1982年全国统一高考数学试卷(文科).doc

1982年全国统一高考数学试卷（文科）一、填空题（共2小题，1小题8分，2小题7分满分20分）1（8分）填表：2（7分）填表：二、解答题（共7小题，满分85分）3（10分）求（1+i）20展开式中第15项的数值；4（10分）已知，求x2y2的值5（10分）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图），已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？6（12分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，（1）用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的体积；（2）求A1B和B1C所成的角7（12分）已知定点A，B且AB=2a，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线8（15分）求tan9+cot117tan243cot351的值9（16分）如图，已知AOB中，OA=b，OB=a，AOB=（ab，是锐角），作AB1OB，B1A1BA；再作A1B2OB，B2A2BA；如此无限连续作下去，设ABB1，A1B1B2，的面积为S1，S2，求无穷数列S1，S2，的和1982年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共2小题，1小题8分，2小题7分满分20分）1（8分）填表：考点：函数的定义域及其求法专题：压轴题分析：分别按各自函数的定义和性质直接填空即可解答：解：由题意依据函数的定义和性质，直接填表：点评：本题考查各类函数的定义和性质，是基础题，考查基础知识的记忆2（7分）填表：考点：椭圆的定义；直线的一般式方程专题：压轴题；图表型分析：将方程4x2+y2=4转化为标准方程可知，该曲线为焦点在y轴的椭圆，而x3=0则表示垂直于x轴的直线，作出其图象即可解答：解：如图点评：本题考查了直线和椭圆的方程，注意要将椭圆方程化为标准形式，并判断其焦点所处的位置二、解答题（共7小题，满分85分）3（10分）求（1+i）20展开式中第15项的数值；考点：二项式定理专题：计算题分析：利用二项展开式的通项公式求出第15项，利用虚数单位的平方为1及组合数公式化简此项解答：解：第15项T15=C2014（1）6（i）14=C206=38760点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题4（10分）已知，求x2y2的值考点：有理数指数幂的化简求值专题：计算题分析：分别求出（xy）2和（xy）2的值，然后利用完全平方公式能够导出x2y2的值解答：解：，即，得，点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，解题时要注意完全平方公式的合理运用5（10分）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图），已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？考点：函数的最值及其几何意义专题：应用题分析：由题意设长方形场地的宽为x，则长为L3x，表示出面积y，然后对其进行配方求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解解答：解：设长方形场地的宽为x，则长为L3x，它的面积y=x（L3x）=3x2+Lx=当宽时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为，最大面积为点评：此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用配方法，这也是高考常考的方法6（12分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，（1）用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的体积；（2）求A1B和B1C所成的角考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题；转化思想分析：（1）先求出截下部分体积，剩余部分体积=正方体的体积截下部分体积，从而得出结果（2）连接D1C和D1B1，将A1B平移到D1C，再利用中位线进行平移，使两条异面直线移到同一点，得到A1B与B1C所成的角，再在等边三角形D1CB1求之即可解答：解：（1）BB1平面A1B1C1D1，A1B1C1是棱锥BA1B1C1的底，BB1是棱锥的高，A1B1C1的面积=，截下部分体积=的面积=，正方体体积=a3，剩余部分体积=a3（2）连接D1C和D1B1，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C，B1CD1即A1B与B1C所成的角，正方体各面上对角线的长度相等，即D1B1=B1C=D1C，D1CB1是等边三角形D1CB1=60，A1B与B1C成600的角点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，平移法是研究异面直线所成的角的最常用的方法，属于基础题7（12分）已知定点A，B且AB=2a，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线考点：轨迹方程专题：计算题分析：先依据条件建立恰当的直角坐标系，设P为（x，y），依据题中条件：“距离之比”列关于x，y的方程式，化谙即可得点P的轨迹方程解答：解：选取AB所在直线为横轴，从A到B为正方向，以AB中点O为原点，过O作AB的垂线为纵轴，则A为（a，0），B为（a，0），设P为（x，y），（x+a）2+y2=4（xa）2+y2，3x210ax+3y2+3a2=0因为x2，y2两项的系数相等，且缺xy项，所以轨迹的图形是圆点评：求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程8（15分）求tan9+cot117tan243cot351的值考点：运用诱导公式化简求值；二倍角的正弦 专题：压轴题分析：先把角用诱导公式化成锐角，再切化弦，同分化简即可解答：解：原式=tan9tan27cot27+cot9=（tan9+cot9）（tan27+cot27）=点评：本题考查诱导公式，二倍角的正弦公式，和差化积公式，是中档题9（16分）如图，已知AOB中，OA=b，OB=a，AOB=（ab，是锐角），作AB1OB，B1A1BA；再作A1B2OB，B2A2BA；如此无限连续作下去，设ABB1，A1B1B2，的面积为S1，S2，求无穷数列S1，S2，的和考点：等比数列的前n项和 专题：计算题；压轴题分析：首先用a，b，表示出AB1和BB1进而表示出B1AB，进而表示出，发现数列Sn为等比数列，公比为根据其小于1，推断此数列为递缩等比数列进而通过数列Sn的前n项和的极限求得答案解答：解：AB1=bsin，BB1=abcos（对