高考数学中的恒成立问题与存在性问题

1 恒成立恒成立问题问题 的解法的解法 常用方法 函数性函数性质质法 法 主参主参换换位法 位法 分离参数法 分离参数法 数形数形结结合法合法 一 函数性一 函数性质质法法 1 一次函数型 给定一次函数 若在 m n 内恒有 则根据函数的 0 f xaxb a yf x 0f x 图象 直线 可得上述结论等价于 同理 若在 m n 内恒有 则有 0 0 nf mf 0f x 0 0 nf mf 例 1 对满足的所有实数 求使不等式恒成立的的取值范围 2p p 2 12xpxpxx x 略解 略解 不等式即为 设 则在上恒大 2 1 210 xpxx 2 1 21f pxpxx f p 2 2 于 0 故有 即 2 0 2 f f 01 034 2 2 x xx31 11 xx xx 或 或 13xx 或 2 二次函数 二次函数 若二次函数 或 在 R 上恒成立 则有 或 2 0 0f xaxbxc a 0 0 0 a 0 0 a 若二次函数 或 在指定区间上恒成立 可以利用韦达定理以及根 2 0 0f xaxbxc a 0 的分布等知识求解 例 2 已知函数 若对于任一实数 与的值至少 2 22 41 f xmxm xg xmx x f x g x 有一个为正数 则实数的取值范围是 m A 0 2 B 0 8 C 2 8 D 0 选 B 例 3 设 当时 都有恒成立 求的取值范围 2 22f xxax 1 x f xa a 解 设 2 22F xf xaxaxa 1 当时 即时 对一切 恒成立 4 1 2 0aa 21a 1 x 0F x 2 当时 由图可得以下充要条件 4 1 2 0aa nmo x y nmo x y 1o x y 2 即 综合得的取值范围为 3 1 0 1 0 2 1 2 f a 1 2 0 30 1 aa a a 32a a 例 4 关于的方程恒有解 求的范围 x9 4 340 xx a a 解法 设 则 则原方程有解即方程有正根 3xt 0t 2 4 40ta t 12 12 0 4 0 40 xxa x x 2 4 160 4 a a 8a 3 其它函数 其它函数 恒成立 若的最小值不存在 则恒成立的下界0 0f x min 0f x f x 0f x f x 恒成立 若的最大值不存在 则恒成立的上界0 0f x max 0f x f x 0f x f x 例 5 设函数 其中常数 32 1 1 424 3 f xxa xaxa 1a 1 讨论的单调性 f x 2 若当时 恒成立 求的取值范围 s 5 u c o m 0 x 0f x a 解 2 由 I 知 当时 在或处取得最小值 0 x xfax2 0 x aaaaaaaf2424 2 1 2 3 1 2 23 aaa244 3 4 23 af24 0 则由题意得 即 0 0 0 2 1 f af a 1 4 3 6 0 3 240 a a aa a 16a 1 6 a 二 主参二 主参换换位法 位法 某些含参不等式恒成立问题 在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参 数与变量 但函数的最值却难以求出时 可考虑把主元与参数换个位置 再结合其它知识 往往会取得出 奇制胜的效果 例 6 已知函数 其中为实数 32 3 1 1 32 a f xxxax a 1 已知函数在处取得极值 求的值 f x1x a 2 已知不等式对任意都成立 求实数的取值范围 2 1fxxxa 0 a x 3 解 由题设知 对都成立 即对 22 3 1 1axxaxxa 0 a 22 2 20a xxx 都成立 设 则是一个以为自变量的一次 0 a 22 2 2g axaxx aR g aa 函数 恒成立 则对 为上的单调递增函数 所以对 2 20 x xR g aR 0 a 恒成立的充分必要条件是 于是的取值范围是 0g a 0 0g 2 20 xx 20 x x 20 xx 三 三 分离参数法 分离参数法 利用分离参数法来确定不等式 为实参数 恒成立时参数的取 0f x Dx 值范围的基本步骤 1 将参数与变量分离 即化为 或 恒成立的形式 gf x gf x 2 求在上的最大 或最小 值 f xxD 3 解不等式 或 求得的取值范围 max gf x mingf x 适用适用题题型 型 1 参数与变量能分离 2 函数的最值易求出 例 7 当时 恒成立 则的取值范围是 1 2 x 2 40 xmx m 解 当时 由得 令 则易知在 1 2 x 2 40 xmx 2 4x m x 2 44 x f xx xx f x 1 2 上是减函数 所以 所以 4 5f x 2 4 5 x x 5m 例 8 已知时 不等式恒成立 求实数的取值范围 xR cos254sin54axxa a 解 原不等式即为 要使上式恒成立 只需 a 5 大于 2 14sin2sin554xxaa 45 a 的最大值 因为 2 14sin2sinxx 2 14sin2sin3xx 即或 解得a 8 5543aa 542aa 2 20 540 54 2 a a aa 045 02 a a 5 4 四 数形四 数形结结合合 对于型问题 利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理 若把等式或 f xg x 不等式进行合理的变形后 能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象 则可以通过画图直接判断 得出结果 尤其对于选择题 填空题这种方法更显方便 快捷 例 9 若对任意 不等式恒成立 则实数的取值范围是 xR xax a A B C D 1a 1a 1a 1a yx yx yax yax x y O 4 选 B 例 10 当 时 恒成立 求 a 的取值范围 1 2 x 2 1 logaxx 答案 12a 例 11 已知关于 x 的方程有唯一解 求实数 2 lg 20 lg 863 0 xxxa a 的取值范围 解 原问题即为 方程有唯一解 2 208630 xxxa 令 则如图所示 要使和在轴上有 2 1 20yxx 2 863yxa 1 y 2 yx 唯一交点 则直线必须位于和之间 包括但不包括 1 l 2 l 1 l 2 l 当直线为时 当直线为时 1 l 163 6 a 2 l 1 2 a 的范围为 a 1631 62 另解 方程在方程上有唯一解有唯一解 2 1263xxa 20 0 x 五 根据函数的奇偶性 周期性等性五 根据函数的奇偶性 周期性等性质质 函数是奇偶性 单调性 周期性都在给定区间上恒成立 例 12 若为偶函数 求的值 sin cos f xxx 解 由题得 对一切恒成