空间向量与立体几何解答题精选(含答案)

空间向量与立体几何解答题精选 选修 2 1 1 已知四棱锥的底面为直角梯形 PABCD ABDC 底面 且 是 PADAB 90 ABCD 1 2 PAADDC 1AB M 的中点 PB 证明 面面 PAD PCD 求与所成的角 ACPB 求面与面所成二面角的大小 AMCBMC 证明 以为坐标原点长为单位长度 如图建立空间直角坐标系 则各点坐标为AAD 1 0 0 0 0 2 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 ABCDPM 证明 因 0 0 1 0 1 0 0 DCAPDCAPDCAP 所以故 由题设知 且与是平面内的两条相交直线 由此得面ADDC APADPADDC 又在面上 故面 面 PADDCPCDPADPCD 解 因 1 2 0 0 1 1 PBAC 5 10 cos 2 5 2 PBAC PBAC PBAC PBACPBAC所以故 解 在上取一点 则存在使MC N x y z R MCNC 2 1 1 1 2 1 0 1 1 1 zyxMCzyxNC 要使 14 00 25 ANMCAN MCxz A只需即解得 0 5 2 1 5 1 5 2 1 5 1 0 5 2 1 5 1 5 4 MCBNBNAN MCANN 有此时 能使点坐标为时可知当 为ANBMCBNMCANMCBNMCAN 所以得由 0 0 所求二面角的平面角 30304 555 2 cos 3 2 arccos 3 ANBNAN BN AN BN AN BN ANBN A A 故所求的二面角为 2 如图 在四棱锥中 底面是正方形 侧面是正三角形 VABCD ABCDVAD 平面底面 VAD ABCD 证明 平面 AB VAD 求面与面所成的二面角的大小 VADDB 证明 以为坐标原点 建立如图所示的坐标图系 D 证明 不防设作 1 0 0 A 则 1 1 0 B 2 3 0 2 1 V 2 3 0 2 1 0 1 0 VAAB 由得 又 因而与平面内两条相交直线 0 VAABABVA ABAD ABVAD 都垂直 平面 VAADAB VAD 解 设为中点 则 EDV 4 3 0 4 1 E 2 3 0 2 1 4 3 1 4 3 4 3 0 4 3 DVEBEA 由 0DVEADVEBDVEB 又得 因此 是所求二面角的平面角 AEB 7 21 cos EBEA EBEA EBEA 解得所求二面角的大小为 7 21 arccos 3 如图 在四棱锥中 底面为矩形 PABCD ABCD 侧棱底面 PA ABCD3AB 1BC 2PA 为的中点 EPD 求直线与所成角的余弦值 ACPB 在侧面内找一点 使面 PABNNE PAC 并求出点到和的距离 NABAP 解 建立如图所示的空间直角坐标系 则的坐标为 A B C D P E 0 0 0 A 3 0 0 B 3 1 0 C 0 1 0 D 0 0 2 P 1 0 1 2 E D DC C B B A A V V 从而 2 0 3 0 1 3 PBAC 设的夹角为 则PBAC与 14 73 72 3 cos PBAC PBAC 与所成角的余弦值为 ACPB 14 73 由于点在侧面内 故可设点坐标为 则NPABN 0 xz 由面可得 1 2 1 zxNE NE PAC 0 2 1 3 01 0 0 1 3 1 2 1 0 2 0 0 1 2 1 0 0 x z zx zx ACNE APNE 化简得即 1 6 3 z x 即点的坐标为 从而点到和的距离分别为 N 1 0 6 3 NABAP 3 1 6 4 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的 其中ABCD 1 AEC F 1 4 2 3 1ABBCCCBE 求的长 BF 求点到平面的距离 C 1 AEC F 解 I 建立如图所示的空间直角坐标系 则 0 0 0 D 2 4 0 B 设 1 2 0 0 0 4 0 2 4 1 0 4 3 ACEC 0 0 Fz 为平行四边形 1 AEC F 62 62 2 4 2 2 0 0 2 2 0 2 0 2 1 1 的长为即于是 得由 为平行四边形由 BFBF EF Fz zECAF FAEC II 设为平面的法向量 1 n 1 AEC F 1 11 yxnADFn 故可设不垂直于平面显然 0202 0140 0 0 1 1 yx yx AFn AEn 得由 4 1 1 022 014 y x x y 即 的夹角为 则 111 3 0 0 nCCCC与设又 33 334 1 16 1 13 3 cos 11 11 nCC nCC 到平面的距离为C 1 AEC F 11 334 33 334 3cos 1 CCd 5 如图 在长方体 中 点在棱上移 1111 ABCDABC D 1 1 2ADAAAB EAD 动 1 证明 11 D EAD 2 当为的中点时 求点到面的距离 EABE 1 ACD 3 等于何值时 二面角的大小为 AE 1 DECD 4 解 以为坐标原点 直线分别为轴 建立空间直角坐标系 设D 1 DA DC DD x y z 则AEx 11 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 2 0 ADExAC 1 0 1 1 1 0 1 1111 EDDAxEDDA 所以因为 2 因为为的中点 则 从而 EAB 1 1 0 E 0 2 1 1 1 1 1 ACED 设平面的法向量为 则 1 0 1 1 AD 1 ACD cban 0 0 1 ADn ACn 也即 得 从而 所以点到平面的距离 0 02 ca ba ca ba2 2 1 2 nE 1 ACD 为 3 1 3 212 1 n nED h 3 设平面的法向量 1 D EC cban 1 0 0 1 2 0 0 2 1 11 DDCDxCE 由 令 0 2 02 0 0 1 xba cb CEn CDn 1 2 2bcax 2 1 2 xn 依题意 2 2 5 2 2 2 2 4 cos 2 1 1 xDDn DDn 不合 舍去 32 1 x32 2 x 时 二面角的大小为 23AE 1 DECD 4 6 如图 在三棱柱中 侧面 为棱上异于的一 111 ABCABC AB 11 BBC CE 1 CC 1 C C 点 已知 求 1 EAEB 11 2 2 1 3 ABBBBCBCC 异面直线与的距离 AB 1 EB 二面角的平面角的正切值 11 AEBA 解 I 以为原点 分别为轴建立空间直角坐标系 B 1 BBBA y z 由于 11 2 2 1 3 ABBBBCBCC 在三棱柱中有 111 ABCABC 1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 BAB 0 2 3 2 3 0 2 1 2 3 1 CC 设即得由 0 0 2 3 11 EBEAEBEAaE 0 2 2 3 2 2 3 0aa 4 3 2 2 4 3 2 aaaa 0 4 3 4 3 0 2 3 2 3 0 2 1 2 3 0 2 1 2 3 2 3 2 1 0 2 3 2 1 11 EBBEEBBE Eaaaa 即 故舍去或即得 又侧面 故 因此是异面直线的公垂线 AB 11 BBC CABBE BE 1 AB EB 则 故异面直线的距离为 1 4 1 4 3 BE 1 AB EB1 II 由已知有故二面角的平面角的大小为向 1111 EBABEBEA 11 AEBA 量的夹角 EAAB与 11 2 2 tan 3 2 cos 2 2 1 2 3 2 0 0 11 11 11 即 故 因 ABEA ABEA EABAAB 7 如图 在四棱锥中 底面为矩形 底面 是PABCD ABCDPD ABCDE 上AB 一点 已知PFEC 2 1 2 2 AECDPD 求 异面直线与的距离 PDEC 二面角的大小 EPCD 解 以为原点 分别为DDADCDP 轴建立空间直角坐标系 x y z 由已知可得 0 0 0 0 0 2 0 2 0 DPC 设 0 2 0 0 0 xBxxA则 由 0 2 3 2 2 1 0 2 1 xCExPExE0 CEPECEPE得 即 由 2 3 0 4 3 2 xx故CEDECEDE 得0 0 2 3 2 3 0 2 1 2 3 又 故是异面直线与的公垂线 易得 故异面直线PDDE DEPDCE1 DE 的距离为 PDCE1 作 可设 由得DGPC 0 Gy z0 PCDG0 2 2 0 0 zy 即作于 设 2 1 0 2