作相等关系 部分工作量之和如果以工作量作相等关系 部分工作量之和 总工作总工作 量 量 如果以时间作相等关系 完成同一工作的时间差如果以时间作相等关系 完成同一工作的时间差 多用的时间 多用的时间 在工程问题中 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量 这时不能看作整体 1 此时工作效率也即工作速度 例 4 加工某种工件 甲单独作要 20 天完成 乙只要 10 就能完成任务 现在要求二 人在 12 天内完成任务 问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务 讲评 将全部任务的工作量看作整体 1 由甲 乙单独完成的时间可知 甲的工作效 率为 乙的工作效率为 设乙需工作 x 天 则甲再继续加工 12 x 天 乙完成 的工作量为 甲完成的工作量为 依题意有 1 x 8 例 5 收割一块麦地 每小时割 4 亩 预计若干小时割完 收割了后 改用新式农 具收割 工作效率提高到原来的 1 5 倍 因此比预计时间提前 1 小时完工 求这块麦地有 多少亩 讲评 设麦地有 x 亩 即总工作量为 x 亩 改用新式工具前工作效率为 4 亩 小时 割 完 x 亩预计时间为小时 收割亩工作时间为 4 小时 改用新式工具后 工作 效率为 1 5 4 6 亩 小时 割完剩下亩时间为 6 小时 则实际用的时间为 小时 依题意 比预计时间提前 1 小时完工 有 1 x 36 例 6 一水池装有甲 乙 丙三个水管 加 乙是进水管 丙是排水管 甲单 独开需 10 小时注满一池水 乙单独开需 6 小时注满一池水 丙单独开 15 小时放完一池水 现在三管齐开 需多少时间注满水池 讲评 由题设可知 甲 乙 丙工作效率分别为 进水管工作效率看 作正数 排水管效率则记为负数 设 小时可注满水池 则甲 乙 丙的工作量分别为 由三水管完成整体工作量 1 有 1 x 5 3 3 经济问题 经济问题 与生活 生产实际相关的经济类应用题 是近年中考数学创新题中的一个突出类型 经济类问题主要体现为三大类 销售利润问题 优惠 促销 问题 存贷问题 这 三类问题的基本量各不相同 在寻找相等关系时 一定要联系实际生活情景去思考 才能 更好地理解问题的本质 正确列出方程 销售利润问题销售利润问题 利润问题中有四个基本量 成本 进价 销售价 收入 利润 利润率 基本关系式有 利润 销售价 收入 成本 进价 成本 进价 销售价 收入 利润 利润率 利润 成本 进价 利润率 在有折扣 的销售问题中 实际销售价 标价 折扣率 打折问题中常以进价不变作相等关系 优惠 促销 问题优惠 促销 问题 日常生活中有很多促销活动 不同的购物 消费 方式可以得 到不同的优惠 这类问题中 一般从 什么情况下效果一样分析起 并以求得的数值为 基准 取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验 预测其变化趋势 存贷问题存贷问题 存贷问题与日常生活密切相关 也是中考命题时最好选取的问题情景之 一 存贷问题中有本金 利息 利息税三个基本量 还有与之相关的利率 本息和 税率 等量 其关系式有 利息 本金 利率 期数 利息税 利息 税率 本息和 本利 本金 利息 利息税 例 7 某商店先在广州以每件 15 元的价格购进某种商品 10 件 后来又到深圳以每件 12 5 元的价格购进同样商品 40 件 如果商店销售这种商品时 要获利 12 那么这种商品的 销售价应定多少 讲评 设销售价每件 x 元 销售收入则为 10 40 x 元 而成本 进价 为 5 10 40 12 5 利润率为 12 利润为 5 10 40 12 5 12 由关系式 有 10 40 x 5 10 40 12 5 5 10 40 12 5 12 x 14 56 例 8 某种商品因换季准备打折出售 如果按定价七五折出售 则赔 25 元 而按定价的九 折出售将赚 20 元 问这种商品的定价是多少 讲评 设定价为 x 元 七五折售价为 75 x 利润为 25 元 进价则为 75 x 25 75 x 25 九折销售售价为 90 x 利润为 20 元 进价为 90 x 20 由进价一定 有 75 x 25 90 x 20 x 300 例 9 李勇同学假期打工收入了一笔工资 他立即存入银行 存期为半年 整存整取 年 利息为 2 16 取款时扣除 20 利息税 李勇同学共得到本利 504 32 元 问半年前李勇 同学共存入多少元 讲评 本题中要求的未知数是本金 设存入的本金为 x 元 由年利率为 2 16 期数 为 0 5 年 则利息为 0 5 2 16 x 利息税为 20 0 5 2 16 x 由存贷问题存贷问题中关系式 有 x 0 5 2 16 x 20 0 5 2 16 x 504 32 x 500 例 10 某服装商店出售一种优惠购物卡 花 200 元买这种卡后 凭卡可在这家商店 8 折购物 什么情况下买卡购物合算 讲评 购物优惠购物优惠先考虑 什么情况下情况一样 设购物 x 元买卡与不买卡效果一样 买卡花费金额为 200 80 x 元 不买卡花费金额为 x 元 故有 200 80 x x x 1000 当 x 1000 时 如 x 2000 买卡消费的花费为 200 80 2000 1800 元 不买卡花费为 2000 元 此时买卡购物合算 当 x 1000 时 如 x 800 买卡消费的花费为 200 80 800 840 元 不买卡花费为 800 元 此时买卡不合算 4 4 溶液 混合物 问题溶液 混合物 问题 溶液 混合物 问题有四个基本量 溶质 纯净物 溶剂 杂质 溶液 混合物 浓度 含量 其关系式为 溶液 溶质 溶剂 混合物 纯净物 杂质 浓度 100 100 纯度 含量 100 100 由 可得到 溶质 浓度 溶液 浓度 溶质 溶剂 在溶液问题中关键量是 溶质 溶质不变 混合前溶质总量等于 混合后的溶质量 是很多方程应用题中的主要等量关系 例 11 把 1000 克浓度为 80 的酒精配成浓度为 60 的酒精 某同学未经考虑先加了 300 克水 试通过计算说明该同学加水是否过量 如果加水不过量 则应加入浓度为 20 的酒精多少克 如果加水过量 则需再加入浓度为 95 的酒精多少克 讲评 溶液问题中浓度的变化有稀释 通过加溶剂或浓度低的溶液 将浓度高的溶液 的浓度降低 浓化 通过蒸发溶剂 加溶质 加浓度高的溶液 将低浓度溶液的浓度提 高 两种情况 在浓度变化过程中主要要抓住溶质 溶剂两个关键量 并结合有关公式进 行分析 就不难找到相等关系 从而列出方程 本题中 加水前 原溶液 1000 克 浓度为 80 溶质 纯酒精 为 1000 80 克 设加 x 克水后 浓度为 60 此时溶液变为 1000 x 克 则溶质 纯酒精 为 1000 x 60 克 由加水前后溶质未变 有 1000 x 60 1000 80 x 300 该同学加水未过量 设应加入浓度为 20 的酒精 y 克 此时总溶液为 1000 300 y 克 浓度为 60 溶质 纯酒精 为 1000 300 y 60 原两种溶液的浓度分别为 1000 80 20 y 由 混合前后溶质量不变 有 1000 300 y 60 1000 80 20 y 50 5 5 数字问题数字问题 数字问题是常见的数学问题 一元一次方程应用题中的数字问题多是整数 要注意数数 位 数位上的数字 数值位 数位上的数字 数值三者间的关系 任何数 数位上的数字 位权 如两位数 10a b 三位数 100a 10b c 在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用 例 12 一个三位数 三个数位上的和是 17 百位上的数比十位上的数大 7 个位上的 数是十位上的数的 3 倍 求这个数 讲评 设这个数十位上的数字为 x 则个位上的数字为 3x 百位上的数字为 x 7 这个三位数则为 100 x 7 10 x 3x 依题意有 x 7 x 3x 17 x 2 100 x 7 10 x 3x 900 20 6 926 例 13 一个六位数的最高位上的数字是 1 如果把这个数字移到个位数的右边 那么所得 的数等于原数的 3 倍 求原数 讲评 这个六位数最高位上的数移到个位后 后五位数则相应整体前移 1 位 即每个 数位上的数字被扩大 10 倍 可将后五位数看成一个整体设未知数 设除去最高位上数字 1 后的 5 位数为 x 则原数为 10 x 移动后的数为 10 x 1 依题意有 10 x 1 10 x x 42857 则原数为 142857 6 6 调配 分配 与比例问题调配 分配 与比例问题 调配与比例问题在日常生活中十分常见 比如合理安排工人生产 按比例选取工程材 料 调剂人数或货物等 调配问题中关键是要认识清楚部分量 总量以及两者之间的关系 在调配问题中主要考虑 总量不变 而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关 系 或是量与量之间的比例关系 例 14 甲 乙两书架各有若干本书 如果从乙架拿 100 本放到甲架上 那么甲架上的 书比乙架上所剩的书多 5 倍 如果从甲架上拿 100 本书放到乙架上 两架所有书相等 问 原来每架上各有多少书 讲评 本题难点是正确设未知数 并用含未知数的代数式将另一书架上书的本数表示 出来 在调配问题中 调配后数量相等 即将原来多的一方多出的数量进行平分调配后数量相等 即将原来多的一方多出的数量进行平分 由题设 中 从甲书架拿 100 本书到乙书架 两架书相等 可知甲书架原有的书比乙书架上原有 的书多 200 本 故设乙架原有 x 本书 则甲架原有 x 200 本书 从乙架拿 100 本放到甲 架上 乙架剩下的书为 x 100 本 甲架书变为 x 200 100 本 又甲架的书比乙架 多 5 倍 即是乙架的六倍 有 x 200 100 6 x 100 x 180 x 200 380 例 15 教室内共有灯管和吊扇总数为 13 个 已知每条拉线管 3 个灯管或 2 个吊扇 共 有这样的拉线 5 条 求室内灯管有多少个 讲评 这是一道对开关拉线的分配问题分配问题 设灯管有 x 支 则吊扇有 13 个 灯 管拉线为条 吊扇拉线为条 依题意 共有 条拉线 有 x 9 例 16 某车间 22 名工人参加生产一种螺母和螺丝 每人每天平均生产螺丝 120 个或螺 母 200 个 一个螺丝要配两个螺母 应分配多少名工人生产螺丝 多少名工人生产螺母 才能使每天生产的产品刚好配套 讲评 产品配套 工人调配 问题产品配套 工人调配 问题 要根据产品的配套关系 比例关系 正确地找到 它们间得数量关系 并依此作相等关系列出方程 本题中 设有 x 名工人生产螺母 生产 螺母的个数为 200 x 个 则有 22 x 人生产螺丝 生产螺丝的个数为 120 22 x 个 由 一个螺丝要配两个螺母 即 螺母的个数是螺丝个数的 2 倍 有 200 x 2 120 22 x x 12 22 x 10 例 17 地板砖厂的坯料由白土 沙土 石膏 水按 25 2 1 6 的比例配制 搅拌而成 现已将前三种料称好 公 5600 千克 应加多少千克的水搅拌 前三种料各称了 多少千克 讲评 解决比例问题比例问题的一般方法是 按比例设未知数 并根据题设中的相等关系列出 方程进行求解 本题中 由四种坯料比例 25 2 1 6 设四种坯料分别为 25x 2x x 6x 千克 由前三种坯料共 5600 千克 有 25x 2x x 5600 x 200 25x 5000 2x 400 x 200 6x 1200 例 18 苹果若干个分给小朋友 每人 m 个余 14 个 每人 9 个 则最后一人得 6 个 问小 朋友有几人 讲评 这是一个分配问题分配问题 设小朋友 x 人 每人分 m 个苹果余 14 个 苹果总数为 mx 14 每人 9 个苹果最后一人 6 个 则苹果总数为 9 x 苹果总数不变 有 mx 14 9 x x m 均为整数 9 例 19 出口 1 吨猪肉可以换 5 吨钢材 7 吨猪肉价格与 4 吨砂糖的价格相等 现有 288 吨 砂糖 把这些砂糖出口 可换回多少吨钢材 讲评 本题可转换成一个比例问题比例问题 由猪肉 钢材 1 5 猪肉 砂糖 7 4 得猪肉 钢材 砂糖 7 35 4 设可换回钢材 x 吨 则有 x 288 35 4 x 2620 7 7 需设中间 间接 未知数求解的问题需设中间 间接 未知数求解的问题 一些应用题中 设直接未知数很难列出方程求解 而根据题中条件设间接未知数 却 较容易列出方程 再通过中间未知数求出结果 例 20 甲 乙 丙 丁四个数的和是 43 甲数的 2 倍加 8 乙数的 3 倍 丙数的 4 倍 丁数的 5 倍减去 4 得到的 4 个数却相等 求甲 乙 丙 丁四个数 讲评 本题中要求 4 个量 在后面可用方程组求解 若用一元一次方程求解 如果设 某个数为未知数 其余的数用未知数表示很麻烦 这里由甲 乙 丙 丁变化后得到的数 相等 故设这个相等的数为 x 则甲数为 乙数为 丙数为 丁数为 由 四个数的和是 43 有 43 x 36 14 12 9 8 例 21 某县中学生足球联赛共赛 10 轮 即每队均需比赛 10 场 其中胜 1 场得 3 分 平 1 场得 1 分 负 1 场得 0 分 向明中学足球队在这次联赛中所负场数比平场数少 3 场 结果公得 19 分 向明中学在这次联赛中胜了多少场 讲评 本题中若直接将胜的场次设为未知数 无法用未知数的式子表示出负的场数和 平的场数 但设平或负的场数 则可表示出胜