第6章 IIR数字滤波器的设计大纲

1 第第 6 章章 IIR 数字滤波器的设计数字滤波器的设计 6 1 引言引言 一 数字滤波器的性能要求 一 数字滤波器的性能要求 2 0 2 1 0 1 202020 1202020 t t c c lg e H lg e H e H lg lg e H lg e H e H lg s s j j j j j j c 是通带截止频率 st 是阻带截止频率 二 数字滤波器的设计步骤 二 数字滤波器的设计步骤 1 按照实际需要确定滤波器的性能要求 2 用一个因果稳定系统的 H z 或 h n 去逼近这个性能要求 即求 h n 的表达式 确定系数 ak bk或零极点 ck dk 3 用一个有限精度的运算去实现这个系统函数 包括 选择运算结构 如级联型 并 联型 卷积型 频率采样型以及快速卷积 FFT 型等 6 2 IIR 数字滤波器设计数字滤波器设计 一 一 IIR 数字滤波器的设计方法 数字滤波器的设计方法 1 利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器 2 最优化设计法 计算机辅助设计方法 二 二 IIR 数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤 利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器 1 将数字滤波器性能指标转化为模拟低通滤波器的性能指标 2 设计一个合适的模拟滤波器 3 经过变换 冲激响应不变法 双线性变换法 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤 波器 4 经过频率变换 转换成相应的数字滤波器 高通 带通 带阻 三 利用模拟滤波器来设计数字滤波器映射变换的基本要求 三 利用模拟滤波器来设计数字滤波器映射变换的基本要求 1 H z 的频率响应要能模仿 Ha s 的频率响应 也即 S 平面虚轴 j 必须映射到 Z 平面 的单位圆 ej 上 2 因果稳定的 Ha s 应能映射成因果稳定的 H z 也即 S 平面的左半平面 Re s 0 必须映射到 Z 平面单位圆的内部 z 1 1 1 ej H 通通带带 过过渡渡带带 阻阻带带 2 o 1 c st 2 6 3 IIR 模拟低通滤波器的设计模拟低通滤波器的设计 一 由幅度平方函数来确定系统函数一 由幅度平方函数来确定系统函数 jsaaaaa s H s H j H j H j H 2 确定方法 1 s 左半平面的极点一定属于系统函数 Ha s 2 无特殊要求的 可将对称零点的任一半 应为共轭对 取为 Ha s 的零点 3 按照 Ha j 与 a s 的低频特性或高频特性的对比确定出增益常数 二 巴特沃思低通滤波器设计思路 巴特沃思低通滤波器设计思路 巴特沃思幅度平方函数 N c a j H 2 2 1 1 对应系统函数 N c aa j s s H s H 2 1 1 全极点函数 极点为 N k j cc N k e j s 2 12 2 1 2 1 1 取 S 左半平面的极点 构成巴特沃思滤波器的系统函数 N k k N c a ss s H 1 三 巴特沃思低通滤波器设计步骤 巴特沃思低通滤波器设计步骤 1 将数字频率转化为模拟频率 2 确定滤波器阶数 lg lg N s ct 1010 2 110110 12 3 查表求相应的 也可直接求 sHa N N k j ck es 2 12 2 1 4 去归一化频率 时 得1 c c s s c aa s H s H N 四 其它模拟滤波器四 其它模拟滤波器 切比雪夫低通逼近 S平面 j o N 2 N 4 N 8 j a H 21 1 o c 3 j a H c s ChebyI o A1 2 11 1 0 j a H c s ChebyII o 1 0 A1 2 11 C j H cN a 22 2 1 1 需求 N 和 可进行查表求 sHa N 6 4 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器数字滤波器 一 基本原理 一 基本原理 从时域响应出发 使求得的数字滤波器的单位脉冲响应 h n 等于模拟滤波器的单位冲 激响应 h t 的抽样值 二 用冲激响应不变法设计数字滤波器的步骤 二 用冲激响应不变法设计数字滤波器的步骤 sHa tha zH nh Z 1 L nTt 1 将数字频率转化为模拟频率 T 2 确定模拟滤波器 s Ha 3 将 Ha s 进行部分分式展开 N k k k a ss A s H 1 4 对 Ha s 进行拉氏反变换 N k ts ka t ueA t h k 1 5 由 ha t 获得 N k nTs k N k nTs k n u e A nT ueA n h kk 11 6 对 h n 取 Z 变换得 N k Ts k ze A z H k 1 1 1 4 7 系数修正 n j m T j T j H T e H 21 N k 1Ts k ze1 TA z H k 1 三 优缺点 三 优缺点 1 脉冲响应不变法的一个重要特点是频率是线性变换 与 是线性关系 T 2 在某些场合 要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时 如要实现时域 冲激响应的模仿 一般使用脉冲响应不变法 3 如果 Ha s 是稳定的 即其极点在 S 左半平面 映射后得到的 H Z 也是稳定的 4 最大缺点 有频谱周期延拓效应 存在频谱混迭现象 只能用于带限的频响特性 如衰减特性很好的低通或带通 不能用来进行高通和带阻滤波器设计 6 5 双线性变换法设计双线性变换法设计 IIR 数字滤波器数字滤波器 一 基本原理 一 基本原理 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱混迭 这是从 S 平面到 Z 平面的标准变换 z esT 的多值对应关系导致的 为了克服这一缺点 设想建立 S 平面与 Z 平面一一对应的单 值关系 消除多值性 也就消除了混淆现象 变换分为两步 1 将整个 S 平面压缩到 S1平面的一条横带里 令 j s j 1 s1 则得 2 c 1T tan Ts Ts e eTs tanhs 1 1 1 1 c 2 c 1 2 通过标准变换关系将此横带变换到整个 Z 平面上去 S1平面通过以下标准 变换关系映射到 Z 平面则 即双线性变换 Ts1 ez s s z c c 1 1 1 1 c z z s o 11 Z jIm z Re z T j 1 1 T S1 S j oo 二 用双线性变换法设计数字滤波器的方法 二 用双线性变换法设计数字滤波器的方法 1 直接代入法 一般取 c T 2 1 1 1 12 1 12 1 1 z z T H s H z H a z z T s a 2 间接代入法 5 3 表格法 查表 N N 2 210 N N 2 110 N 0k k k N 0k k k a sesesee sdsdsdd se sd s H N N 2 2 1 1 N N 2 2 1 10 N 0k k k N 0k k k zBzBzB1 zAzAzAA zB zA H z 三 双线性法设计三 双线性法设计 DF 的步骤 的步骤 1 将数字滤波器的频率指标 转换为模拟滤波器的频率指标 c 2 T 2 c tan 2 由模拟滤波器的指标设计 Ha s 3 Ha s 转换为 H z 1 1 1 12 z z T s s H z H 四 优缺点 四 优缺点 1 S 平面的虚轴 j 映射到 Z 平面的单位圆上 这是因为 0 时 不管常数 c 为何值 Z 均为 1 2 稳定的 AF 经双线性变换后所得 DF 也一定是稳定的 这是因为稳定的 AF 其极点必全部位于 S 的左半平面上 经双线性变换后 这些极点全部落在单位圆内 3 其突出的优点是避免了频响的混叠失真 4 缺点频率的非线性失真 一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线 性相位的数字滤波器 不再保持原有的线性相位 这种非线性关系要求模拟滤波器 的幅频响应必须是分段常数型的 6 6 设计设计 IIR 滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法 一 频率变换的两种基本方法一 频率变换的两种基本方法 方法一 方法一 从归一化模拟低通原型出发 先在模拟域内经频率变换成为所需类型的模拟 滤波器 然后进行双线性变换 由 S 域变换到 Z 域 而得到所需类型的数字滤波器 6 方法二 方法二 先进行双线性变换 将模拟低通原型滤波器变换成数字低通滤波器 然后在 Z 域内经数字频率变换为所需类型的数字滤波器 二 模拟低通滤波器变换成数字低通滤波器模拟低通滤波器变换成数字低通滤波器 1 把数字低通滤波器的性能要求转换为与之相应的作为 样本 的模拟滤波器的性 能要求 根据此性能要求设计模拟滤波器 2 通过冲激响应不变法或双线性变换法 将此 样本 模拟低通滤波器数字化为所 需的数字滤波器 H z 三 模拟低通滤波器变换成数字高通滤波器模拟低通滤波器变换成数字高通滤波器 1 由低通模拟原型到模拟高通的变换关系为 s s cc 2 双线性