中考数学二次函数与四边形综合专题

1 7 2 x B 0 4 A 6 0 E F x y O 二次函数与四边形综合专题二次函数与四边形综合专题 一 二次函数与四边形的形状二次函数与四边形的形状 例例 1 如图 抛物线与 x 轴交 A B 两点 A 点在 B 点左侧 直线 与抛物线交于 A C 两 2 23yxx l 点 其中 C 点的横坐标为 2 1 求 A B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式 2 P 是线段 AC 上的一个动点 过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点 求线段 PE 长度的最大值 3 点 G 是抛物线上的动点 在 x 轴上是否存在点 F 使 A C F G 这样的四个点为顶点的四边形是 平行四边形 如果存在 求出所有满足条件的 F 点坐标 如果不存在 请说明理由 解 解 1 令 y 0 解得或 A 1 0 B 3 0 将 C 点的横坐标 x 2 代入 1 1x 2 3x 得 y 3 C 2 3 直线 AC 的函数解析式 2 23yxx 是 y x 1 2 设 P 点的横坐标为 x 1 x 2 则 P E 的坐标分别为 P x x 1 E 2 23 x xx P 点在 E 点的上方 PE 22 1 23 2xxxxx 当时 PE 的最大值 1 2 x 9 4 3 存在 4 个这样的点 F 分别是 1234 1 0 3 0 47 0 47 0 FFFF 练习练习 1 1 如图 对称轴为直线的抛物线经过点 A 6 0 和 B 0 4 7 2 x 1 求抛物线解析式及顶点坐标 2 设点 E 是抛物线上一动点 且位于第四象限 四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四xy 边形 求平行四边形 OEAF 的面积 S 与之间的函数关系式 并写出自变量的取值范围 xx 当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时 请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形 是否存在点 E 使平行四边形 OEAF 为正方形 若存在 求出点 E 的坐标 若不存在 请说明理 由 A 2 7 2 x B 0 4 A 6 0 E F x y O 练习练习 1 解 解 1 由抛物线的对称轴是 可设解析式为 把 A B 两点坐标代入 7 2 x 2 7 2 ya xk 上式 得 解之 得 2 2 7 6 0 2 7 0 4 2 ak ak 225 36 ak 故抛物线解析式为 顶点为 2 2725 326 yx 725 26 2 点在抛物线上 位于第四象限 且坐标适合 E x y y0 y 表示点 E 到 OA 的距离 2 2725 326 yx OA 是的对角线 OEAFA 2 17 2264 25 22 OAE SSOA yy A 因为抛物线与轴的两个交点是 1 0 的 6 0 所以 自变量的取值范围是 1 6 xxx 根据题意 当 S 24 时 即 化简 得 解之 得故 2 7 4 2524 2 x 2 71 24 x 12 3 4 xx 所求的点 E 有两个 分别为 E1 3 4 E2 4 4 点 E1 3 4 满足 OE AE 所以是菱形 OEAFA 点 E2 4 4 不满足 OE AE 所以不是菱形 OEAFA 当 OA EF 且 OA EF 时 是正方形 此时点 E 的坐标只能是 3 3 而坐标为OEAFA 3 3 的点不在抛物线上 故不存在这样的点 E 使为正方形 OEAFA 练习练习 2 2 如图 已知与轴交于点和的抛物线的顶点为 抛物线与关于轴x 10 A 5 0 B 1 l 3 4 C 2 l 1 lx 对称 顶点为 C 1 求抛物线的函数关系式 2 l 2 已知原点 定点 上的点与上的点始终关于轴对称 则当点运动到何处时 O 0 4 D 2 lP 1 l P xP 以点为顶点的四边形是平行四边形 DOP P 3 在上是否存在点 使是以为斜边且一个角为的直角三角形 若存 求出点 2 lMABM AB30 的坐标 若不存在 说明理由 M 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 54321 A E B C 1 O 2 l 1 l x y 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 54321 A E B C 1 O 2 l 1 l x y 3 练习练习 3 如图 已知抛物线与坐标轴的交点依次是 1 C 4 0 A 2 0 B 0 8 E 1 求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式 1 C 2 C 2 设抛物线的顶点为 抛物线与轴分别交于两点 点在点的左侧 顶点为 1 CM 2 CxCD CD 四边形的面积为 若点 点同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右 向左NMDNASAD 运动 与此同时 点 点同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下 向上运动 直到点MN 与点重合为止 求出四边形的面积与运动时间 之间的关系式 并写出自变量 的取值范ADMDNAStt 围 3 当 为何值时 四边形的面积有最大值 并求出此最大值 tMDNAS 4 在运动过程中 四边形能否形成矩形 若能 求出此时 的值 若不能 请说明理由 MDNAt 4 二 二次函数与四边形的面积二 二次函数与四边形的面积 例例 1 1 如图 10 已知抛物线 P y ax2 bx c a 0 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在 x 轴的正半轴上 与 y 轴交于点 C 矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上 顶点 F G 分别在线段 BC AC 上 抛物线 P 上部分点 的横坐标对应的纵坐标如下 x 3 212 y 5 2 4 5 2 0 1 求 A B C 三点的坐标 2 若点 D 的坐标为 m 0 矩形 DEFG 的面积为 S 求 S 与 m 的函数关系 并指出 m 的取值范围 3 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时 连接 DF 并延长至点 M 使 FM k DF 若点 M 不在抛物线 P 上 求 k 的取值范围 练习练习 1 如图 平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH 点H的坐标为 8 0 点N的坐标为 6 4 1 画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180 的图形OABC 并写出顶点A B C的坐标 点M的对应点为 A 点N的对应点为B 点H的对应点为C 2 求出过A B C三点的抛物线的表达式 3 截取CE OF AG m 且E F G分别在线段CO OA AB上 求四边形BEFG的面积S与m之间的函数 关系式 并写出自变量m的取值范围 面积S是否存在最小值 若存在 请求出这个最小值 若不存在 请说明理由 4 在 3 的情况下 四边形BEFG是否存在邻边相等的情况 若存在 请直接写出此时m的值 并指 出相等的邻边 若不存在 说明理由 图 10 5 练习练习 2 如图 正方形的边长为 在对称中心处有一钉子 动点 同时从点出发 ABCD2cmOPQA 点 沿 方向以每秒的速度运动 到点停止 点沿方PABC 2cmCQAD 向以每秒的速度运动 到点停止 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结 1cmDPQ 设秒后橡皮筋扫过的面积为 x 2 cmy 1 当时 求与之间的函数关系式 01x yx 2 当橡皮筋刚好触及钉子时 求值 x 3 当时 求与之间的函数关系式 并写出橡皮筋从触及钉子到运12x yx 动停止时的变化范围 POQ 4 当时 请在给出的直角坐标系中画出与之间的函数图象 02x yx 练习练习 3 如图 已知抛物线 l1 y x2 4 的图象与 x 轴相交于 A C 两点 B 是抛物线 l1上的动点 B 不与 A C 重合 抛物线 l2与 l1关于 x 轴对称 以 AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的第四个顶点为 D 1 求 l2的解析式 2 求证 点 D 一定在 l2上 3 ABCD 能否为矩形 如果能为矩形 求这些矩形公共部分的面积 若 只有一个矩形符合条件 则求此矩形的面积 如果不能为矩形 请说明 理由 注 计算结果不取近似值 三 二次函数与四边形的动态探究三 二次函数与四边形的动态探究 例例 1 如图 1 在平面直角坐标系中 有一张矩形纸片 OABC 已知 O 0 0 A 4 0 C 0 3 点 P 是 OA 边上的动点 与点 O A 不重合 现将 PAB 沿 PB 翻折 得到 PDB 再在 OC 边上选取适当的点 B C P O D Q A B PC O D Q A y 3 2 1 O 12x 6 E 将 POE 沿 PE 翻折 得到 PFE 并使直线 PD PF 重合 1 设 P x 0 E 0 y 求 y 关于 x 的函数关系式 并求 y 的最大值 2 如图 2 若翻折后点 D 落在 BC 边上 求过点 P B E 的抛物线的函数关系式 3 在 2 的情况下 在该抛物线上是否存在点 Q 使 PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形 若不存在 说明理由 若存在 求出点 Q 的坐标 图 1 F E P D y x B A C O 图 2 O C A B x y D P E F 例例 2 已知抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 其中点 B 在 x 轴的正半轴上 点 C 在 y 轴的正半轴上 线段 OB OC 的长 OB OC 是方程 x2 10 x 16 0 的两个根 且抛物线的 对称轴是直线 x 2 1 求 A B C 三点的坐标 2 求此抛物线的表达式 3 连接 AC BC 若点 E 是线段 AB 上的一个动点 与点 A 点 B 不重合 过点 E 作 EF AC 交 BC 于点 F 连接 CE 设 AE 的长为 m CEF 的面积为 S 求 S 与 m 之间的函数关系式 并写出自变量 m 的取值范围 4 在 3 的基础上试说明 S 是否存在最大值 若存在 请求出 S 的最大值 并求出此时点 E 的坐标 判断此时 BCE 的形状 若不存在 请说明理由 7 例例 3 如图 矩形 ABCD 中 AB 3 BC 4 将矩形 ABCD 沿对角线 A 平移 平移后的矩形为 EFGH A E C G 始终在同一条直线上 当点 E 与 C 重时停止移动 平移中 EF 与 BC 交于点 N GH 与 BC 的延长线交于点 M EH 与 DC 交于点 P FG 与 DC 的延长线交于点 Q 设 S 表示矩形 PCMH 的面积 表示矩形 NFQC 的面积 S 1 S 与相等吗 请说明理由 S 2 设 AE x 写出 S 和 x 之间的函数关系式 并求出 x 取何值时 S 有最大值 最大值是多少 3 如图 11 连结 BE 当 AE 为何值时 是等腰三角形 ABE 练习练习 1 1 如图 12 四边形 OABC 为直角梯形 A 4 0 B 3 4 C 0 4 点从出发以MO 每秒 2 个单位长度的速度向运动 点从同时出发 以每秒 1 个单位长度的速度向运动 其中一ANBC 个动点到达终点时 另一个动点也随之停止运动 过点作垂直轴于点 连结 AC 交 NP 于 Q NNPxP 连结 MQ 1 点 填 M 或 N 能到达终点 2 求 AQM 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式 并写出自变量 t 的取值范围 当 t 为何值时 S 的 值最大 3 是否存在点 M 使得 AQM 为直角三角形 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 说明理由 练习练习 2 实验与探究 x N M Q P H G F E D C B A 图 11 Q P N M H G F E D C B A 图 10 图 12 y xP Q BCN MOA 8 1 在图 1 2 3 中 给出平行四边形的顶点的坐标 如图所示 写出图 1 2 3ABCDABD 中的顶点的坐标 它们分别是 C 5 2 y C A 4 0 D 12 B O x 图 1 y C A 0 D e B cd O x 图 2 y C A ab D eb B cd O x 图 3 2 在图 4 中 给出平行四边形的顶点的坐标 如图所示 求出顶点的坐标ABCDABD C 点坐标用含的代数式表示 Cabcdef y C A ab D ef B c d O x 图 4 归纳与发现 3 通过对图 1 2 3 4 的观察和顶点的坐标的探究 你会发现 无论平行四边形处于直角CABCD 坐标系中哪个位置 当其顶点坐标为 如图 4 时 则四个顶 A abB cdC mnD ef 点的横坐标之间的等量关系为 纵坐标之间的等量关系为 acme bdnf 不必证明 运用与推广 4 在同一直角坐标系中有抛物线和三个点 2 53 yxcxc 1519 2222 GccScc 其中 问当为何值时 该抛物线上存在点 使得以为顶点的四边形 2 0 Hc 0c cPGSHP 是平行四边形 并求出所有符合条件的点坐标 P 参考答案 一 二次函数与四边形的形状二次函数与四边形的形状 例例 1 解 解 1 令 y 0 解得或 A 1 0 B 3 0 1 1x 2 3x 9 7 2 x B 0 4 A 6 0 E F x y O 将 C 点的横坐标 x 2 代入得 y 3 C 2 3 直线 AC 的函数解析式是 y x 1 2 23yxx 2 设 P 点的横坐标为 x 1 x 2 则 P E 的坐标分别为 P x x 1 E P 点在 E 点的上方 PE 2 23 x xx 22 1 23 2xxxxx 当时 PE 的最大值 1 2 x 9 4 3 存在 4 个这样的点 F 分别是 1234 1 0 3 0 47 0 47 0 FFFF 练习练习 1 解 解 1 由抛物线的对称轴是 可设解析式为 把 A B 两点坐标代入 7 2 x 2 7 2 ya xk 上式 得 解之 得 2 2 7 6 0 2 7 0 4 2 ak ak 225 36 ak 故抛物线解析式为 顶点为 2 2725 326 yx 725 26 2 点在抛物线上 位于第四象限 且坐标适合 E x y 2 2725 326 yx y0 y 表示点 E 到 OA 的距离 OA 是的对角线 OEAFA 2 17 2264 25 22 OAE SSOA yy A 因为抛物线与轴的两个交点是 1 0 的 6 0 所以 自变量的取值范围是 1 6 xxx 根据题意 当 S 24 时 即 化简 得 解之 得 2 7 4 2524 2 x 2 71 24 x 12 3 4 xx 故所求的点 E 有两个 分别为 E1 3 4 E2 4 4 点 E1 3 4 满足 OE AE 所以是菱形 OEAFA 点 E2 4 4 不满足 OE AE 所以不是菱形 OEAFA 当 OA EF 且 OA EF 时 是正方形 此时点 E 的OEAFA 坐标只能是 3 3 而坐标为 3 3 的点不在抛物线上 故不存在这样的点 E 使为正方形 OEAFA 练习练习 2 解 解 1 由题意知点的坐标为 设的函数关系式为 C 34 2 l 2 3 4ya x 又点在抛物线上 解得 10 A 2 3 4ya x 2 1 3 40a 1a 抛物线的函数关系式为 或 2 l 2 3 4yx 2 65yxx 2 与始终关于轴对称 与轴平行 P P x PP y 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 54321 A E B C 1 O 2 l 1 l x y 10 5 4 3 2 1 1 2 3 D 5 5 43 21 A C E M B C 1 O 2 l 1 l x y 设点的横坐标为 则其纵坐标为 Pm 2 65mm 4OD 2 2654mm 即 当时 解得 当时 解 2 652mm 2 652mm 36m 2 652mm 得 当点运动到或或或32m P 36 2 36 2 322 时 322 以点为顶点的四边形是平行四边形 P POD DOP P 3 满足条件的点不存在 理由如下 若存在满足条件的点在MM 上 则 2 l 或 90AMB 30BAM 30ABM 11 42 22 BMAB 过点作于点 可得 MMEAB E30BMEBAM 11 21 22 EBBM 3EM 4OE 点的坐标为 M 43 但是 当时 4x 2 46 451624533y 不存在这样的点构成满足条件的直角三角形 M 练习练习 3 解解 1 点 点 点关于原点的对称点分别为 4 0 A 2 0 B 0 8 E 4 0 D 2 0 C 设抛物线的解析式是 08 F 2 C 则解得 2 0 yaxbxc a 1640 420 8 abc abc c 1 6 8 a b c 所以所求抛物线的解析式是 2 68yxx 2 由 1 可计算得点 31 31 MN 过点作 垂足为 NNHAD H 当运动到时刻 时 t282ADODt 12NHt 根据中心对称的性质 所以四边形是平OAODOMON MDNA 行四边形 所以 所以 四边形的面积2 ADN SS MDNA 因为运动至点与点重合为止 2 82 12 4148Stttt AD 据题意可知 所以 所求关系式是 的取值范围是 04t 2 4148Stt t04t 11 3 所以时 有最大值 781 4 44 St 04t 7 4 t S 81 4 提示 也可用顶点坐标公式来求 4 在运动过程中四边形能形成矩形 由 2 知四边形是平行四边形 对角线是MDNAMDNA 所以当时四边形是矩形 所以 所ADMN ADMN MDNAODON 以 所以 解之得 舍 2222 ODONOHNH 22 420tt 12 6262tt 所以在运动过程中四边形可以形成矩形 此时 MDNA62t 点评 本题以二次函数为背景 结合动态问题 存在性问题 最值问题 是一道较传统的压轴题 能力要求较 高 二 二次函数与四边形的面积二次函数与四边形的面积 例例 1 1 解 解 1 解法一 设 任取 x y 的三组值代入 求出解析式 0 2 acbxaxy 2 1 4 2 yxx 令 y 0 求出 令 x 0 得 y 4 A B C 三点的坐标分别是 A 2 0 B 4 0 C 0 4 12 4 2xx 解法二 由抛物线 P 过点 1 3 可知 5 2 5 2 抛物线 P 的对称轴方程为 x 1 又 抛物线 P 过 2 0 2 4 则由抛物线的对称性可知 点 A B C 的坐标分别为 A 2 0 B 4 0 C 0 4 2 由题意 而 AO 2 OC 4 AD 2 m 故 DG 4 2m ADDG AOOC 又 EF DG 得 BE 4 2m DE 3m BEEF BOOC DG DE 4 2m 3m 12m 6m2 0 m 2 DEFG s 注 也可通过解 Rt BOC 及 Rt AOC 或依据 BOC 是等腰直角三角形建立关系求解 3 SDEFG 12m 6m2 0 m 2 m 1 时 矩形的面积最大 且最大面积是 6 当矩形面积最大时 其顶点为 D 1 0 G 1 2 F 2 2 E 2 0 设直线 DF 的解析式为 y kx b 易知 k b 2 3 2 3 22 33 yx 又可求得抛物线 P 的解析式为 2 1 4 2 yxx 令 可求出 设射线 DF 与抛物线 P 相交于点 N 22 33 x 2 1 4 2 xx 3 611 x 则 N 的横坐标为 过 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于 H 有 161 3 FNHE DFDE 161 2 3 3 561 9 点 M 不在抛物线 P 上 即点 M 不与 N 重合时 此时 k 的取值范围是 12 k 且 k 0 561 9 说明 若以上两条件错漏一个 本步不得分 若选择另一问题 2 而 AD 1 AO 2 OC 4 则 DG 2 又 而 AB 6 CP 2 OC 4 则 FG 3 ADDG AOOC FGCP ABOC DG FG 6 DEFG s 练习 1 解 利用中心对称性质 画出梯形 OABC 1 分 A B C 三点与 M N H 分别关于点 O 中心对称 A 0 4 B 6 4 C 8 0 3 分 写错一个点的坐标扣 1 分 2 设过 A B C 三点的抛物线关系式为 抛物线过点 A 0 4 则抛物线关系式为 4 分 将 B 6 4 C 8 0 两点坐标代入关系式 得 5AB 垂足为 G 则 sin FEG sin CAB 分 解得 6 分 所求抛物线关系式为 7 分 3 OA 4 OC 8 AF 4 m OE 8 m 8 分 OA AB OC AF AGOE OFCE OA 0 4 10 分 当时 S 的取最小值 又 0 m 4 不存在 m 值 使 S 的取得最小值 12 分 4 当时 GB GF 当时 BE BG 14 分 练习练习 2 解解 1 当时 即 01x 2APx AQx 2 1 2 yAQ APx A 2 yx 13 2 当时 橡皮筋刚好触及钉子 1 2 ABCDABPQ SS 正方形四边形 22BPx AQx 2 11 2222 22 xx 4 3 x 3 当时 4 1 3 x 2AB 22PBx AQx 22 232 22 AQBPxx yABx A 即 32yx 作 为垂足 OEAB E 当时 4 2 3 x 22BPx AQx 1OE BEOPOEAQ ySS 梯形梯形 1221 11 22 xx 3 2 x 即 或 3 2 yx 90180POQ 180270POQ 4 如图所示 练习练习 3 解解 1 设 l2的解析式为 y ax2 bx c a 0 l1与 x 轴的交点为 A 2 0 C 2 0 顶点坐标是 0 4 l2与 l1关于 x 轴对称 l2过 A 2 0 C 2 0 顶点坐标是 0 4 420 420 4 abc abc c a 1 b 0 c 4 即 l2的解析式为 y x2 4 还可利用顶点式 对称性关系等方法解答 2 设点 B m n 为 l1 y x2 4 上任意一点 则 n m2 4 四边形 ABCD 是平行四边形 点 A C 关于原点 O 对称 B D 关于原点 O 对称 点 D 的坐标为 D m n 由 式可知 n m2 4 m 2 4 即点 D 的坐标满足 y x2 4 点 D 在 l2上 3 ABCD 能为矩形 过点 B 作 BH x 轴于 H 由点 B 在 l1 y x2 4 上 可设点 B 的坐标为 x0 x02 4 则 OH x0 BH x02 4 易知 当且仅当 BO AO 2 时 ABCD 为矩形 在 Rt OBH 中 由勾股定理得 x0 2 x02 4 2 22 x02 4 x02 3 0 x0 2 舍去 x0 3 所以 当点 B 坐标为 B 1 或 B 1 时 ABCD 为矩形 33 此时 点 D 的坐标分别是 D 1 D 1 33 因此 符合条件的矩形有且只有 2 个 即矩形 ABCD 和矩形 AB CD 设直线 AB 与 y 轴交于 E 显然 AOE AHB EO AO BH AH 1 223 EO EO 4 2 3 由该图形的对称性知矩形 ABCD 与矩形 AB CD 重合部分是菱形 其面积为 S 2S ACE 2 AC EO 2 4 4 2 16 8 1 2 1 233 3 2 1 O 12x y 4 3 14 三 二次函数与四边形的动态探究三 二次函数与四边形的动态探究 例例 1 解 解 1 由已知 PB 平分 APD PE 平分 OPF 且 PD PF 重合 则 BPE 90 OPE APB 90 又 APB ABP 90 OPE PBA Rt POE Rt BPA 即 y 0 x 4 POBA OEAP 3 4 x yx 2 114 4 333 xxxx 且当 x 2 时 y 有最大值 1 3 2 由已知 PAB POE 均为等腰三角形 可得 P 1 0 E 0 1 B 4 3 设过此三点的抛物线为 y ax2 bx c 则 1 0 1643 c abc abc 1 2 3 2 1 a b c y 2 13 1 22 xx 3 由 2 知 EPB 90 即点 Q 与点 B 重合时满足条件 直线 PB 为 y x 1 与 y 轴交于点 0 1 将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E 0 1 该直线为 y x 1 由得 Q 5 6 2 1 13 1 22 yx yxx 5 6 x y 故该抛物线上存在两点 Q 4 3 5 6 满足条件 例例 2 解 解 1 解方程 x2 10 x 16 0 得 x1 2 x2 8 1 分 点 B 在 x 轴的正半轴上 点 C 在 y 轴的正半轴上 且 OB OC 点 B 的坐标为 2 0 点 C 的坐标为 0 8 又 抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 2 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为 6 0 4 分 2 点 C 0 8 在抛物线 y ax2 bx c 的图象上 c 8 将 A 6 0 B 2 0 代入表达 式 得 解得 所求抛物线的表达式为 y x2 x 8 7 分 3 依题意 AE m 则 BE 8 m OA 6 OC 8 AC 10 EF AC BEF BAC 即 EF 15 FG 8 m S S BCE S BFE 8 m 8 8 m 8 m 8 m 8 8 m 8 m m m2 4m 10 分 自变量 m 的取值范围是 0 m 8 11 分 4 存在 理由 S m2 4m m 4 2 8 且 0 当 m 4 时 S 有最大值 S 最大值 8 12 分 m 4 点 E 的坐标为 2 0 BCE 为等腰三角形 14 分 以上答案仅供参考 如有其它做法 可参照给分 例例 3 解解 1 相等 理由是 因为四边形 ABCD EFGH 是矩形 所以 EGHEGFECNECPCGQCGM SSSSSS 所以 即 EGHECPCGMEGFECNCGQ SSSSSS S S 2 AB 3 BC 4 AC 5 设 AE x 则 EC 5 x 34 5 55 PCxMCx 所以 即 12 5 25 SPC MCxx A 2 1212 05 255 Sxxx 配方得 所以当时 S 有最大值 3 2 125 3 252 Sx 5 2 x 3 当 AE AB 3 或 AE BE 或 AE 3 6 时 是等腰三角形 5 2 ABE 练习练习 1 解 1 点 M 1 分 2 经过 t 秒时 NBt 2OMt 则 3CNt 42AMt BCA MAQ 45 3QNCNt 1 PQt 11 42 1 22 AMQ SAM PQtt A 2 2tt 2 2 19 2 24 Sttt 当时 S 的值最大 02t 1 2 t 3 存在 设经过 t 秒时 NB t OM 2t 则 3CNt 42AMt BCA MAQ 45 若 则是等腰 Rt 底边上的高 是底边的中线 90AQM PQMQAMAPQMA 16 1 2 PQAPMA 1 1 42 2 tt 1 2 t 点的坐标为 1 0 M 若 此时与重合 90QMA QMQPQMQPMA 142tt 1t 点的坐标为 2 0 M 练习练习 2 解 解 1 ecd cead 2 分别过点作轴的垂线 垂足分别为 分别过作ABCD x 1111 ABCD AD 于 于点 1 AEBB E 1 DFCC F 在平行四边形中 又 ABCDCDBA 11 BBCC 180EBAABCBCFABCBCFFCD EBAFCD 又 90BEACFD BEACFD AFDFac BECFdb 设 由 得 C xy exac xeca 由 得 yfdb yfdb C ecafdb 3 或 mcea ndfb mace nbdf 4 若为平行四边形的对角线 由 3 可得 要使在抛物线上 GS 1 2 7 Pc c 1 P 则有 即 2 74 53 2 ccccc 2 0cc 舍去 此时 1 0c 2 1c 1