常微分方程答案-一二章

习题习题 1 2 4 给定一阶微分方程 2 dy x dx 1 求出它的通解 2 求通过点的特解 1 4 3 求出与直线相切的解 23yx 4 求出满足条件的解 1 0 2ydx 5 绘出 2 3 4 中的解得图形 解 1 通解显然为 2 yxc c 2 把代入得 故通过点的特解为 1 4xy 2 yxc 3c 1 4 2 3yx 3 因为所求直线与直线相切 所以只有唯一解 即23yx 2 23 yxc yx 只有唯一实根 从而 故与直线相切的解是 2 23xcx 4c 23yx 2 4yx 4 把代入即得 故满足条件的解是 2 yxc 1 0 2ydx 5 3c 1 0 2ydx 2 5 3yx 5 图形如下 1 5 1 0 500 511 5 1 2 3 4 5 6 7 y x2 4 y x2 3 y x2 5 3 5 求下列两个微分方程的公共解 24242 2 2yyxxyxxxyy 解 由可得 24242 22yxxxxxyy 22 2210yxxy 所以或 代入原微分方程满足 而代入原 2 yx 2 1 2yx 2 yx 2 1 2yx 微分方程不满足 故所求公共解是代入原微分方程不满足 6 求微分方程的直线积分曲线 2 0yxyy 解 设所求直线积分曲线是 则将其代入原微分方程可得ykxb 2 2 0 001 0 kb kxkkxbkbkb kk 或 所以所求直线积分曲线是或 0y 1yx 8 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程 2 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长 l 5 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方 解 因为过点的切线的横截距和纵截距分别为和 故 x y y x y y xy 2 2 2 2 y xyxyl y 5 2 yxyx 习题习题 2 1 1 求下列方程的解 2 并求满足初值条件的特解 2 10y dxxdy 0 1xy 解 当 分离变量 得0y 2 11 1 dydx yx 两边同时积分 得 11 ln1 ln1 xcy yxc 又也是原方程的解 故的通解是0y 2 10y dxxdy 1 ln1 0 c xcy 由初值条件可得 故所求特解是 0 1xy 1c 1 ln 11 y x 4 1 1 0 x ydxy xdy 解 当 分离变量 得0y 11yx dydx yx 两边同时积分 得 lnlnlnxxyycxyxyc 又也是原方程的解 故所求通解是0y 和 0y ln xyxyc c 5 0yx dyxy dx 解 原方程可化为 1 1 y dyyx x y dxyx x 令 则 y u x 2 111 11 duuu uxdudx dxuux 两边同时积分 得 2 1 arctanln 1 ln 2 uuxc 将代入 得所求通解是 y u x 22 1 arctanln 2 y xyc c x 6 22 0 dy xyxy dx 解 原方程可化为 2 22 1 yxydyyy dxxxx 令 则 y u x MERGEFORMAT 1 2 2 1 1 duduu uxuu dxdxx 当 分离变量 得 2 10u 2 1 dudx x u 两边同时积分 得 arctanlnuxc 又 即也是 MERGEFORMAT 1 的解 故 2 10u 2 1u MERGEFORMAT 1 的通解是和 2 1u arctanlnuxc 将代入 得原方程的通解是 y u x 和 22 yx arctanln y xc c x 7 tancot0ydxxdy 解 当 分离变量 得tan0y cottanydyxdx 两边同时积分 得 1 1 ln sinln cossincos 0 c yxcyxc ce 又 即也是原方程的解 而该解可在中令得tan0y sin0y sincosyxc 0c 到 故所求通解是 sincos yxc c 8 2 3 0 yx dye dxy 解 分离变量 得 2 3x y e yedy dx 两边同时积分 得所求通解是 即 2 3 1 1 23 x y e ec 2 3 1 23 6 xy eec cc 9 lnln 0 xxy dyydx 解 原方程可化为 1 ln lnln dyyyy dxxxyxx 令 则 y u x MERGEFORMAT 2 ln1 lnln uuduudu ux dxudxxu 当 分离变量 得 ln10uu lnlnln ln1ln1 uduududxdx uuxux 两边同时积分 得 MERGEFORMAT 3 1 1 lnlnln1 0 ln1 c u xcucxu ce u 由原方程可得 从而 又 即也是 0y 0u ln10uu ln1u MERGEFORMAT 2 的解 而该解可在 MERGEFORMAT 3 中令得到 0c 故 MERGEFORMAT 2 的通解是 将代入 得原方程ln1 ucxu c y u x 的通解是 ln1 y cy c x 10 x y dy e dx 解 分离变量 得 yx e dye dx 两边同时积分 得所求通解是 yx eec c 2 作适当的变量变换求解下列方程 1 2dy xy dx 解 令 则原方程化为uxy 2 2 11 1 dudydu udx dxdxu 两边同时积分 得 arctan uxc c 将代入 得原方程的通解是uxy 即 arctan xyxc c tan yxcx c 3 21 21 dyxy dxxy 解 因为 210 11 21033 xy xy xy 令 则原方程化为 11 33 XxYy 2 2 dYXY dXXY 再令 得 Y u X 2 1 22 1 22 1 u duduudX uX dXuXuu 两边同时积分 得 1 222 122 ln12ln1 0 c uuXcXuuc ce 将代入 得原方程的通解是 11 33 Y uXxYy X 22 2 1 31 3xyxyxyc cc 7 yyyx xxyx dx dy 32 3 23 32 解 原方程可化为 22 222 231 321 dyxy dxxy 令 则原方程化为 22 1 1XxYy 23 32 dYXY dXXY 再令 得 Y u X 2 2 1 23 3232 u duudu uX dXudXXu 用分离变量法求解 得 5 4 11c uXu 将代入 得原方程的通解是 22 1 1 Y uXxYy X 5 2222 2 c xyxyc 习题习题 2 2 1 求下列方程的解 5 2 1 2 10 dyx y dxx 解 原方程可化为 MERGEFORMAT 4 2 21 1 dyx y dxx 对应的齐次方程为 用变量分离法求得其解为 令 2 1 2dyx y dxx 2 1 x ycx e MERGEFORMAT 4 的解为 则将其代入 MERGEFORMAT 4 2 1 x yc x x e 可得 2 11 1 xx dc x x ec xec dx 所以原方程的通解为 12 122 1 xxx yec x excx ec 8 3 dyy dxxy 解 当时 原方程可化为 0y MERGEFORMAT 5 3 2 dxxyx y dyyy 这是未知函数为的非齐次线性方程 对应的齐次方程为 用变量分离x dxx dyy 法求得其解为 令 MERGEFORMAT 5 的解为 则将其代入xcy xc y y MERGEFORMAT 5 可得 22 1 2 dc y yyc yyc dy 所以 MERGEFORMAT 5 的通解为 2 1 2 xyycc 又也是原方程的解 故原方程的通解为0y 和 0y 2 1 2 xyycc 12 ln2 yxydxxdy 解 原方程可化为 MERGEFORMAT 6 2 ln2dyx yy dxxx 这是的 Bernoulli 方程 当时 MERGEFORMAT 6 两边同时除以2n 0y 得 2 y 21 2lndyx yy dxxx 令 则 1 zy MERGEFORMAT 7 2 2lndzdyx yz dxdxxx 其对应的齐次方程的解为 令 MERGEFORMAT 7 的解为 2dz z dxx 2 zcx 则将其代入 MERGEFORMAT 7 可得 2 zc x x 222 ln 2ln4 dc xx xc xcxxx dxx 所以 MERGEFORMAT 7 的通解为 2 2ln14 zcxxc 将代入 得 又也是原方程的解 故原方程的 1 zy 2 2ln14y cxx 0y 通解为 和 0y 2 2ln14 y cxxc 13 2 2 2 xydyyx dx 解 原方程可化为 MERGEFORMAT 8 2 21 22 dyyxy dxxyxy 这是的 Bernoulli 方程 MERGEFORMAT 8 两边同时乘以 得1n y 2 1 2 dyy y dxx 令 则 2 zy MERGEFORMAT 9 2 1 dzdyz y dxdxx 2 其对应的齐次方程的解为 令 MERGEFORMAT 9 的解为 2dzz dxx 2 zcx 则将其代入 MERGEFORMAT 9 可得 2 zc x x 2 1 1 dc x xc xc dxx 所以 MERGEFORMAT 9 的通解为 22 1 zcxcxx c x 将代入 得原方程的通解为 2 zy 22 ycxx c 16 0 x x yey t dt 解 原方程两边同时对求导可得x x dy ey x dx 在原方程中 当时 故原方程等价于 Cauchy 问题0 x 1y MERGEFORMAT 10 01 x dy ey dx y 由常数变易法易得的通解为 再由可得 x dy ey dx x yexcc 01y 故 Cauchy 问题 MERGEFORMAT 10 的解为 这也是原方1c 1 x yex 程的解 习题习题 2 3 1 验证下列方程是恰当方程 并求出方程的解 2 0 4 3 2 dyxydxxy 解 因为 所以 2 3 4 MyxNyx 1 1 MN yx 故原方程是恰当方程 令函数满足 则由可得u uu MN xy u M x 23 3uyxdxyxyxy 再由可得 u N y 2 4 2 dy xyxyy dy 所以 故原方程的通解是 32 2uxyxy 32 2 xyxyc c 2 0 2 3 23 2 2232 dyyyxdxxxy 解 因为 所以 2322 2 32 3 2 MxyxNx yy 12 12 MN xyxy yx 故原方程是恰当方程 令函数满足 则由可得u uu MN xy u M x 23224 2 323uxyxdxyx yxy 再由可得 u N y 2223 63 2 dy x yx yyyy dy 所以 故原方程的通解是 2243 3ux yxy 2243 3 x yxyc c 2 求下列方程的解 4 22 ydxxdyxydx 解 原方程两边同时除以 得 22 xy 22 arctan ydxxdyx dxddx xyy 所以原方程的通解是 arctan x xc c y 6 01 xdydxxyy 解 因为 所以原方程不是恰当的 由 1 1 1 MN MyxyNxx yx 1 1 dx x MN yx ee N 可得积分因子 原方程两边同时乘以 得 x e 0 xxxx ye dxe dxxye dxxe dy 即 0 xxx yd xedexe dy 所以 xx xyeec 故原方程的通解是 x xyce c 8 02 xdydxyx 解 因为 所以原方程不是恰当的 由2 2 1 MN Mxy Nx yx 1 1 dx x MN yx ex Nx 可得积分因子 原方程两边同时乘以 得x 22 20 x dxxydxx dy 即 322 1 0 3 dxydxx dy 所以 32 1 3 xx yc c 此即为原方程的通解 5 试证齐次微分方程当时有积分因子 0 dyyxNdxyxM0 xMyN 1 xMyN 证明 齐次微分方程两边同时乘以得 0 dyyxNdxyxM 0M x y dxN x y dy 所以 2 2 MMN xMyNMxNy MyyyM yyxMyN xMyN MN yNMNyM yy xMyN 2 2 NMN xMyNN Mxy NN xxx xxxMyN xMyN NM xMMNxN xx xMyN 原方程可化为 因为原方程是齐次方程 故可设 M x ydy dxN x y M x ydyy g dxN x yx 令 则 y u x 2 1 gdg duy dggdg dudg xdu dxx duydu dyx du 又因为 2 1 M x ygMN NM xxN x yNxx 2 1 M x ygMN NM yyN x yNyy 所以 2 222 1y dgMNMNy dg NMNMN x duNxxxxx du 2 2 111dgMNMNdg NMNMN x duNyyyyx du 从而 22 2 22 2 2 1 0 MN NM yNMNyM xMMNxN MN yy xx yx xMyNxMyN MNNM y NMx MN yyxx xMyN dgy dg yNxN x dux du xMyN 故是齐次微分方程当时的积 1 xMyN 0 dyyxNdxyxM0 xMyN 分因子 习题习题 2 4 1 求解下列方程 1 yyx 1 3 解 当时 原方程可化为0y 32 11 x yy 令 则 两边对求导 得p y 32 11 x pp y 43 132dp pppdy 即 322 3232 2 dydpyc pppp 又时 原方程恒不成立 所以原方程的参数形式的通解是0y 32 2 11 32 2 x pp pc yc pp 为参数 3 y eyy 2 解 令 则 两边对求导 得p y 2p yp e x 2 2 pp dp ppep e dx 所以 000pyy 代入原方程 或 121 pp dp p exp ec dx 所以原方程的通解是 和 0y 2 1 p p xp ec pc yy e 为参数 习题习题 2 5 1 求解下列方程 3 4sin1 y dy ex dx 解 原方程两边同时乘以 得 y e 4sin4sin y yyy dyde exexe dxdx 令 则 y ue 4sin du xu dx 用常数变易法易得其解为 故原方程的通解为 2 sincos xx uxx ece 2 sincos yxx exx ecec 11 2 1 3 dyxy dxxy 解 原方程可化为 2 130 xydxxydy 由可得 这是一个恰当方程 即 2 3 1 1 1 xy xy yx 223 11 3030 23 xdxydxdxxdyy dydydxdxydxdydy 所以原方程通解为 23 11 3 23 xxyxyyc c 19 2 240 dydy xyx dxdx 解 令 则由原方程可得 故原方程可化为p y 0p MERGEFORMAT 11 2 42 22 xpxxx yp pp 两边对求导 得x 22 22212 2222 px dpx dppdp px dxpp dxppdx 所以 2 022 2 p pyx p 代入 11 或 2 12 1 0 2 x dp pcxycxc p dxc 代入 11 又时 原方程恒不成立 所以原方程的参数形式的通解是0y 和 2yx 2 12 0 2 ycxc c 29 xy dyy e dxx 解 令 则 故uxy dudy yx dxdx 2 2 1 2 uuuu duuu x exee duxdxexc dxxx 所以原方程通解为 2 1 2 xy xec c 习题习题 3 1 1 求方程通过点 0 0 的第三次近似解 2 dy xy dx 解 令 则 2 f x yxy 00 0 xy 0 2 100 0 1 2 xx x xyf xxdxxdxx 0 2 25 201 0 111 2220 xx x xyf xxdxxxdxxx 0 302 2 2525811 0 111111 2202201604400 x x x xyf xxdx xxxdxxxxx 为所求的第三次近似解 3 求初值问题 MERGEFORMAT 1 22 11 1 10 dy xyRxy dx y 的解的存在区间 并求第二次近似解 给出在解的存在空间的误差估计 解 因为 所以 22 f x yxy 1ab max 4 x yR Mf x y 从而解得存在区间为 即 1 min 4 b ha M 1 1 4 x 53 44 x 又因为在上连续 且由可得 22 f x yxy R22fyyL 在上关于满足 Lipschitz 条件 所以 Cauchy 问题 MERGEFORMAT 1 在 f x yRy 有唯一解 53 44 x yx 令 则 00 0 xy 0 23 100 1 1 1 3 xx x xyf xxdxx dxx 0 2 347 23 201 1 111 1 342931863 xx x xxxx xyf xxdxxxdx 误差为 3 2 1 2 1 24 LhM xx L 10 给定积分方程 b a xf xK xd 其中是上的已知连续函数 是 上的已知 f x a b K x axb ab 连续函数 证明当足够小时 是常数 在上存在唯一的连续解 a b 证明 分四个步骤来证明 构造逐步逼近函数序列 0 xf x 1 0 1 2 b nn a xf xK xdn 由是上的连续函数可得在上连续 故再由是 f x a b 0 x a b K x 上的连续函数可得在上连续 由数学归纳法易证axb ab 1 x a b 在上连续 n x a b 证明函数列在上一致收敛 n x a b 考虑级数 MERGEFORMAT 01 1 kk k xxxxa b 2 由 01 1 n kkn k xxxx 知 的一致收敛性与级数 MERGEFORMAT 2 的一致收敛性等价 n x 令 由 MERGEFORMAT 2 max a x b Mf x max a x b ab LbaK x 有 10 max max b a b a b aa x bab ab xxK xfd K xfd K xfdML 所以 2110 10 2 b a b a b a xxK xd K xd MLK xdML 假设对正整数 有不等式n MERGEFORMAT 3 1 n nn xxMLxa b 则 11 1 1 b nnnn a b nn a b nn a xxK xd K xd MLK xdMLxa b 所以 MERGEFORMAT 3 对任意正整数都成立 n 因为为正项级数 且当足够小时 1 n n ML MERGEFORMAT 4 max 1 a x b ab LbaK x 故收敛 从而由 Weierstrass 判别法 级数一致收敛 1 n n ML 1 1 kk k xx 故级数 MERGEFORMAT 2 一致收敛 所以函数列在上一致收 n x a b 敛 证明是积分方程 在上的连续解 lim n n xx a b 因为由 和 可得在上连续 在上一致收敛 故 n x a b n x a b 在上连续 且函数列在上一致收敛 所以对 x a b n K xx a b 1 b nn a xf xK xd 两边取极限可得 1 limlim lim b nn ann b n an xf xK xd f xK xd 从而 b a xf xK xd 所以是积分方程 在上的连续解 x a b 证明是积分方程 在上的唯一解 x a b 设是积分方程 在上的另一连续解 则 x a b b a xf xK xd 令 则 g xxx max max b a b a b aa x b a x b g xK xd K xd xxK xd Lg x 对都成立 上式两边对取最大值可得 xa b x maxmax a x ba x b g xLg x 如果 则由上式有 max0 a x b g x 1L 这与 MERGEFORMAT 4 矛盾 故 即 所以 max0 a x b g x 0g x 从而是积分方程 在上的唯一解 xx x a b 证毕 习题习题 3 2 1 求 MERGEFORMAT 1 2 1 00 dy yx dxx yG y y 的解的存在区间及延拓解的饱和区间 解 对任意充分大的 令 则在上连续且关于 a b xa R yb 2 1f x yy R 满足 Lipschitz 条件 故 MERGEFORMAT 1 存在唯一解 由可得y 2 1 00 dy y dx y 解的存在区间为 由于充分大 故存tanyx xh 2 min 1 b ha b a b 在充分小的 使得 MERGEFORMAT 1 的解的存在区间为 0 x 由于在上连续和关于满足局部 Lipschitz 条件 故解 2 1f x yy Gy 可延拓 tanyx x 又当时 时 故由推论 2x tan x 2x tan x 延拓解的饱和区间为 22x 习题习题 4 1 3 已知齐次线性微分方程的基本解组 求下列方程对应的非齐次线性微分 12 x x 方程的通解 2 12 1 1 11 t t xxxtxt xe tt 解 令所求通解为 12 t x tc t tct e 则 12 111 222 12 0 1 1 1 t tt t c t tct e c tc tt cttectte c t tctet 所以 所求通解为 2 12 1 t x ttett 5 22 12 634 lnt xtxxttxt xtt 解 令所求通解为 22 2 6 63434 xx t xtxxttx ttt 12 lnx tc t tct tt 则 121 12 2 2 11 22 6 ln0ln34 6 ln346 34 34 1 ln3ln 346ln c t tct ttc tt t c t tcttt ct t t c tttt cttt 所以 所求通解为 22 12 ln343 lnx ttttttt 4 已知方程有基本解组为 试求此方程适合初值条件 2 2 0 d x x dt tt ee 01 00 x x 及 00 01x x 的基本解组 称为标准基本解组 即有 并由此求出方程的适合初值 01W 条件 00 0 0 xxxx 的解 解 因为是方程的基本解组 故的通解为 tt ee 2 2 0 d x x dt 2 2 0 d x x dt 1212 tt x tc ec ec c 由可得 01 00 x x 12 12 12 1 11 ch 022 tt cc ccx teet cc 由可得 00 01x x 12 12 12 0 111 sh 1222 tt cc ccx teet cc 又和线性无关 所以适合初值条件及chtsht 2 2 0 d x x dt 01 00 x x 的基本解组为 从而 的通解又可表示为 00 01x x chtsht 2 2 0 d x x dt 1212 chsh x tctctc c 故由可得 于是适合初值条件 00 0 0 xx xx 1020 cx c x 的解为 00 0 0 xx xx 00 chshx txtxt 习题习题 4 2 2 求解下列常系数线性微分方程 1 4 540 xxx 解 特征方程 42 540 特征根 1234 2211 基本解组 22 tttt eee e 所求通解 22 1234 1 2 3 4 tttt i xc ec ec ec eci 2 23 330 xaxa xa x 解 特征方程 033 3223 aaa 特征根 1 2 3 a 基本解组 2 atatat etet e 所求通解 2 123 1 2 3 at i xcc tc teci 3 5 40 x x 解 特征方程 04 35 特征根 1 2 345 022 基本解组 222 1 tt t tee 所求通解 222 12345 1 2 3 4 5 tt i xcc tc tc ec eci 4 0 xxx 解 特征方程 01 2 特征根 1 2 13 2 i 基本解组 11 22 33 cos sin 22 tt etet 所求通解 11 22 12 33 cossin 1 2 22 tt i xc etc et ci 5 属于类型 2 1sa st 解 齐次方程 2 0sa s 特征方程 0 22 a 特征根 12 aa 当 齐次方程通解 此时 0 不是特征根 0a 12 1 2 atat i sc ec eci 故设特解为 将其代入原方程可得 从而特解为sAtB 2 1 a BA 所以所求通解 2 1 1st a 12 2 1 1 1 2 atat i sc ec etci a 当 0 是二重特征根 故齐次方程通解 设0a 12 1 2 i scc t ci 特解为 则将其代入原方程可得 从而特解为 2 stAtB 11 62 AB 所以所求通解 2 11 62 stt 2 12 11 1 2 62 i scc tttci 6 属于类型 45223xxxxt 解 齐次方程 4520 xxxx 特征方程 0254 23 特征根 1 23 1 2 齐次方程通解 2 123 1 2 3 tt i xcc t ec eci 0 不是特征根 故设特解为 将其代入原方程可得 xAtB 1 4AB 从而特解为 所以所求通解 4xt 2 123 4 1 2 3 tt i xcc t ec etci 7 属于类型 4 2 23xxxt 解 齐次方程 4 20 xxx 特征方程 42 210 特征根 1 23 4 1 1 齐次方程通解 1234 1 2 3 4 tt i xcc t ecc t eci 方法一 常数变易法求解 设原方程通解为 则 1234 tttt xc t ect tect ect te 1234 1 1234 2 3 1234 4 2 1234 0 0 0 3 tttt tttt tttt tttt c t ect tect ect te c t c tecttectectte ct ct c tecttectectte ct c tecttectecttet 1 2 3 4 c t ct ct ct 所以将代入中即得原方 1 2 3 4 i c ti 1234 tttt xc t ect tect ect te 程通解 2 1234 1 1 2 3 4 tt i xcc t ecc t etci 方法二 比较系数法求解 由于 0 不是特征根 故设特解为 将其代入原方程可得 2 xAtBtC 从而特解为 所以所求通解 1 0 1ABC 2 1xt 2 1234 1 1 2 3 4 tt i xcc t ecc t etci 10 属于类型 t xxe 解 齐次方程 0 xx 特征方程 01 3 特征根 1 23 13 1 2 i 齐次方程通解 11 22 123 33 cossin 1 2 3 22 tt t i xc etc etc e ci 由于 1 是一重特征根 故设特解为 将其代入原方程可得 t xAte 1 3 A 从而特解为 所以所求通解 1 3 t xte 11 22 123 331 cossin 1 2 3 223 tt tt i xc etc etc ete ci 12 属于类型 t exxx 2 56 解 齐次方程 650 xxx 特征方程 056 2 特征根 12 1 5 齐次方程通解 5 12 1 2 tt i xc ec eci 由于 2 不是特征根 故设特解为 将其代入原方程可得 从 2t xAe 1 21 A 而特解为 所以所求通解 1 21 t xe 5 12 1 1 2 21 ttt i xc ec ee ci 14 属于类型 的混合 注意和中 的系数ttxx2cossi