常微分方程解的延伸

1 3 解的延伸解的延伸 1 的定理 1 只肯定了在相当广泛的条件之下 解在区间上存在 其中 hxx 0 min M b ah 当很大时 可能很小 甚至出现的定义域扩大后 Cauchy 问题 max yxfm Ryx Mh yxf 00 yxy yxf dx dy 2 3 1 3 的解的存在区间反而缩小的现象 例如 Riccati 方程的 Cauchy 问题hxx 0 0 0 22 yyx dx dy 当时 而当时 由 1 1 1 yxyxR 2 1 1 h 2 2 2 yxyxR 4 1 8 2 2min 2 h 此看到 反而 这说明在上 由定理 1 得到的 Cauchy 问题的解在有定义 21 RR 21 hh 2 R 4 1 4 1 至少可以把此解延伸在上仍有定义 2 1 2 1 仅仅知道解局部存在 在许多情形下往往不能满足需要 我们的问题是 能否将一个在小区间上有定 义的解延伸到比较大的区间上去呢 这就是本节所要讨论的问题 设微分方程经过点的解有如下表达式 1 3 0 P xy Jx 其中表示的最大存在区间 J 先考察积分曲线在点右侧的延伸情况 令为在点右侧的最大存在区间 即 0 P J 0 P 0 xJJ 若 则积分曲线在区域内就延伸到无穷远 因此也就延伸到区域的边界 否则 0 xJ GG 就只有下面两种可能 1 是有限闭区间 J 令 其中 方程与条件的解存在于区间上 当 10 xxJ 01 xx 1 3 2 3 xy J 时 我们按下述方式把解向右延伸 JxGxx xy 令 则 因为区域是一个开集 所以存在矩形区域 11 xy Gyx 1 G 1 R 11 axx 11 byy 使得 由定理 3 在上 方程至少有一个解满足初始条件GR 1 0 1 h 11 hxx 1 3 1 xy 2 令 111 xy 1 x x xy 111 10 hxxx xxx 当 当 显然是方程的满足条件的在区间上有定义的解 因此 它是积分曲线在区 xy 1 3 2 3 110 hxx 间上的表达式 由于已设积分曲线的最大右侧存在区间为 从而必包含 110 hxx 10 xxJ J 与假设矛盾 故比可能是有限闭区间 110 hxx J 2 是有限半开区间 J 令 其中 而当时 有 10 xxJ 01 xx JxGxx 下证对任何有限闭区域 不可能使GG 1 对一切 1 Gxx Jx 3 3 成立 事实上 若不然 设是内一个有限闭区域 使得成立 则有和 1 GG 3 3 00 yx 当 xxfx Jx 4 3 它等价于 x x dsssfyx 0 0 10 xxx 5 3 由于在有限闭区域上是连续的 故在上有上界 再由和可推 yxf 1 G yxf 1 G0 K 3 3 4 3 知 在上有上界 再由拉格郎日中值公式即可推得 J x K 当 2121 ttKtt Jtt 21 由此可证 当时 的极限存在 设为 即 1 xx x 1 y lim 1 1 xy xx 6 3 令 1 y x x 1 10 xx xxx 当 当 可知这样定义的函数是连续的 从而由和可知 在上满足 xy 5 3 6 3 xy 10 xxx x x dsssfyx 0 0 3 由上一节定理 1 的证明知 在区间上是微分方程的满足初值条件的一个解 xy 10 xx 1 3 2 3 这也就是说 上面的积分曲线可延伸到区间上 这与的最大存在区间为矛盾 故对 10 xx 10 xx 任何有限闭区域 关系式是不可能成立的 GG 1 3 3 由上述讨论可知 积分曲线在点的右侧将延伸到区域的边界 同理可证 积分曲线在点 0 PG 0 P 的左侧也将延伸到区域的边界 G 把上面的结果写成一个定理 即有 定理 4 设为区域内一点 并设是积分方程经过点的任一条积分曲线 则积分曲线 0 PG 1 3 0 P 将在区域内延伸到边界 G 由定理 1 和定理 4 立即可得如下推论 推论推论 设函数在区域内连续 且对满足局部的李普希兹条件 则微分方程经过 yxfGy 1 3 内任一点存在唯一的积分曲线 并且在内延伸到边界 G 0 P G 例例 1 在平面上任取一点 试证初值问题 000 yxP E 2 xy eyx dx dy 00 yxy 的右行解 即从点出发向右延伸的解 都在区间存在 0 P xx0 证 记 它在全平面上连续 对于平面上任意一个包含点的区域 2 xy eyxyxf 0 PG 在上一致连续 所以对 亦即在 21 2 yxxye y f xy RGyx N y yxf yxf 上满足李普希兹条件 从而由上面的推论可知 初值问题的解存在且唯一 并且可以延伸到的R EG 边界 不难看出 直线 是微分方程所对应的线素场的水平等斜线 且线素的斜率在上方为负 Lxy L 因而积分曲线在上方是单调下降的 而在下方线素的斜率为正 故积分曲线在下方是单调上升的 LLL 现设位于的上方 即有 利用的右行解在条形域 0 PL 00 yx E S yyxxyx 00 上的延伸定理 以及积分曲线在上方的单调下降性 可推知必与相交 如图 L L 再设位于直线上或其下方 即 那么在区域 0 PL 00 yx G yxxyx 0 上应用右行解的延伸定理 可知的解可延伸到的边界 又由前面讨论知 在下方积分曲线是 E GL 单调上升的 且它在向右延伸时不可能从水平等斜线的下方穿越到上方 因此 积分曲线必可延伸到L 4 xx0 例例 2 研究定义于条形区域 中的方程 G yxyx 32 2 y dx dy 这里处处连续 且在条形区域中的任一点的领域内满足李普希兹条件 方程的通解 2 yyxf G 为 此外还有特解 很显然 积分曲线的两端都能达到的边界 可以算出 经过 xC y 1 0 y0 yG 点的积分曲线是 它的左端能达到 但右端当时 故不能达 1 1 x y 2 1 2 x 2x y 到的边界 仿此 经过点的积分曲线是 它的右端能达到 但在左端当G3 x 1 1 x y 1 3 x 时 故不能达到的边界 如图 0 x yG2 x 例 2 说明 微分方程解的最大存在区间因解而异 对不同的解 需要在不同的区间上进行讨论 因此 当我们不知道解的最大存在区间时就无法对解进行研究 下面的定理在一定条件下为我们克服了这个困 难 定理定理 5 设微分方程 yxf dx dy 7 3 其中函数在条形区域 内连续 而且满足不等式 yxfS yxyx xByxAyxf 8 3 其中和在区间上是连续的 则微分方程的每一个解都以区间0 xA0 xB x 7 3 为最大存在区间 x 证证 设方程满足初值条件 7 3 00 yxy Syx 00 的一个解为 要证的最大存在区间为 xyy x 用反证法 设它的右侧最大存在区间为 其中是常数 在的两侧分别 00 x 0 00 x 0 取常数 使得 21 x x 且 2010 xxx 0112 xxxx 由假设条件知 在有限闭区间上是连续有界的 设分别为它们的正的上 xA xB 20 xx 00 B A 界 从而由可得 8 3 00 ByAyxf yxxx 20 9 3 5 不妨设 由于在上存在 于是有 0 121 4 1 A xx xyy 00 x 010 xx 11 yxy Syx 11 现以点为中心作一矩形区域 11 yx 11111 byyaxxyxR 这里正数是充分大 显然 再由有 1 bSR 1 9 3 0110 BbyAyxf 111 Ryx 10 3 成立 令 再以点为中心作一矩形区域 01101 BbyAM min 1 1 11 M b ah 11 yx 1111 1 byyhxxyxR 显然 在内应用定理 4 可以推知 微分方程过的解必可向右延伸到 1 1 RR 1 R 8 3 11 yx 的边界 1 R 另一方面 由式可知 解在内必停留在扇形区域 10 3 1 R 11111 hxxxxMyy 因此 解可向右延伸到 又由于及 所以只要取充分大的正数 110 hxx 0 1