球面距离公式(武功晓)

1 球面距离公式球面距离公式 西盟一中 武功晓 邮编 665700 内容摘要 揭示球面上两点距离计算的简便的统一公式 关键词 球面 距离 统一 公式 球面距离一直是困扰高中数学老师和地理老师进行教学的一个难 点 概念多 公式多 计算复杂 难得记忆 本人试图用一个统一的公 式加以解决 为了说明公式的优越 现从以下几个方面加以总结 一 地理知识 1 概念 纬线 在地球仪上 顺着东西方向环绕地球一周的圆圈 经线 在地球仪上 连接南北两极并与纬线垂直相交的线 2 经度和纬度的比较 经度纬度 定义 两面角 即该点所在经线平面 与本初子午线平面间的夹角 线面角 即该点与地心的连线 与赤道平面之间的夹角 0 起算点 本初子午线 0 经线 赤道 0 纬线 划分方法 以 0 经线为界 向东 西各划 分 180 0 经线以东为东经度 以 西为西经度 以 0 纬线为界 向南 向北各 划分 90 0 纬线以北为北纬度 以 南为南纬度 代号 东经 E 西经 W 南纬 S 北纬 N 分布规律 东经度的度数愈向东愈大西 经度的度数愈向西愈大 北纬的度数愈向北愈大 南纬 的度数愈向南愈大 半球的划分 以 20 W 和 160 E 为界 20 W 向东到 116 为东半球 20 W 向西到 116 为西半球 以赤道为界 赤道以北为北半球 赤道以南为南半球 2 3 方格状经纬网图 1 横线代表纬线 纵线代表经线 2 纬度数由南向北增大的为北纬 由北向南增大的为南纬 经度 数由西向东增大的为东经 由东向西增大的为西经 4 球面距离 在地球表面上 两地间的最短距离是通过两点的球 面大圆的劣弧段 二 地理学科中球面距离的计算 利用经纬网求地球上的两点距离 1 同一经线上的两点 其经度差为 距离为 111 千米 180 R 单位为 0 2 同一纬线上的两点 纬度为 4 其经度差为 则其距离为 cos 与 的单位为 0 180 R 111 千米 cos 60 40 20 0 20 40 60 60 40 20 0 20 40 60 3 3 两点经度和纬度均不同 计算两点间距离时要进行估算 若两 点经度和纬度均相差较大 则要分别算出两点在经线 纬线方向上的 距离 再用勾股定理计算 若两点经度和纬度有一项相差较小 则先假 设两点的经度相同或纬度相同 然后再根据实际情况扩大或缩小 另 外也可以先算出比例尺 进而算出两点间的距离 例 1 地球上北纬 30 圈上有 A B 两点 又 A 在两经 10 B 在东 经 110 球 A B 两点的球面距离 设地球半径 R 6371km 略解 由已知 30 120 AB 111 cos30 120 11535 46 km 例 2 若 A 地在东经 36 北纬 34 B 地在东经 48 北纬 29 球 A B 两地的球面距离 略解 两点既不在同一纬线上 也不在同一经线上 若不考虑地球 球面的影响 两点间的直线距离可 由色股定理求出 如图一 在南北方向上 两点相差 5 个 纬度 其距离为 AC 115 5 555 千米 在东西方向上 两地相差 12 个经度 其距离为 BC 12 111 cos30 1150 千米 由此可计算出 A B 两地的距离约为 AB 1276 92 千米 22 BCAC 三 数学学科中球面距离的计算 设球面上两点间的球心角为 弧度 球半径为 R 则球面上两点 距离为 R 计算球面距离关键是确定球心角 1 两点在同经线圆上 可直接计算两点间劣弧长度 48 E 34 N B 29 N C A36 E 图一 4 图二 图三 此时 A B 两点在同一大圆上 而大圆半径为 R 若 A B 在同一 半球 图二 则 为纬度差 若 A B 在不同半球上 图三 则 为纬度和 此时 AB R 为 AOB 的弧度数 2 两点在同一纬线圆上 先求弦长 由余弦定理求球心角 因为两点 A B 在同一纬度圈上 所以可求出纬度圈小圆半径 O1A 为小圆两半径 O1A O1B 的夹角 图四 O O1 B A 图四 若 A B 在同一半球 则 为经度差 若 A B 在不同半球 则 为 经度和 此时 A B 在纬度圈上的弦长 AB cos BO A O2BOAO 11 2 1 2 1 求 A B 的球面距离 关键在于求 AOB 由余弦定理求出 AOB 此时 AB R 是 AOB 的弧度数 AB 指球面距离 3 两点经纬都不同时 用异向直线上两点距离公式 O 0 B A R O 0 B A R B 5 l2 m2 n2 d2 2mncos 求弦长 再由余弦定理求球心角 A1 O O1 A O2 B 图五 由已知可求出 O1 O2的半径 r1 r2及 O1O2的长 O1O2 O1 O1O2 O2 O1O2 O1A 且 O1O2 O2B 即 O1O2为两异面直线的公垂线段 d A B 分别在两异面直线上 且分别到公垂线的距离为 r1 r2 则 AB2 d2 r 2 1 r 2 2 2r1r2cos 其 中 为两异面直线的夹角 即 A B 两点的经度差或经度和 取 还 是 要看 A B 的位置 前例 1 略解 如图六 由已知 OBO1 30 AO1B 120 且 O1B 在 O1AB 中 有 AB2 AO 2 1 BO 2 R 2 3 1 2AO1 BO1 cos120 AB R 2 3 在 AOB 中 cos AOB 8 1 OB OA 2 ABOBOA 222 AOB 0 992197667 弧度 6 AB 10806 km 前例 2 略解 O O1 A B A1 O O1 A O2 B 如图六 如图七 A 在北纬 34 圈上 OO1 Rsin34 O1A Rcos34 5281 8 B 在北纬 29 圈上 O2B Rcos29 5572 2 O2O Rsin29 O1O2 OO1 OO2 R sin34 sin29 473 9 A B 分别在东经 36 48 A1O2B 12 AB2 O2O1 2 AO1 2 O2B 2 2 AO1 O2B cos12 1595470 5 cos AOB 0 98034633 OB OA 2 ABOBOA 222 AOB 0 198596921 弧度 AB 1265 197278 km 7 四 统一的球面距离公式 A A 0 度 度 y x z C O A B 图八 如果球 O 的半径为 R 球面上两点 A B 的经度分别为 A B 纬 度分别为 A B 那么 A B 两点间的球面距离为 AB Rarc cos sin A sin B cos A cos Bcos A B 公式的证明 以赤道面为 xoy 坐标平面 O 经线所在平面为 xoz 坐标平面 球心 O 为坐标原点 建立空间直角坐标系 O xyz 如图八 则点 A 的坐标 A Rcos A cos A Rcos A sin A Rsin A 同理点 B 的坐标 B Rcos B cos B Rcos B sin B Rsin B Cos OAOB OBOA OBOA sin sin sin cos sin sin cos cos sinsinsincossincoscoscoscos cos 2222222222 2 BBBBAAAA BABBAABBAA RR R sin sin cos A cos Bcos A B A B AB Rarc cos sin A sin B cos A cos B cos A B 此式对 A B 两点处于球面上任何位置都成立 由点在空间直角 坐标系中不同卦限的点的坐标正负不同 公式中的 A B A B都是 有向角 东经经度为正 西经经度为负 北纬纬度为正 南纬纬度为负 特别地 1 若 A B 在同一经线上 则 A B 8 AB Rarc cos cos A B 2 若 A B 在同一纬线上 则 A B AB Rarc cos sin2 A cos2 A cos A B 前例 1 略解 A B 30 A 10 B 110 AB Rarc cos sin30 sin30 cos30 cos30 cos 120 R